ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ

Селезнева К.О. 1, Уразаева Л.Ю. 1

1Сургутский государственный педагогический университет

Работа в формате PDF

278.4 KB

Сертификат участника

Комментарии

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Значительное место в школьном курсе математики занимает содержательно-методическая линия уравнений и неравенств [5]. В данной работе в контексте формирования общего приема решения уравнений и неравенств исследуем методы решения иррациональных уравнений и неравенств в элементарной математике.

В частности, покажем на основании анализа и обобщения источников, что основная идея алгебраического метода решения иррационального уравнения – это преобразование его к рациональному, которое решается в соответствии с известной теорией. Также рассмотрим способы решения иррациональных неравенств и их систем.

В работе рассмотрим различные способы преобразований (реализуемые как с использованием равносильных преобразований, так и без них), и подходы к проверке найденных корней иррационального уравнения. Сказанное еще раз подчеркивает важность данной темы для успешного овладения методами элементарной математики.

Изучением данной проблемы занимались многие выдающиеся и известные учёные: Бурова И.А., Бабынин В.В, Дробышев Ю.А., Колмогоров А.Н. и многие другие. В своих работах они рассматривали отдельные методы и способы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем обобщали способы их решения. Но, тем не менее, отдельных работ, посвященных комплексному анализу методов решений иррациональных уравнений, неравенств и их систем в настоящее время нет. Поэтому изучение и обобщение материалов по этой теме очень актуально. Практическое применение, возможно при вычислении диагонали прямоугольного земельного участка и других вычислениях.

Объект исследования: иррациональные уравнения, неравенства и их системы.

Предмет исследования: методы и приёмы решения иррациональных уравнений и систем иррациональных неравенств.

Цель исследования: систематизация теоретического и практического материала и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

- изучить учебно-методическую и научную литературу по данной теме;

- систематизировать теоретический материал, связанный с методами решения иррациональных уравнений и систем неравенств;

-выявить, как общие подходы к решению уравнений применимы для решения иррациональных уравнений неравенств и их систем;

- подобрать примеры решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем для демонстрации излагаемой теории.

Работа состоит из введения, двух частей, заключения.

Список используемых источников включает 25 наименований.

Теоретическая часть Основные понятия и определения темы

Рассмотрим определение корня n-ой степени и его свойства

Корнем n-й степени с числа a называется такое число, n-я степень которого равна a[1].

Например: корень 3-й степени из 8 равен 2, поскольку Корнем 4-й степени из числа 1 равен 1 или -1 , поскольку либо.

Арифметическим корнем n-й степени из числа, а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a, то есть означает либо .

К примеру: , , .

Арифметический корень чётной степени существует лишь из неотрицательных числовых значений: .

Арифметический корень нечетной степени существует из любого числа, поскольку, для .

В самом деле, .

Основные свойства корней:

Для любого действительного х:

В данной работе мы будем придерживаться следующего определения иррациональных уравнений:

Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими [10].

Неравенства, в которых неизвестное находится под знаком радикала, называют иррациональными [7].

Рассмотрим решение систем иррациональных уравнений и неравенств.

Методы решения иррациональных уравнений

1. Решение уравнения с использованием монотонности функции

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: если функция возрастает в области определения и число a входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Подобрать корень уравнения.

e) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1..

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной x.

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного x. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного x.

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при x=-3, а далее только возрастать . Число 5принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению x=1.

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень

Теорема 1.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень n, то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если n=2k+1, то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если n=2k, равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе

В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени 2k, т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 3.Решить уравнение .

Ответ: {-1}.

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида . При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

Выполним проверку, убеждаемся что решением уравнения будет x=9.

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 5.

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид: , корни которого и . Решая уравнение , получаем и . Сделав проверку, мы можем увидеть что корни 3 и -4,5 являются решениями уравнения.

Ответ: {3;-4,5}.

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 6.

Замена: тогда

Получаем уравнение:

Решив квадратное уравнение, получаем ,

Поскольку остаётся

Выполним обратную замену:

Откуда или

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Теорема 2.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 7.

ОДЗ:

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: {1;3}.

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 8.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего, а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине .

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

Или

Корень уравнения , т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение

не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: {-2}

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула .

Пример 9. +.

Преобразуем уравнение следующим образом:

Или

Обозначим и решим полученное уравнение методом интервалов.

