X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Математическая наука всегда ставила целью облегчить жизнь человека, узнать больше об окружающем мире и познать его закономерности и тайны. Математики составляют математическую модель явлений, выделяя самые существенные черты наблюдаемых в природе явлений, связывая эмпирические данные с помощью математических зависимостей и вводя различные числовые характеристики.
Одна из самых содержательных тем элементарной математики – логарифмические уравнения и неравенства. Они имеют большое разнообразие интересных методов решения, которые развивают рациональное мышление, познавательный процесс и память.
Материал, по которому изучают логарифмические уравнения, неравенства и их системы, достаточно интересен, доступен и богат по содержанию, по способам и приёмам решения и по возможностям их применения. Вопросы, которые предлагаются для изучения, есть в обычных учебниках общеобразовательных школ как основной материал.
Научные открытия в естествознании и механике, совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних вычислений. Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Джон Непер считал, что в математике нет ничего более, скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней. Эти операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, и поэтому он решил найти простое и надёжное средство, чтобы избавиться от них[17,20].
Логарифмы были придуманы для ускорения вычислений. Применение логарифмов приводит к упрощению многих сложных вычислительные операции. Использование вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.
История логарифмов, методы решения логарифмических уравнений неравенств и их систем связаны с именами ряда математиков: Генри Бригс, Михаиль Штифель, Джон Непер, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Джон Спейдел, Йост Бюрги [17].
В данной курсовой работе будут рассмотрены свойства логарифмов, методы решения уравнений и неравенств, логарифмическая функция и ее свойства.
Объектисследования: логарифмические уравнения, неравенства и их системы.
Предмет исследования: методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
Цель: систематизация теоретического и практического материала по теме «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы».
Задачи:
изучить и описать историю возникновения логарифмов;
обобщить и изложить основной теоретический материал по данной теме;
привести примеры решений логарифмических уравнений, неравенств и их систем;
Работа состоит из введения, двух глав, заключения списка источников.
Результаты исследования были представлены на конференциях:
1) IV внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Молодёжь в мире науки» (ноябрь 2016 год, г. Сургут), по итогам которой доклад «Логарифмические уравнения, неравенства и их системы» занял первое место в секции.
2) XXI студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (апрель 2017 год, г. Сургут).
Список использованной литературы включает 25 наименований.
Теоретическая часть
Исторический обзор по теме
В XVI веке возникла потребность в сложных расчётах, и уже в то время много проблем вызывало умножение и деление многозначных чисел, а также извлечение корней.
В средневековой Европе в конце века некоторым учёным пришла сама идея логарифма, основанная на идее замены операции умножения на операцию сложение.
Одним из первых основы теории этой идеи опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» в 1544 году Михаэль Штифель[ссылка]. Но он не приложил усилий для практической реализации. Спустя 70 лет шотландский математик Джон Непер опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов». В своей работе он дал краткое описание логарифмов, их свойств, также привёл таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Непер предложил термин «логарифм», который потом приняли в науке. В 1619 году сын Джона Непера, Роберт, издал книгу «Построение удивительной таблицы логарифмов», в которой находились работы его отца, одной из них являлась теория логарифмов [17].
Спустя время обнаружили ошибку в алгоритме, то есть все цифры после шестого знака в его таблицах были неверными. Это не помешало стать новой методике известной. В 1624 году Кеплер выпустил свой вариант логарифмических таблиц.
На протяжении нескольких лет ученый издавали и переиздавали свои варианты таблиц. Такими учеными были Генри Бригс, Джон Спайделл, Йост Бюрги, Георга Веги. В таблицах всех этих учёных обнаруживались ошибки, и только в 1857 вышло безошибочное издание таблиц в Берлине.
Первые таблицы логарифмов в России были изданы в 1703 году. Большую популярность в СССР приобрели таблицы Брадиса В.М.. Таблицы Брадиса широко использовали в учебных заведениях. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты [2].
