X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Обучение решению задач на доказательство – одна из основных целей преподавания математики. Начинать это обучение желательно с самого начала изучения систематического курса алгебры. Для этого необходима серия тренировочных задач на доказательство, решение которых состоит из одного или двух шагов.

Даже решение задач на непосредственное применение изученных свойств требует выработки определенных навыков. Нужно уметь выбрать свойство, необходимое для использования при решении задачи; проверить выполнимость всех условий; провести дополнительные построения; сделать выводы.

Решение этих задач позволяет лучше освоить теоретический материал и научиться применять его при решении задач. Задачи на доказательство развивают логическое мышление, учат рассуждать, анализировать, аргументировать, обосновывать, доказывать.

Утверждения, сформулированные в виде задач на доказательство, могут быть использованы при решении различных вычислительных задач, а сами доказательства при этом будут являться частью их решений.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике.

Исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельностям. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин «доказательство» не имеет точного определения. Аристотель считал, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода к доказательству находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры, и далее пишет: «Доказательством суждения называют честный прием, делающий это суждение неоспоримым».

Обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, и Д. Гильбертом.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его «Начала» стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания, и долгое время оставались таковыми для математиков.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства.

Доказательства в алгебре отличаются от доказательств в геометрии тем, что в алгебре доказательства более абстрактны и не сопровождаются чертежами. В алгебре также некоторые утверждения доказывают на отдельных конкрет­ных примерах, но большинство доказательств проводят в общем виде.

Цель исследования: систематизация теоретического материала по теме «Задачи на доказательство в алгебре» и его применение к решению задач.

Объект исследования: задачи на доказательство.

Предмет исследования: задачи на доказательство в алгебре.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список используемой литературы включает 24 наименования.

Теоретическая часть

Понятие доказательства в математических дисциплинах

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки [22].

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию.

Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны . Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами [4].

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие «несоизмеримость» лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом.

Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно – диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли – Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты.

Вторая особенность математического доказательства – его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе.

Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологии и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых – в отвлечении от любых конкретных свойств.

Напомним, что, по определению, переменные – знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная) [7].

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Таким образом, можно сделать следующие выводы: математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства – его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

Методы доказательства в математике

Понятие доказательства в практике исследовательской деятельности рассматривается как приведение любых аргументов, подтверждающих некоторое явление. Такими аргументами могут быть факты, проверенные положения, точки зрения признанных авторитетов, результаты эксперимента.

Не все и не всегда можно доказать при помощи фактов, да и не всегда существуют доступные восприятию факты. В этом случае доказываемые положения выводятся из других, достоверность которых полагается установленной. Надежность доказательства определяется фактологией, методологией его построения, формально – логическим следованием.

Доказательство – это интеллектуальная операция, состоящая в установлении некоторого суждения, посредством его вывода из других суждений, истинность которых полагается установленной до этой операции и независимо от нее также посредством подтверждения фактами и практической деятельностью [22].

В зависимости от характера и особенностей предмета исследования и сложностей его проведения формы доказательства могут быть различными.

Существуют доказательства фактологические, опирающиеся на фактический материал в основном, формально-логические, главной опорой которых являются законы формальной логики, экспериментальные – построенные на эксперименте, эмпирические – опирающиеся на осмысленный и обобщенный опыт.

Корректность доказательства определяется его строением. В каждом доказательстве существует три элемента: тезис, аргументы (основания), демонстрация.

Тезис – это суждение, истинность и приятие которого устанавливается в доказательстве, аргументы – суждения, из которых выводится тезис, демонстрация – логическая форма связи названных двух элементов, обуславливающая необходимость выведения тезиса из аргумента.

Существует множество различных способов доказательства [14].

Доказательство от определения. Оно построено на четком определении ключевых категорий, так, чтобы определения этих категорий не вызывали сомнений относительно их адекватности реальным явлениям и практическому опыту.

Доказательство «от противного». Если принимаются аргументы об абсурдности обратного, противоположного доказываемому, то считается, что первоначальное суждение истинно или по крайней мере корректно.

Доказательство, построенное на анализе свойств исследуемого объекта.

Доказательство по принципу приведения к нелепости, абсурдному. Это прием опровержения допуска истинности, которая оказывается нелепостью.

Доказательство на основе классификации факторов, позволяющей установить свойства объекта исследования и причины его оригинального поведения.

Аксиоматическое доказательство. Первоначально формулируется аксиома – бесспорное, понятное и принятое положение, затем строится доказательство, базирующееся, как правило, на нескольких аксиомах.

Фактологическое доказательство, в котором главную роль играют факты.

Доказательство по рабочей гипотезе или концепции (гипотетическое, концептуальное доказательство).