Разбирая отдельнослучаи , находим, что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной x, получаем неравенства

Ответ: .

6. Метод оценки

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 10.

Проверку корня уравнения сделаем после решения примера.

Оценим обе части уравнения:

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной x не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число x=-1.

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

Ответ: {-1}.

Пример 11.

Проверку на наличие посторонних корней сделаем в конце решения примера.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши , можем записать:

причем равенство достигается при и

Проведем проверку результатов:

При

От сюда следует, 4=

Это говорит о том, что – не удовлетворяет условию уравнения, и не является его корнем.

При

От сюда, 8=8.

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ: {2}.

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй

Если уравнение имеет вид то его можно решить, возводя обе части этого уравнения в степень n. Полученное уравнение при нечетном n равносильно данному уравнению, а при четном n является его следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при n=2.

Пример 12.

Возведём обе части уравнения в шестую степень:

Применив формулы куба и квадрата суммы, раскроем скобки:

Выполнив подстановку корней, получаем, что решением данного уравнения будет

Ответ:.

При решении систем иррациональных уравнений используются знакомые методы решения систем уравнений: подстановка, сложение, замена переменных. При решении систем иррациональных уравнений следует учитывать, что замена переменных, как и обратная замена, является равносильным преобразованием, если не происходит при этом сужения области допустимых значений. Если для дальнейшего решения используются уравнения-следствия, то можно получить посторонние корни. Эти корни выявляются проверкой.

Методы решения иррациональных неравенств и их систем

К простейшим иррациональным неравенствам относятся неравенства вида:

< g(x) и > g(x), или ≤ g(x) и ≥ g(x)

Решение неравенств первого вида сводят к решению систем рациональных неравенств.

Потому что за определением арифметического корня, и под корневое выражение и значение корня неотрицательные. Поскольку по условию значения корня меньше от выражения , то последний должен иметь положительное значение. Третье неравенство получим после возведения обеих частей данного неравенства в степень, которая равна степени корня [17].

Рассматривая неравенства второго вида надо рассматривать два случая.

. Неравенство > g(x), удовлетворяется при каком-либо значении переменной x при котором будет существовать арифметический корень, то есть при каких .

Таким образом, решение данного неравенства сводится к решению такой системы неравенств:

g(x). Неравенство сводится к решению системы рациональных неравенств:

Множеством решений данного неравенства будет объединение множеств первой и второй систем[5].

Сложнее решать иррациональные неравенства вида [7]:

Если , тогда выполняются такие условия,

и соответственно

Если рассматривать такое множество, для которого данные условия выполняются, тогда данные неравенства равносильны такому неравенству ,

Во втором случае неравенству

решение которых сводится к рассмотренным выше типам неравенств [4].

В решении иррационального неравенства, с успехом можно применять способ подстановки или введения новой переменной.

Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применение рационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новой переменной [12].

Метод интервалов, рассматриваемый нами далее, относится ко второму подходу решения иррациональных неравенств, который не предполагает использование равносильных преобразований.

Сформулируем вначале этапы применения метода интервалов по отношению к неравенству с одной переменной безотносительно того, рациональное оно или иррациональное (здесь уместно и выражение «алгебраическое оно или трансцендентное»):

Привести исходное неравенство (если необходимо) к виду f (x) > 0 (знак неравенства может быть другим: "< ", "≤ " или "≥ "; существенное значение имеет то, что в левой части неравенства стоит некоторая непрерывная в своей области определения функция, а в правой – ноль).

Найти область определения функции y = f ( x).

Найти нули функции y = f (x) в области ее непрерывности (т.е. корни уравнения f(x)=0) и точки разрыва (если они существуют).

Нанести с учетом области определения на числовую ось полученные точки (масштаб можно нарушить, т.к. для решения неравенства важен лишь порядок расположения, а не истинные расстояния между отмечаемыми точками). Полезно нули функции в случае нестрого неравенства отмечать заштрихованным кругом, в случае строго неравенства – окружностью, точки разрыва – окружностью; граничные точки области определения в случае возможности нахождения в них значения функции y = f (x) – отмечать в соответствии с выполнением истинности неравенства в каждой такой точке.

На каждом из интервалов, полученных на числовой оси, определить знак функции y=f(x) и поставить его над этим интервалом (знак определяется подстановкой произвольно выбранных наиболее удобных значений x из каждого интервала или используя свойство непрерывной функции о перемене знака).