В конце XIX века математики своего времени пришли к выводу, что удобно будет писать основание логарифма ниже символа log. В тоже время появились краткие обозначения для десятичного и натурального логарифма.
Ещё одним великим открытием, связанным с логарифмами, была логарифмическая линейка. Эдмунд Гантер придумал ее в 1623 году для упрощения работы с ними, вскоре после открытия логарифмов. Шкала использовалась в сочетании с циркулем. Им отмеривались необходимые градуированные отрезки, которые потом складывались или вычитались. Операции с числами заменялись действиями с логарифмами, используя их основные свойства.
В 1623 году линейка логарифмическая была усовершенствована У. Отредом. Он добавил вторую подвижную шкалу. Она перемещалась вдоль основной линейки. Отмерять отрезки и считывать результаты исчислений стало легче.
Действительно, логарифмы облегчают вычисление, делают математику ещё интереснее, не говоря о том, что некоторые действия невозможны в математике без использования логарифмов.
Основные понятия
Определение 1. Логарифмом положительного числа bпо положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить числоb[15].
Определение 2. Если то по определению есть показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число . Поэтому равенство есть основное логарифмическое тождество [19].
Определение 3. Логарифмическим уравнением называют уравнения вида
,
где a – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду [15].
Определение 4. Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом [1]. Запись читается как «натуральный логарифм b». Например, – это натуральный логарифм семи.
Определение 5. Логарифм по основанию 10 называется десятичный логарифмом [1]. Запись читается как «десятичный логарифм b». Например, - это десятичный логарифм единицы, а - десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.
Определение 6. Логарифмирование – это операция вычисления логарифма называется. Эта операция является обратной операции возведение в степень с соответствующим основанием [15].
Свойства логарифмов[2]:
Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей, т.е.:
.
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, т.е.:
.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т.е.:
;
;
.
Формула перехода от основания b к основанию a имеет вид:
;
В частности, если , то: ;
Если , то: ;
Если , то: .
Определение 7. Логарифмической функцией называют функцию вида
,
где любое положительное число не равное единице.
Рис. 1
Основные свойства логарифмической функции [2]:
Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел;
Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел;
Если основание логарифмической функции (рис. 1а), то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство (рис. 1б), то на всей области определения функции убывает;
График логарифмической функции всегда проходит через точку
Возрастающая логарифмическая функция будет положительной при , и отрицательной при ;
Убывающая логарифмическая функция будет отрицательной при , и положительной при ;
Функция не является чётной или нечётной. Логарифмическая функция - функция общего вида;
Функция не имеет точек максимума и минимума.
Методы решения логарифмических уравнений
Определение 8. Как известно из школьного курса, уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти. Значение этой переменной и есть корень уравнения.
Определение 9. Корень уравнения – это такое значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
Если , уравнение при любом действительном b имеет единственное решение . Это уравнение решается по определению логарифма.
Решая логарифмические уравнения, нужно опираться на теорему, из которой следует, что при , где , , справедливо, что . Такой переход называют потенцированием[15].
Определение 10 .Решать логарифмическое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
При решении логарифмических уравнений применяются такие преобразования, которые не приводят к потере корней, а могут лишь привести к приобретению посторонних корней. Проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности преобразований при решении уравнений.
Необходимо отметить, что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ): под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов - положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике рациональнее будет сделать проверку подстановкой корней уравнения.
Пример 1. Решить уравнение: .
Решение. Так как в обеих частях уравнения основания равны, мы имеем право освободить их от знака логарифма или потенцируем, получаем:
,
,
.
Проверим найденные корни по условиям, определяющим ОДЗ:
Значение не удовлетворяет этой системе неравенств, то есть посторонний корень для заданного уравнения.
Значение удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому корень заданного уравнения.
Ответ: -3.
На основе анализа учебно-методической и научной литературы, можно выделить четыре основных метода решения логарифмических уравнений [1-4]:
Метод введения новой переменной.
Суть этого метода заключается в том, чтобы одинаковые части уравнения, содержащие переменную, заменить на новую переменную. Введение новой переменной позволяет упростить исходное уравнение.
