X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Практическая цель в обучении математике – научить школьников решать задачи из повседневной жизни, что связано с умением составить математическое описание модели. Главная цель в обучении математике – развитие логического мышления, которая предполагает умение учащихся оперировать с логическими цепочками умозаключений. Это достигается путем введения текстовых задач различных типов. Предлагаемые темы рассчитаны на школьников 10-11 классов.

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве вызывают у обучающихся в школах затруднения. Многие ученики не могут сами справиться с такими задачами. Задачи этого типа ранее встречались только на вступительных экзаменах в вузах, теперь добавлены в контрольные измерительные материалы (КИМы) для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Такие задачи представляю собой средство хорошего развития мышления у обучающихся, и имеют практическое значение. Именно поэтому данная тема является актуальной на сегодняшний день.

Предполагается, что анализ тематики достаточно актуален и представляет научный и практический интерес, поскольку данные термины прочно вошли в нашу повседневную жизнь и требуют детального анализа с целью выявления в них общего и различий.

Для решения задач на концентрации нужно уметь рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем. Эти задачи решаются арифметически, с применением дробей, линейного уравнения и их систем.

Объект исследования – текстовые задачи на смеси и сплавы.

Предмет исследования – особенности решения задач на смеси и сплавы.

Цель исследования – систематизация теоретического материала по теме «Задачи на смеси и сплавы» и его применение к решению данного типа задач.

Теоретическая часть

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задачи управленческого, экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним. Ровно также как и задачи на смеси и сплавы.

Задачи, которые мы сейчас называем задачами на составление уравнений, возникали в самых различных цивилизациях древности, вероятно, в связи с практическими потребностями: эти задачи описывали жизненные ситуации, возникающие при обмене каким-либо имуществом и при его распределении (при торговых отношениях, наследовании, сборе налогов и т. д.). Но не исключено, что некоторые задачи служили просто для упражнения ума или вызывали теоретический интерес.

Так, например, в Древнем Египте был класс задач, в котором фигурировало слово аха – буквально «куча»; этим словом обозначалось неизвестное количество. Вот пример условия такой задачи: «Количество [аха] и его четвертая часть дают вместе 15».

Современный школьник записал бы это условие так: . Далее он, видимо, сложил бы коэффициенты при x, получил бы уравнение или , затем для определения x поделил бы 15 на (или вначале умножил бы обе части уравнения на 4, получив 5x = 60, а уже потом поделил бы на 5; а может быть, наоборот, поделил бы обе части на 5, а потом умножил на 4).

Однако Египтяне так не делали. Этому препятствовало отсутствие необходимой символики для соединения подобных членов. Решение, излагаемое египетским автором, начинается так. «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, вместе 5». После этого 15 делится на 5, получается 3, а затем 3 умножается на 4 и получается 12. Как и в других сохранившихся египетских математических текстах, никаких объяснений не приводится. По-видимому, метод заключался в следующем: предположим, что искомое количество равно 4; тогда его четвертая часть была бы равна 1; количество и его четвертая часть вместе были бы равны 5; однако на самом деле они равны 15; поэтому настоящее искомое количество больше предполагаемых 4 во столько же раз, во сколько 15 больше 5, то есть в 3 раза, и равно 12.

Именно потому, что многие были заинтересованы задачами данного типа, к настоящему времени люди научились правильно решать такие задачи, и составили определенные правила:

Неизвестные величины нужно обозначить буквами;

Используя соотношения между известными и неизвестными величинами, которые есть в условии, составить уравнения;

Решить систему уравнений;

Ответить на вопросы, поставленные задаче.

Например:

Задача. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской, чтобы получить концентрацию соли 1,5%?

Решение:

В 30 кг морской воды содержится

Если добавить x кг пресной воды, то полная масса будет (30+x) кг, а концентрация соли (в %) составит

Таким образом, нужно добавить 70 кг пресной воды.

А также, при решении задач на смеси и сплавы такое понятие, как «процент».

Процент (лат. per cent — на сотню) - одна сотая часть. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Например, 17 % от 500 кг означает, что 17 частей по 5 кг каждая, то есть 85 кг. Справедливо также утверждение, что 200 % от 500 кг составляет 1000 кг, поскольку 1 % от 500 кг равен 5 кг, и 5 ∙ 200 = 1000.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны . Например, Октавиан Август взимал налог в размере на товары, реализовавшиеся на аукционе, это было известно как Centesima Rerum Venalium (сотая доля продаваемых вещей). Подобные расчёты были похожи на вычисление процентов.