Выбрать нужные по условию интервалы (и/или точки) и записать ответ.

Покажем на примере применение метода интервалов при решении иррационального неравенства.

Пример 13. [20].

Решение данного неравенства посредством равносильных преобразований довольно сложно, поэтому для его решения воспользуемся методом интервалов.

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, меняя при этом их знак на противоположный

Область определения функции, стоящей в левой части неравенства есть промежуток .

Решим соответствующее уравнение:

Проверка показывает, что, x = – 3 – посторонние корни, а

x = 3 – корни уравнения. Точек разрыва нет, поэтому переходим к следующему этапу.

Нанесем на числовую ось полученные точки , x = 3, отметив область определения (рис. 1). При этом точки x = 3 отметим окружностью – они «не закрашены» (поскольку неравенство строгое, а в данных точках левая часть неравенства принимает значение равное нулю), точки отметим также окружностью (поскольку решаемое неравенство при подстановке данных значений обращается в неверное числовое неравенство).

Рис. 1

Определим знаки на каждом из трех интервалов (промежутки

и да естественно не рассматриваем, как не принадлежащие области определения):

а) на интервале возьмем точку x = – 3, тогда

(– 3) • поскольку – 6 < 0, то над данным интервалом ставим знак « – » [11].

б) на интервале возьмем точку x = 0, тогда

, поэтому над данным интервалом ставим знак « + ».

в) на интервале 3 < x < возьмем точку x = 3,1, тогда

поэтому над данным интервалом ставим знак « – ».

В ответ выбираем те промежутки значений x, где стоит знак « + », при этом учитываем вхождение в ответ точек, являющихся граничными. Получаем, что

при . Таким образом, ответ исходного неравенства есть промежуток .

Пример 14. Решим пример системы иррациональных неравенств:

Решение: для решения данной системы определим сразу ОДЗ

ОДЗ:

ОДЗ: x [; 4] [5; + ].

Общим промежутком значений удовлетворяющих как первое, так и второе неравенство является [4;.

Если учесть значение ОДЗ, тогда решением системы неравенств будет находится на промежутке: [5;.

Ответ: [5; {4}.

Как видим, выделенные этапы совпадают с этапами решения рациональных неравенств с той лишь разницей, что здесь необходимо учитывать область определения неравенства.

В первой главе мы рассмотрели методы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем. Каждый метод проиллюстрирован примером. Рассмотрим далее более сложные примеры.

Практическая часть Примеры решения иррациональных уравнений, демонстрирующие методы их решений

Рассмотрим разные способы решения более сложных иррациональных уравнений [6].

Как нам известно, иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное входит под знак радикала.

Обычно решение иррациональных уравнений начинают с нахождения области допустимых значений (кратко ОДЗ). Саму область определения, как множество, будем, как правило, обозначать D.

Уравнение вида .

Как правило, данные уравнения решают, предварительно освободившись от иррациональности при помощи операций почленного возведения обеих частей в квадрат и уединения одного из радикалов. Поскольку операция возведения в четную степень, вообще говоря, ведет к нарушению равносильности, то полученные корни нужно проверить на наличие посторонних корней.

Пример 1.

Решение:ОДЗ:

Так как то – посторонний корень.

Проверка. Подставив в исходное уравнение, получим истинное равенство 0 + = . Следовательно, корень уравнения.

Ответ:

Пример 2.

Решение:ОДЗ:

Решение исходного уравнения мы, конечно, ищем в ОДЗ, но, кроме этого, можно область, в которой ищется решение, сузить из некоторых других соображений. Анализируя последнее уравнение, видим, что область допустимых значений: х 2 (так как левая часть неотрицательная).

Если область определения – множество, фиксированное для данного уравнения, то область возможных решений может постоянно уточняться.

Учитывая ОДЗ, будет х = 2. Так как ОВР(область возможных решений) сужена до одной точки, то нет смысла продолжать решение, а достаточно ограничиться проверкой, не является ли х = 2 корнем исходного уравнения. То, что х = 2 – корень уравнения, очевидно [21].

Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или они оба не имеют решений. Из определения равносильности следует, что вместо того, чтобы решать данное уравнение, можно решать уравнение, ему равносильное. Равносильность в процессе решения уравнений не нарушалась (каждый раз при возведении в квадрат обе части уравнений были неотрицательны в ОВР), поэтому проверка не нужна.