При решении логарифмических уравнений этот метод используется очень часто. Новая переменная в логарифмических уравнениях иногда очевидна, но в большинстве случаев ее можно увидеть только в процессе каких-либо преобразований.
Пример 2.Решить уравнение: .
Решение.Используя свойства логарифмов, преобразуем , получим:
.
Заданное уравнение можно переписать так:
.
Теперь мы можем приступить к введению новой переменной. Заменим , тогда уравнение примет следующий вид:
.
Далее находим:
;
;
.
Это значение удовлетворяет условию . Итак, y=2. Но, следовательно, делаем возврат к замене:
.
.
Ответ: 100.
Использование свойств логарифма.
Этот метод основан на использовании свойств логарифма. Чаще всего встречаются уравнения, в которых нужно опираться на основное логарифмическое тождество, но не стоит забывать о других свойствах.
Пример 3.Решить уравнение: .
Решение. Используя свойство перехода от одного основания логарифма к другому, получим:
.
Введём новую переменную , тогда уравнение примет вид:
,
,
.
Делаем возврат к замене:
;
Ответ: 8, 1.
Метод логарифмирования.
Этот метод является обратным по отношению к потенцированию. Если в потенцировании мы избавляемся от знака логарифма, то в этом методе мы его вводим. Суть метода заключается в том, чтобы взять логарифм от обеих частей уравнения по одному и тому же основанию, для того чтобы в дальнейшем, используя свойства логарифма, найти корни уравнения.
Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Так как обе части уравнения принимают положительные значения, мы можем приступить к логарифмированию. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5. Получим:
.
Используя свойства логарифма, преобразуем .
.
В результате преобразований, получим:
.
Это уравнение можно решить путём введения новой переменной . Тогда это уравнение примет вид:
;
Делаем возврат к замене:
;
.
Ответ: 25, .
Функционально-графический метод.
Функционально-графический метод основан на использовании графических иллюстраций и свойств функций. Суть метода заключается в том, что нужно найти точки пересечения графиков функции обеих частей уравнения. Для этого необходимо знать свойства логарифмической функции. При решении логарифмических уравнений учитывается монотонность функции.
Пример 5.Решить уравнение: .
Решение. Строим график логарифмической функции и график линейной функции .
Рис. 2
Нельзя забывать о свойствах этих функций. У функции (рис. 2) корнями будут всегда положительныечисла, так как областью определения логарифма является .
Ответом является точка пересечения графиков: x= 2,6.
Если в ответе указать координату y точки пересечения графиков, то это будет ошибкой, так как у данного уравнения только одно неизвестноеx.
Ответ: 2,6.
Методы решения логарифмических неравенств
Определение 11. Неравенством называется алгебраическое выражение, в котором функции связаны между собой знаками сравнения.
Определение 11. Логарифмическим неравенством называется неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.
Определение 12. Решить неравенство – это значит найти множество всех его решений.
Простейшим неравенством называется неравенство вида:
,
где V – это один из знаков неравенства .
Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции. Функция монотонно возрастает, если , и монотонно убывает, если . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, при решении неравенств нужно также учитывать значение основания логарифма.
Если значение основания логарифма больше единицы, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.
Если значение основания логарифма больше нуля и меньше единицы, то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.
Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этого делать нельзя: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
Также при решении неравенства нужно соблюдать правила преобразования [20]:
Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.
Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.
Методы решения логарифмических неравенств совпадают с методами решения логарифмических уравнений.
Пример 6.Решить неравенство: .
Решение. При решении логарифмических неравенств обязательно учитываетсяОДЗ:
;
.
Прологарифмируем правую часть неравенства по основанию , получим:
.
Используя свойства логарифмов, внесём как степень подлогарифмического выражения.
.
Пользуясь тем, что основания логарифмов в правой и левой части одинаковые, мы можем опустить знак логарифма. Для перехода от логарифмических неравенств к обычным неравенствам, необходимо учитывать основание логарифма.