При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный.

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах. Если сравнение по разности вполне однозначно, то есть всегда можно найти, насколько одна величина больше или меньше другой, то для сравнения в процентах нужно указывать, относительно какой величины вычисляется процент. Такое указание, впрочем, необязательно в том случае, когда говорят, что одна величина больше другой на число процентов, превышающее 100. В этом случае остается только одна возможность вычисления процента, а именно деление разности на меньшее из двух чисел с последующим умножением результата на 100.

Рассмотрим связь между процентами и десятичными дробями:

0 % = 0;

5 % = 0,05;

20 % = 0,2;

50% = 0,5;

0,07 % = 0,0007;

45,1 % = 0,451;

100 % = 1;

146 % = 1,46.

После того, как мы рассмотрели, что такое процент числа, следует подробнее остановиться на понятии «концентрация вещества».

Концентрацией (процентным содержанием) веществав смеси(сплаве, растворе) называют число процентов, выраженное формулой

Для массовой концентрации вещества:

, где

- число процентов.

-масса вещества А в смеси.

- масса всей смеси.

Для объемной концентрации вещества:

, где

- число процентов;

- объем вещества в растворе;

- объем всего раствора.

Продемонстрируем использование данных понятий при решении задач, с использованием понятия процента.

Задача 1. К 190 г воды добавим 10 г уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм.

Концентрация кислоты – это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:

.

Процентное содержание воды:

.

Задача 2(смесь).

Взяли одно ведро песка и три ведра извести. Смешав содержимое всех четырех ведер, получили смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация - это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:

.

Процентное содержание извести:

.

Задача 3(сплав).

Возьмем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Получим концентрацию:

.

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

.

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m - масса чистого вещества

M - масса сплава или раствора.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов: КАКИХ?

Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества смешивают в одной емкости. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.

В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется.

Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше 0, а в другой равна 0.

А также существует стандартная таблица (табл.1) для решения задач данного типа:

Таблица 1

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1-ое вещество
2-ое вещество
Раствор

Задачи на составление линейных уравнений:

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задачи управленческого, экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним. Ровно также как и задачи на смеси и сплавы.

Задачи, которые мы сейчас называем задачами на составление уравнений, возникали в самых различных цивилизациях древности, вероятно, в связи с практическими потребностями: эти задачи описывали жизненные ситуации, возникающие при обмене каким-либо имуществом и при его распределении (при торговых отношениях, наследовании, сборе налогов и т. д.). Но не исключено, что некоторые задачи служили просто для упражнения ума или вызывали теоретический интерес.

Основные понятия задач на смеси и сплавы.

Для более ясного понимания задач данного типа, необходимо знать следующие понятия:

В решении задач на смеси и сплавы считается, что сумма масс компонентов равна массе смеси нескольких веществ.

При смешивании смесей и сплавов их результат всегда однороден.

Процент – это одна сотая любого вещества.

Производительность объекта – скорость работы.

Долю вещества в растворе показывает отношение массы процентного содержания вещества в смеси к общей массе всей смеси.

Сумма концентраций – компонент, составляющих смесь, равняется единице.

В математике используются задачи на смеси и сплавы следующих типов:

Типы задач:

На вычисление концентрации;

Задача 1. В графине с чаем содержится 5% сахара. Сколько килограммов воды надо выпарить из 10 кг чая, чтобы концентрация сахара в нем увеличилась до 10%?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.2) .

Таблица 2

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1раствор	0,5 кг	10 кг	5%
2 раствор	0,5 кг	5 кг	10%

(кг) – масса твердого вещества:

(кг):

(кг).

Ответ: 5 кг.

На вычисление количества чистого вещества в сплаве (или смеси);

Задача 2. Имеются два сплава с содержанием бронзы. В первом содержится 40% бронзы, а во втором – 50%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 15% бронзы ?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.3) .

Таблица 3

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1 сплав	0,4х	х	40%
2 сплав	0,5у	у	50%
Новый сплав			15%

,

,

,

,

.

Ответ: 1,4,1.

На вычисление массы сплава (смеси).

Задача 3. В сплаве меди и цинка содержится 25% меди, масса сплава 1500г. Найти сколько содержится меди в сплаве?

Решение: Для решения данной задачи воспользуемся формулой благодаря которой получаем вычисление (г).

Ответ: 300 г.

Рассмотрим способы решения задач на смеси и сплавы:

Арифметический способ;

Алгебраический способ;

С помощью таблиц;

С помощью графиков;

С помощью схем.