Ответ: .

Пример 3.

Решение:ОДЗ:.

Уединим радикал:

Возводим обе части в квадрат:

Упростим:

Так как левая часть последнего уравнения неотрицательна, то ОДЗ:

Учитывая ОДЗ будет:

Возводим обе части в квадрат:

100(x + 4) = 1225 – 70х + .

Продолжая, получаем:

Учитывая ОДЗ, – корень посторонний. Остается проверить корень . Так как в ОДЗ первые два уравнения не эквивалентны, то необходима проверка. Убеждаемся, что действительно корень.

Ответ:

Рассмотрим несколько поучительных примеров.

Пример 4. .

Решение:

Очевидно, что левая часть в ОДЗ (ее даже нет необходимости находить) не меньше 3, правая часть равна 0, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

Пример 5. .

Решение:ОДЗ:

Ответ: (решений нет).

Пример 6. .

Решение:.

Подстановкой убеждаемся, что это единственно возможное число корнем не является. Следовательно, решений нет.

Ответ: .

Итак, примеры 4, 5, 6 решены без всяких преобразований. Принципиальную необходимость нахождения ОДЗ, необходимость вести преобразования так, чтобы не нарушалась равносильность. Два уравнения называются равносильными, если совпадают множества всех их решений или они оба не имеют решений. Из определения равносильности следует, что вместо того, чтобы решать данное уравнение (неравенство), можно решать уравнение, ему равносильное. Покажем на следующем примере [24].

Пример 7. .

Решение:

Возведем обе части в квадрат:

Упростив, получим:

Возводим обе части в квадрат:

Откуда: 0х = 0 => х ϵ R.

Вот теперь мы должны критически подойти к данному способу решения, нет принципиальной возможности выполнить проверку для всех точек числовой оси. Возвратимся к исходному уравнению:

ОДЗ:

Уединим первый радикал:

Обе части последнего уравнения в ОДЗ не отрицательны, поэтому почленное возведение в квадрат эквивалентности в ОДЗ не нарушит:

ОДЗ: ОДЗ: .

В ОДЗ обе части последнего уравнения неотрицательны. Снова почленное возведение равносильности не нарушит.

Учитывая ОДЗ, остается . Так как в ОДЗ эквивалентность не нарушилась, то решением будет любое х из промежутка .

Предложим еще такой способ решения. Преобразуем исходное уравнение:

и т.д.

Ответ: .

Часто иррациональные уравнения рассматриваемого типа можно существенно упростить с помощью замены.

Для уравнения

Даже подстановка f = у упрощает уравнение:

Более эффективной является подстановка

позволяющая избавиться от одного радикала:

Пример 8. .

Решение:

Сначала выполним замену, и к полученному после замены уравнению применим общую схему решения уравнения.

Замена:

Уравнение примет вид:

ОДЗ: yR.

Продолжая решение, получаем:

После замены равносильность не нарушалась, следовательно, у₁ = 0 – корень уравнения, полученного после замены.

Учитывая замену, получаем

Ответ: .

Уравнения вида [9].

Возводим обе части в куб. При этом удобно пользоваться формулами

Учитывая исходное уравнение, получаем:

Уединяя радикал и возведя обе части в куб, освобождаемся от последнего радикала.

Применяемая операция возведение в нечетную степень эквивалентности не нарушила, но мы одно выражение заменяли, не равным ему тождественно, другим выражением, следовательно, проверка нужна.

Пример 9. .

Решение:ОДЗ: R.

Получаем и х – 6х + 9 = 0;

х₁ = 1, x₂=x₃ = 3.

Так как кратность не учитывается, то решение:

x₁ = 1,

x₂= 3.

Проверкой убеждаемся, что корни подходят.

Ответ: .

Уравнения вида (где a, b, c, d -являютсянекоторыми числами, m, n – любоенатуральное число, обычно не превосходящие 4) и другие уравнения иногда решаются при помощи введения нескольких неизвестных с последующим переходом к рациональной системе [12].

Пример 10. Решить уравнение =4.