Так как в основании логарифма число знак неравенства поменяется на
противоположный.
;
;
.
Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ, поэтому он и является решением данного неравенства.
Ответ: .
Пример 7.Решить неравенство: .
Решение. Перед решением неравенства, обязательно учитываем ОДЗ:
;
;
.
Прологарифмируем правую часть неравенства по основанию 2, получим:
.
Используем свойства логарифмов, чтобы преобразовать правую часть.
.
Переходим от логарифмических неравенств к обычным. Знак неравенства не поменяется, так как в основании логарифма число 2.
;
;
.
Данный интервал попадает в ОДЗ, поэтому является решением.
Ответ:
Пример 8.Решить неравенство: .
Решение. Учитываем ОДЗ:
.
Это неравенство можно решить методом замены переменной.Введём новую переменную , тогда уравнение примет вид:
.
Для решения этого неравенства найдём корни уравнения:
;
;
.
Сделаем обратную замену:
;
.
Определим знаки исходного неравенства на каждом промежутке. Для этого строим числовую прямую (рис. 3):
Рис. 3
Учитываем знак неравенства меньше 0. Решение неравенства будет промежуток .
Ответ: .
Методы решения систем логарифмических уравнений и неравенств
Определение 13. Системами уравнений называют уравнения, объединённые слева фигурной скобкой, обозначающее множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.
Определение 14.Решением системы уравнений называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приёмы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.
Системы логарифмических уравнений можно разделить на несколько типов.
Системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим уравнениям.
Простейшие уравнения – это уравнения, которые решаются по одному и тому же алгоритму. По-другому их можно назвать типовыми уравнениями. Главное отличие систем этого типа является то, что после некоторых преобразований получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая решается любым из удобных методов.
Пример 9.Решить систему уравнений:
Решение: Упростим второе уравнение системы. Используя свойство логарифм произведения, получим:
Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма.
Выразим переменную через переменную
Решим второе уравнение.
;
;
;
.
Подставим полученные значения y в x.
.
Ответ: (2;3), (3;2).
Системы, которые сводятся к типовым уравнениям с помощью замены.
Системы, в которых в результате преобразований получаются типовые алгебраические системы, которые решаются методом замены одной или обеих переменных.
Пример 10. Решить систему уравнений:
Решение. Выразим через :
Решим второе уравнение.
;
;
;
Заменим . Получим обычное квадратное уравнение:
,
Возврат к замене:
.
.
Подставим полученные y в x:
,
.
,
,
.
Ответ: (100;10); .
Определение 15.Система неравенств – это система неравенств, объединённых слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.
Определение 16.Решением системы неравенств является такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное числовое неравенство, другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.
Системы логарифмических неравенств преимущественно решаются стандартным методом. Суть этого метода заключается в том, чтобы решить каждое из неравенств по отдельности, а затем найти множество решение как пересечение полученных множеств решений каждого из неравенств.
Пример 11.Решить неравенство:
Решение. Сначала найдём ОДЗ:
Прологарифмируем 1 неравенство по основанию :
Опустим знак логарифма. Так как в основании число знак неравенства меняется на противоположный.
;
Найдём общее пересечение этих неравенств. Отметим на числовой прямой точки и их знаки (рис. 4).
Рис. 4
Ответ: .
Таким образом, нами были рассмотрены методы, которыми можно решать логарифмические уравнения, неравенства и их системы.
В соответствии с поставленными задачами в первой главе нами был изучен и кратко изложен исторический обзор возникновения логарифмов.
Нами были рассмотрены основные определения, свойства логарифмов. Мы сформулировали определение логарифма, логарифмического уравнения, неравенства, а также их систем. Нами были изучены и систематизированы методы решения уравнений, неравенств и их систем. Привели примеры решения задач по каждому, выделенному методу.
Практическая часть
Решение типовых (стандартных) задач.Особенностью решения стандартных задач является то, что для этих задач имеются общие правила, определяющие точный алгоритм их решения. Прежде чем приступать к решению таких задач, нужно определить ее вид. Аналогично с логарифмическими уравнениями, неравенствами и их системами.