Экспериментальное доказательство. Здесь главная опора – эксперимент и его результаты.

Тезис или доказываемое положение должен соответствовать правилу точности формулировки, неизменности по всем этапам доказательства.

Бывает подмена количественных характеристик тезиса (данное относительно части объекта переносится на весь объект), подмена истинности (вероятность выдается за достоверность). В обеспечении эффективности доказательства необходимо следовать истинности аргументов [16].

Часто встречаются ошибки недоказанного знания. Одной из распространенных ошибок является «круг в доказательстве», который заключается в замкнутости аргументов, не выходящих на тезис. Принципом, предостерегающим от этих ошибок, является принцип доказательственной зависимости аргументов.

Если аргументационная процедура не является логически строгим доказательством, но обеспечивает некоторому суждению определенную степень вероятности, ее называют обоснованием.

Математические методы доказательства теорем можно выделить по двум основаниям [16].

по построению цепочки рассуждений (прямое и косвенное);

по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

Прямое доказательство теоремы основывается на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы. К прямым доказательствам относятся доказательства методами: синтетическим, аналитическим и методом математической индукции.

Синтетический метод доказательства теорем характеризуется тем, что при построении цепочки рассуждений на его основе мысль движется «от условия теоремы к ее заключению», то есть от уже установленных предложений данной области к новому доказываемому.

К достоинствам синтетического метода доказательства относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость. Обычно он применяется при изложении уже разработанных математических теорий, известных доказательств или доказательств, отыскание которых не вызывает у учащихся затруднений.

Синтетический метод в методическом отношении имеет и свои недостатки. Остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся не привлекаются к доказательству, так как они не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения.

Для аналитического метода доказательства характерно обратное движение мысли «от заключения теоремы к ее условию», то есть от доказываемого предложения к тем предложениям (аксиомам, определениям, ранее доказанным теоремам), из которых оно выводится.

Преобразование заключения суждения могут быть в форме [10]:

отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ);

отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

Важнейшим преимуществом аналитического метода является то, что учащиеся могут сами сознательно осуществлять поиск доказательства, однако на это требуется достаточно много времени. Обычно при доказательстве теоремы осуществляется последовательное преобразование то условия, то заключения суждения, то есть аналитико-синтетический метод.

В основу метода математической индукции положена аксиома арифметики натуральных чисел.

Дедуктивные рассуждения – это то, что в математике обычно называют логическими рассуждениями, и в математической науке дедукция является единственным законным методом исследования.

Индукция наглядно иллюстрируется известной легендой о том, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко.

«Ньютоново яблоко» – типичный пример ситуации, когда один или несколько частных случаев, то есть наблюдения, «наводят» на общее утверждение, общий вывод делается на основании частных случаев.

Индуктивный метод является основным для получения общих закономерностей и в естественных, и в гуманитарных науках. Но он имеет весьма существенный недостаток: на основании частных примеров может быть сделан неверный вывод. Гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными.

Метод математической индукции заключается в следующем. Пусть есть некое утверждение, зависящее от n, . Требуется доказать, что оно верно при всех натуральных .

Базис индукции. Проверяется его справедливость при

Предположение индукции. Предполагается истинность этого утверждения при.

Индукционный шаг. На основании этой информации доказывается выполнение утверждения при Тогда данное утверждение справедливо при всех .

Метод математической индукции позволяет строго и быстро доказать многие утверждения и теоремы. Обратите внимание на то, что переменная nпринимает значения из множества целых чисел. В других случаях метод не применим.

Доказательство, которое основывается на установлении истинности посредством опровержения некоторых суждений, не содержащихся в данной теореме, называется косвенным доказательством теоремы. К косвенным приемам поиска доказательств относят:

метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);

Доказательство «от противного» в математике – один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Доказательство от противного – вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения – антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение A, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

разделительный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

К методам доказательства, выделенным по математическому аппарату, используемому в доказательстве, относят [15]:

1. Метод геометрических преобразований. Используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Он состоит из выполнения последовательности шагов:

выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии;

выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

2. Алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований).

3. Векторный метод, использующий аппарат векторной алгебры.

4. Координатный метод – способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системе координат или какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем).

При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы.

Для того чтобы овладеть прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений:

искать доказательство,

проводить доказательство,

оформлять доказательство теоремы.

Выбор и использование того или иного метода доказательства теоремы во многом определяется его сущностью и взаимными связями, используемыми методами обучения, содержанием и местом теоремы в общей системе обучения математике, возможностями активизации познавательной деятельности.

В ходе исследования и изучения теории, нами были определены виды математических утверждений, в которых решение представлено алгебраическим доказательством. Такие виды математических утверждений как неравенства и тождества.