Существует определенный алгоритм для решения задач на смеси и сплавы:

Рассмотреть условия задачи;

Выбрать неизвестную величину (обозначить ее как неизвестное);

Определить все взаимосвязи между данными величинами;

Выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины;

Решить задачу;

Сделать анализ результата.

Применение представленного алгоритма будет представлено в следующей главе.

Практическая часть

Рассмотрим алгебраический способ решения задач на нескольких примерах.

Задача 1. Имеются два раствора соли массой 50 г и 140г. В первом растворе содержится 8г соли, а во втором – 20 г соли. Какова концентрация этих растворов? Какой будет концентрация, если смешать два этих раствора?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.4).

Таблица 4

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1 раствор	8 г	50 г
2 раствор	20 г	140 г
Смесь	28 г	190 г

- концентрация 1-го раствора:

- концентрация 2- го раствора:

- концентрация 2-х растворов.

Ответ: 16%, 14%, 14,7%.

Задача 2. Смешали 300 г 10% -го клубничного сиропа и 400 г 20% -го ванильного сиропа. Какова концентрация полученной смеси?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.5) .

Таблица 5

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1раствор	30 г	300 г	10%
2 раствор	80 г	400 г	20%
Смесь	110 г	700 г

(г) – в 1-ом растворе:

(г) – в 2-ом растворе:

(г) – в смеси растворов:

.

Ответ: 16%.

Задача 3. Какое количество соли содержится в 100 г 5% -го морского раствора? В каком количестве 10% -го раствора содержится такое же количество этого вещества?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.6) .

Таблица 6

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1раствор		100 г	5%
2 раствор		100 г	10%

(г) –вещества в 1-ом растворе:

(г) –вещества во 2-ом растворе.

Ответ: 5 г, 10 г.

Задача 4. Морская вода содержит 7% соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 140 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 25%?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.7) .

Таблица 7

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1раствор	9,8 кг	140 кг	7%
2 раствор	9,8 кг	39,2 кг	25%

(кг) – масса твердого вещества:

(кг):

(кг).

Ответ: 100,8 кг.

Задача 5. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг яблочного сока, чтобы концентрация сахара уменьшилась с 8% до 5%?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.8) .

Таблица 8

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1раствор	3,2 кг	40 кг	8%
2 раствор	3,2 кг	64 кг	5%

(кг):

(кг):

(кг).

Ответ: 24 кг.

Задача 6. Имеются два сплава с содержанием меди. В первом содержится 40% меди, а во втором – 70%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 25% меди?

Решение: Для более удобного решения построим таблицу (табл.9) .

Таблица 9

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1 сплав	0,4х	х	40%
2 сплав	0,7у	у	70%
Новый сплав			45%

,

,

,

,

.

Ответ: 5,1.

Алгебраический способ решения данных задач является универсальным. С помощью данного способа можно решить любую задачу на смеси и сплавы.

Далее для примера рассмотрим арифметический способ решения задач на смеси и сплавы.

Задача 7.В 200 г 30% -го раствора соли добавили 400 г ее 15% -го раствора. Найдите процентную концентрацию раствора.

Решение: Выполним вычисления по действиям:

(г) – в 200 г 30% - го раствора:

(г) – в 400 г 15% -го раствора:

(г) – соли в растворе:

(г) – масса всего раствора:

- концентрация раствора.

Ответ: 20%.

Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы не сложен, но требует хорошего понимания сути задачи, и занимает достаточно много времени.

Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12% -го водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:Концентрация раствора

:

(л):

(л):

.

Ответ: 5%.

Задача 9.Смешали некоторое количество 15% -го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% -го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение: Масса получившегося раствора 2m. Тогда, концентрация получившегося раствора равна:

Ответ: 17%.

Задача 10. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше второго?

Решение:

(кг)

Ответ: 100 кг.

Далее мы рассмотрим графический способ решения задач на смеси и сплавы.

Задача 11. В 150г 30%-ного раствора соли добавили 500г её 15%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение:

Ответ: 18,5.

Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.

Задача 12. Собрали 50 кг свежих ягод, содержащих по массе 95% воды. Когда их подсушили, они стали весить 5 кг. Каков процент содержания воды по массе в сухих ягод?

Решение: Модели в данных задачах оформляем в виде кружочков, поделённых пополам. В нижней его части записываем содержание воды в %, в верхней – массу вещества.