Пример 1. Решить уравнение:
Решение. Найдём ОДЗ:
.
Потенцируем данное равенство, получим уравнение:
Полученное уравнение распадается на два уравнения:
,
.
Корни первого уравнения и .
Корни второго уравнения 3 и 6.
Учитывая ОДЗ, подходят и 3.
Ответ: 3; .
Пример 2.Решить уравнение: .
Решение. Найдём ОДЗ для этого уравнения. Так как находится в основания логарифма, то принимает только положительные значения. Используя свойства логарифмов, упростим уравнение:
;
;
;
.
Опустим знак логарифма и получим квадратное уравнение.
;
;
.
Так как отрицательный, то он не является корнем данного уравнения.
Ответ: 4.
Пример 3.Решить неравенство: .
Решение. Упростим обе части неравенства:
;
Заданное неравенство можно переписать так:
.
Так как в основании логарифма число , то освобождая от знаков логарифма, неравенство не изменит знак.
.
Данное неравенство можно разбить на 3 неравенства:
Найдём множество решений третьего неравенства:
,
,
,
.
Отметив на числовой прямой эти решения, находим их пересечение:
Ответ:
Пример 4.Решить неравенство:
Решение: Представим в виде логарифма по основанию :
После этих преобразований, получим:
.
Освобождаем неравенство от знака логарифма. Так как в основании логарифма число то меняем знак неравенства на противоположный. Это неравенство можно разбить на 2 неравенства:
Первое неравенство системы можно не решать, так как оно входит во второе неравенство. Решая второе неравенство, находим:
,
Ответ: .
Пример 5.Решить систему:
Решение: Найдём ОДЗ:
Упростим первое уравнение:
,
,
.
Опустим знак логарифма:
,
.
Упростим второе уравнение:
,
.
Освобождаемся от знака логарифма:
.
Подставляем
,
,
.
Подставляем
,
,
.
Проверяем все корни. Второй и четвёртый корни не подходят по ОДЗ.
Если
если
Ответ: (3;18), (1;-6).
Решение задач повышенной сложности
Пример 6. Решить уравнение:
.
Решение.Найдём ОДЗ:
Упростим правую часть уравнения, получим 2.
Имеем:
,
.
Корни этого уравнения -18 и 20.
Первый корень не удовлетворяет исходному уравнению, поскольку при основание логарифма становится равным 1.
Ответ: 20.
Пример7. Решить неравенство: .
Решение: Найдём ОДЗ:
В основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому можно привести логарифм к одному основанию. Используя свойства логарифмов, получим:
,
.
Представим обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:
.
Теперь мы можем избавиться от знака логарифма. Так как в основании число больше 1, то знак неравенства сохраняется. Учитывая ОДЗ, получим:
Отсюда:
Ответ:
Во второй главе нами было рассмотрены типовые задачи на логарифмические уравнения, неравенства и их системы, приведены примеры решения.
Также мы рассмотрели задачи повышенного уровня и привели их решение с объяснением получения результата.
Заключение
В данной работе систематизировано изложен основной теоретический материал и рассмотрены методы решения логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
Работа имеет введение, в котором приводится исторический обзор истории возникновении логарифмов в математике. В первой части содержатся теоретические сведения о решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
Нами было проведено анализ основных понятий темы, рассмотрено основные определения темы. Мы сформулировали определение логарифма, логарифмических уравнений, а также логарифмических неравенств и их систем.
Курсовая работа содержит большое число примеров, включая задания повышенной сложности, которые помогают лучше понять данный изучаемый материал.
Рассмотренные методы решений продемонстрированы на конкретных примерах. Большинство разобранных заданий взято из пособий для подготовки к ЕГЭ.
Данная работа помогает разобраться в сущности логарифмических уравнений, неравенств и их систем, научиться решать с помощью неё изучаемые математические уравнения, неравенства и их системы. Материалы работы можно использовать на уроках, математических кружках, спецкурсах, факультативах.