Неравенства

Неравенство – утверждение об относительной величине двух чисел или иных математических объектов о том, что один из них меньше или больше другого, или о том, что они не одинаковы.

Доказать неравенство, содержащее некоторые буквы, — это значит показать, что ему удовлетворяют любые допустимые или специально указанные значения этих букв.

Задачи на доказательство неравенств можно встретить на олимпиадах высокого уровня.

Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если , то ;если, то ;

2) если , то ; если то

3) если и , то ;

4) если и при этом – любое число, то ;

5) если и при этом , то ;

6) если , то ;

7) если и при этом , то

8) если , то ;

9) если , , . . . , , то ;

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

1) ;

2) , при а ;

3) , при , и , при ;

4) ;

5) если , то ;

6) если и , то , в частности, для натурального и ;

7) если и , то ;

8) если , то .

Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел (неравенство Коши):

неравенство Бернулли:

, где , n – натуральное число;

неравенство Коши – Буняковского:

Тождества

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Доказать тождество — это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения.

При доказательстве любых тождеств обычно используют следующие способы:

1) выражение, стоящее в одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства;

2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду;

3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.

Практическая часть

Метод математической индукции и метод «от противного» являются общими для неравенств и тождеств. Также нами были систематизированы частные методы доказательства неравенств и тождеств.

Примеры доказательства неравенств.

Задача 1 (метод математической индукции).Докажите, что при натуральном и справедливо неравенство

Решение:Воспользуемся методом математической индукции.

При неравенство верно. Действительно,

Если неравенство верно при , то при имеем

.

Неравенство доказано для любого натурального .

Задача 2 (метод «от противного»). Докажите неравенство

где a – положительное число [17].

Решение: Предположим противное:

Умножая обе части неравенства на a , получим:

т.e. ,или ,что неверно.

Полученное противоречие доказывает справедливость рассматриваемого неравенства.

Неравенство доказано.

Задача 3(использование определения понятий «больше» и «меньше»). Доказать, что любые положительные числа а и b удовлетворяют неравенству

,

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда a = b [15].

Решение: Перенесем правую часть в левую с противоположным знаком, получаем

,

приведем левую часть под общий знаменатель

но , поэтому , а значит, .

Причем, равенство достигается тогда и только тогда, когда

т.е. при a=b.

Неравенство доказано.

Задача 4 (метод выделения квадрата). Докажите неравенство:

Решение:

Неравенство доказано.

Задача 5 (использование специальных неравенств). Докажите, что при имеет место следующее неравенство:

Решение: Запишем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел a и b, b и c, a и c :

Так как левая и правая части этих неравенств при

положительны, то эти неравенства одинакового смысла можно почленно перемножить, в результате чего получим:

Окончательно имеем:

Неравенство доказано.

Задача 6 (использование элементов математического анализа). Доказать неравенство

при

Решение: Рассмотрим функцию

и найдем её производную

Учтем, что здесь

Поэтому при Тогда

Неравенство доказано.

Задача 7 (метод выделения квадратов). Доказать, что при любых значениях x и yсправедливо неравенство

Решение: Преобразуем неравенство

Неравенство доказано.

Задача 8 (метод математической индукции). Пусть a и b – катеты, а c – гипотенуза треугольника. Доказать, что для всех натуральных имеет место неравенство

Решение: Из теоремы Пифагора имеем:

Таким образом, истинность приочевидна.

Предположим, что данное неравенство истинно при , где , т.е.Тогда имеем:

Следовательно,Неравенство доказано.

Примеры доказательства тождеств.

Задача 1 (метод математической индукции).Докажите тождество

Решение: Проверяем справедливость равенства при . Для этого нам понадобятся основные формулы тригонометрии

То есть, равенство верно для .

Предположим, что равенство верно для т.е. справедливо тождество

Переходим к доказательству равенства

для , основываясь на втором пункте

Так как по формуле тригонометрии

то

Тождество доказано.

Задача 2.Докажите тождество

Решение: Преобразуем обе части тождества:

вынесем y за скобки в правой части и раскроем разность квадратов в левой части равенства

сократим полученные дроби

Получаем равные выражения левой и правой части. Тождество доказано.

Задача 3. Докажите тождество

Решение: Преобразуем левую часть равенства:

раскроем скобки

приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобки

Получаем в левой части выражение равное выражению в правой части. Тождество доказано.

Задача 4. Докажите тождество

Решение: Преобразуем правую часть равенства:

раскроем скобки

Получаем в правой части выражение равное выражению левой части. Тождество доказано.

Задача 5. Докажите тождество:

Решение: Выполним тригонометрические преобразования в левой части:

Выполнив преобразования, получаем верное равенство. Тождество доказано.