20кг 100% у 100%

 

х 80%

20%

 

масса

Х 28%

72%

Х 28%

72%

Х 28%

72%

 

вода

Свежие фрукты сухие фрукты

Если свежие фрукты содержали 72% воды, то «не воды» в них было 28%. Всего 100%. Массу сухого вещества назвали х, а по условию задачи свежих фруктов было 20 кг. Все эти сведения отмечены в первом кружочке. Аналогично заполняем второй кружочек.

Из рисунка видим две пропорции. Решим их.

.

кг.

Ответ: 7 кг.

Заключение.

Таким образом, согласно информации в теоретической части, мы рассмотрели такие понятия, как процент числа, концентрация вещества. Выделили типы задач на смеси и сплавы:

На вычисление концентрации;

На вычисление количества чистого вещества в сплаве (или смеси);

На вычисление массы сплава (смеси).

Рассмотрели, какие бывают типы задач, выделили способы решения данных задач:

Арифметический способ;

Алгебраический способ;

С помощью таблиц;

С помощью графиков;

С помощью схем.

А также ознакомились со стандартной таблицей:

	Масса твердого вещества (m тв)	Масса вещества (m р-ра)	Концентрация, % (К)
1-ое вещество
2-ое вещество
Раствор

В практической части мы решали задачи алгебраическим, арифметическим способами, с помощью таблиц, схем и графиков.

А также решали с помощью стандартной таблицы (табл.1), с которой ознакомились в теоретической части.

Вследствие чего можно сделать вывод, что табличный способ решения задач данного типа более удобный для решения задач на смеси и сплавы.

Следовательно, цель данной работы достигнута, а задачи – решены.

Список использованных источников

Бродский, И.Л. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов [Текст] / И.Л. Бродский, А.М. Видус, А.Б. Коротаев. - М.: АРКТИ, 2004. - 424 с.

Видео уроки в интернет -http://videouroki.net

Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 271с.

Геллер Ю.А., Рахштадт А.Г. Материаловедение. - Москва: Металлургия, 1975. - 445 с.

Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. - М.: Издательский центр «Академия» 2002. - 286 с.

Ерина, Т.М. Математика. Профильный уровень. Высший балл [Текст] / Т.М. Ерина. - М.: Издательство «Экзамен», 2017. - 350 с.

Задачи на смеси и сплавы. Журнал «Математика в школе». №17. №11 2004г.

Захарова А.Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы // Математика для школьников. 2006.- №3. - С.18-21.

Интернет ресурс -[ эл.ресурс]- режим доступа, http://ru.wikipedia.org

Колачев Б.А., Ливанов В.А., Елагин В.И.. Металловедение и термическая обработка цветных металлов и сплавов. - Москва: Металлургия, 1972. - 480 с.

Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов. Учебник для вузов. - 3-е. - Москва: Металлургия, 1983. - 360 с.

Лурье, М. В. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство / М.В. Лурье, Б.И. Александров. - 3-е изд., перераб. - М. Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990-96с.

Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. М.; Л., 1952. - 315 с.

Маланичева, Т.А. О решении задач на работу. Математика в школе [Текст] / Т.А. Маланичева, 2015, №5, 64 с.

Образовательный портал для подготовки к экзаменам.- http://reshuege.ru

Овчинникова, М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы) [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание». / М.В. Овчинникова. - К.: Пед.пресса, 2001.

Пойа, Д. Как решить задачу [Текст] / Д. Пойа. - М.: Просвещение, 1959. - 206 с.

Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы / Н.И. Прокопенко. - М. : Чистые пруды, 2010. - 32 с.

Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Компетентностный подход в современном российском образовании и его реализация при подготовке учащихся к единому государственному экзамену по математике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып.28.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). - Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2011. - 216 с.

Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике [Текст] / Н.Л. Стефанова. - М.: 2007. - 406 с.

Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. / Л.П. Стойлова. - 3-е изд., стер. - М.: Академия, 2013. - 464 с.

Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. - 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989. 329с.

Цыганов Ш.И. Все задачи ЕГЭ по математике прошлых лет: Учебное пособие / Ш. И. Цыганов - 4-е изд., дополненное - Уфа: Центр педагогических измерений, 2008-324с.

Шевкин, А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики» [Текст]: лекции 1-4. / А.В. Шевкин. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

Шульга, Р.П. Решение текстовых задач разными способами - средство повышения интереса к математике [Текст] / Р.П. Шульга. - М.: «Просвещение», 1990. - с. 181.

Код для цитирования: Скопировать