Решение задач на логарифмы развивает у обучаемых способность к обобщению и аналогии, критическому мышлению, а также умение прогнозировать результат.
Таким образом, цель курсовой работы достигнута, все и поставленные задачи выполнены.
Список использованных источников
Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва. 10-11 классы. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 464 с.
Алтынов, П.И. Учебный справочник школьника [Текст] / П.И. Алтынов, С.Г. Антоненко и др. – 4-е изд. – М.: Дрофа, 2004. – 1664 с.
Аматова, Г.М. Математика учебное пособие для студ. высш. пед. заведений [Текст] / Г.М. Аматова, М.А. Аматов. – М.: Издательский центр "Академия", 2008. – 256 с.
Антонов, В.И. Элементарная математика для первокурсника: [Электронный ресурс]: Учебное пособие / В.И. Антонов, Ф.И. Копелевич. – СПб.: Изд-во "Лань", 2013. – 112с. Доступ с сайта электронно-библиотечной системы Издательства "Лань". - Режим доступа: http://e.lanbook.com/view/book/5701/
Блох, А. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / А. Блох, Е.С. Канин, Е.С. Черкасов и др. – М.: Просвещение, 2015. – 336 с.
Бочкарева, В.Д. Сборник задач по математике для поступающих в вузы [Текст] / В.Д. Бочкарева. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2013. – С. 141.
Бочкарева, В.Д. Алгебра [Текст]: учебно-методическое пособие/ В.Д. Бочкарева. - Саранск: СВМО, 2012. – 40 с.
Варпаховский, Ф.Л. Алгебра [Текст] / Ф.Л. Варпаховский., А.С. Солодовников и др. – М.: Просвещение, 2014. – 160 с.
Галицкий, М.Л. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Методические рекомендации для учителя (углублённый уровень) [Текст] / М.Л. Галицкий и др. – М.: Изд-во «Мнемозина», 2015.
Глухов, М.М. Задачник-практикум по алгебре [Текст] / М.М. Глухов, А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 2009. – 276 с.
Дорофеева, А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений [Текст] / А.В. Дорофеев. – 3-е изд. – М.: Юрайт, 2012. – 399 с.
Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [Текст] / В.К. Егерев, Б.А. Зайцев и др. – 6-е изд. – М.: ОНИКС–ЛИТ, 2013. – 608 с.
Ерепев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы [Текст] / В.К. Егерев, Б.А. Зайцев, Б. А. Кордемекий и др. – 6-е изд. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2015. – 608 с.
Кокурина, Ю.К. Арифметика, алгебра, анализ [Текст] / Ю.К. Кокурина – Владимир: ВлГУ, 2016. – С. 143.
Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник для учащихся общеобраз. учр. [Текст] / А.Г. Мордкович. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2012. – 399 с.
Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10. Задачник для учащихся общеобраз. учр. [Текст] / А.Г. Мордкович. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2012. – 399 с.
Николаева, Е.А. История математики от древнейших времен до XVIII века: учебное пособие [Электронный ресурс] / Е.А. Николаева. – Электрон. дан. – Кемерово: Кемеровский государственный университет, 2012. – 112 с. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php. – Загл. с экрана.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс [Текст] / Д.Т. Письменный. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 602 c.
Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике с контр. работами [Текст] / К.Н. Лунгу [и др.]. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 574 с.
Сканави, М.И. Логарифмические уравнения и неравенства. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы [Текст] / М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2009. – С. 912.
Солодовников, А. С. Задачник-практикум по алгебре [Текст] / А.С. Солодовников, А.М. Родина. – М.: Просвещение, 2015. – 127 с.
Ткачук, В.В. Математика – абитуриенту [Текст] / В.В. Ткачук. – 14-е изд. – М.: МЦНМО, 2007. – 976 с.
Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев. – М.: Наука, 2014. – 416 с.
Шарыгин, И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. общеобраз. учр. [Текст] / В.И. Голубев. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 1995.- 384 с.: ил.