Заключение

Математика всегда служила человеку инструментом познания. Она является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы.

Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели.

Математический язык является удобным языком для описания реальных явлений, где бы они ни происходили. Математика будет полезна современному человеку – менеджеру, экономисту, юристу, если ею научиться грамотно и успешно пользоваться в процессе познания.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических структурах, она дает удобные и плодотворные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет функцию языка.

Владение математикой дает людям мощные методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Для успешной деятельности специалист с высшим образованием должен уметь максимально продуктивно использовать имеющуюся у него информацию о рассматриваемом объекте или явлении. Кроме всегда имеющих непреходящую ценность знаний, интуиции и опыта, специалист должен хорошо ориентироваться в математическом аппарате, математическом моделировании, компьютерных технологиях.

Важность владения методами математики обусловлена еще и тем, что современная информационная техника переработки информации базируется на математике. Изучая дисциплину «Математика», мы овладеваем языком математики и получаем основные сведения о тех ее разделах, на которые в дальнейшем опираются предусмотренные учебным планом различные специальные дисциплины, приобретаем знания об основных математических моделях, учимся применять основные математические методы, получаем навыки применения их в практической работе.

Можно сделать следующие выводы. Действительно, в процессе изучения задач на доказательство у меня сформировались навыки самостоятельного определения и обоснования доказательств и выводов для выполнения курсовой работы.

Список использованных источников:

Алексеев, Р.Б. Неравенства [Текст] / Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курляндчич // Математика в школе. – 2013. - №3.

Антонова, Н. Неравенство Коши о среднем арифметическом и геометрическом [Текст] / Н. Антонова, С. Солодовиков // Математика. – 2012. - №20.

Беклемишева, Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Текст]: учебное пособие / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. – М.: Физматлит, 2013. – 496 c.

Бортаковский, А.С. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии [Текст] / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М.: Высшая школа, 2007. – 352 c.

Бохер, М. Введение в высшую алгебру [Текст] / М. Бохер. – М.: ЛКИ, 2008. – 296 c.

Бурмистрова, Е.Б. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии [Текст] / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов – М.: ГУ ВШЭ, 2007. – 220 c.

Бутузов, В.Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах [Текст] / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин. – М.: Лань, 2008. – 256 c.

Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. – М.: Физматлит, 2014. – 464 c.

Золотарева, Н.Д. Алгебра. Базовый курс с решениями и указаниями [Текст] / Н.Д. Золотарева, Ю.А. Попов, Н.Л. Семендяева, М.В. Федотов. – М.: Век, 2015. – 433 с.

Зуланке, Р. Алгебра и геометрия. В 3 томах [Текст] / Р. Зуланке, А.Л. Онищик. – Т.1. – М.: МЦНМО, 2014. – 408 c.

Киркинский, А.С. Алгебра и аналитическая геометрия [Текст] / А.С. Киркинский. – М.: Академический Проект, 2006. – 256 c.

Конюшков, А. Неравенство Коши – Буняковского [Текст] / А. Конюшков // Научно-популярный физико – математический журнал «Квант». – 2011. - №8.

Коровкин, П.П. Неравенства [Текст] / П.П. Коровкин. – М., 2010. – 56 с.

Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. – Ч.1, [Текст] / А.И. Кострикин. – М.: Физико-математическая литература, 2011. – 272 c.

Крючков, Н.И. Сборник заданий по алгебре [Текст] / Н.И. Крючков, В.В. Крючкова. – М.: Академия, 2007. – 192 c.

Лизунова, Н.А. Матрицы и системы линейных уравнений [Текст] / Н.А. Лизунова, С.П. Шкроба. – М.: Физматлит, 2007. – 352 c.

Математика для школы [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://math4school.ru/dokazatelstvo_neravenstv.html (дата обращения: 14.04.2017).

Метод математической индукции [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/articles/induction.html (дата обращения: 12.04.2017).

Миронов, В.Л. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] / В.Л. Миронов. – М.: Академия народного хозяйства, 2008. – 192 c.

Панкратьев, Е.В. Элементы компьютерной алгебры; Интернет-университет информационных технологий [Текст] / Е.В. Панкратьев. – М.: Бином, 2007. – 248 c.

Постников, М.М. Алгебра [Текст] / М.М. Постников. – М.: Лань, 2009. – 400 c.

Потапов, М.К. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции [Текст] / М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко. – М.: Высшая школа, 2011. – 736 c.

Проскуряков, И.В. Сборник задач по алгебре [Текст] / И.В. Проскуряков. – М.: Бином, 2016. – 384 c.

Шапуков, Б.Н. Задачи по алгебре [Текст] / Б.Н. Шапуков. – М.: Век, 2012. – 256 c.

Код для цитирования: Скопировать