Решение: Введем переменные

Исходное уравнение принимает вид: . Такое уравнение имеет существенный недостаток: в нем две неизвестных. Но величины a и bне являются независимыми переменными – они зависят от переменной x. Выразим x через a и b

Если первое уравнение умножим на 2 и затем вычтем из него второе, то переменная x исключится, и останется связь только между a и b

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b

Использовав метод подстановки, приходим к такому уравнению:

Корни которого являются числами

и .

корень посторонний, поскольку .

Решим уравнение , откуда находим .

Проверка показывает, что x=2 является корнем уравнения.

Ответ: .

Рассмотрим примеры решения систем иррациональных уравнений различными методами.

Пример 11. Решить систему уравнений:

Решение: Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные.

Пусть (1),

тогда первоначальная система примет вид:

Решая полученную систему, методом подстановки находим:

Подставим найденные значения в систему (1), получим:

Возведя обе части первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему:

откуда находим: x=6, y=5.

Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы является решением исходной системы.

Ответ: (6; 5).

Пример 12. Решить систему уравнений:

Возведём 1 уравнение в куб, получим:

Возведём обе части уравнения в куб, получим:

Подставив в уравнение полученные корни, найдёмx:

Сделав подстановку полученных ответов в одно из уравнений, можно сделать вывод, чтоявляются корнями данной системы уравнений.

Ответ:

Примеры решения иррациональных неравенств и их систем, демонстрирующие методы их решений

Как мы уже говорили, простейшим иррациональным неравенствам относятся неравенства вида:

< g(x) и > g(x), или ≤ g(x) и ≥ g(x).

Рассмотрим примеры решения неравенств такого вида [24].

Пример 13. Решить неравенство: .

Решение: Данное неравенство можно представить в виде системы неравенств:

Решив эту систему, имеем:

Множеством решений данной системы является промежуток

Ответ: (

Рассматривая неравенства второго вида надо рассматривать два случая.

Пример 14. Решить неравенство [2]: .

Решение:

Если , то данное неравенство сводится к системе:

Множеством решений данной системы является промежуток (

Если , то данное неравенство сводится к системе:

Множеством решения этой системы является промежуток (14;).

Таким образом, множеством решений данного неравенства будет объединение числовых промежутков (

Ответ: (

На много сложнее решать иррациональные неравенства вида [7]:

Пример 15. Решить неравенство [17]: +.

Решение:Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Последнее неравенство представим в виде

Отсюда

Множество решений полученного неравенства является общей частью решения всех неравенств данной системы, и записывается в виде .

Ответ:x .

Пример 16. Решить неравенство: .

Решение:Вводим новую переменную t при помощи рационализирующей подстановки

=t, где t .

Далее имеем

для переменной tполучим такое рациональное неравенство:

, где t.

Ответ:x (-1;.

Покажем на примере применение метода интервалов при решении иррационального неравенства.

Пример 17. [20].

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, меняя при этом их знак на противоположный

Область определения функции, стоящей в левой части неравенства есть промежуток .

Решим соответствующее уравнение:

Проверка показывает, что, x = – 3 – посторонние корни, а

, x = 3 – корни уравнения. Точек разрыва нет, поэтому переходим к следующему этапу.

Рис. 2

Определим знаки на каждом из трех интервалов (промежутки

и да естественно не рассматриваем, как не принадлежащие области определения):

а) на интервале возьмем точку x = – 3, тогда

(– 3) • поскольку – 6 < 0, то над данным интервалом ставим знак « – » [11].

б) на интервале возьмем точку x = 0, тогда

, поэтому над данным интервалом ставим знак « + ».

в) на интервале 3 < x < возьмем точку x = 3,1, тогда

поэтому над данным интервалом ставим знак « – ».

при . Таким образом, ответ исходного неравенства есть промежуток .

Пример 18. Решим пример системы иррациональных неравенств:

Решение: для решения данной системы определим сразу ОДЗ.

ОДЗ:

ОДЗ: x [; 4] [5; + ].

Используя свойства неравенств, получим:

Общим промежутком значений удовлетворяющих как первое, так и второе неравенство является x [4;.

Если учесть значение ОДЗ, тогда решением системы неравенств будет находится на промежутке: x [5;.

Ответ: [5; {4}.

Во главе мы рассмотрели системы иррациональных уравнений и системы иррациональных неравенств. Показали как методы решения иррациональных уравнений и неравенств, применимы для решения систем иррациональных уравнений и неравенств.

Заключение

Значительное место в школьном курсе математики уделено содержательной линии уравнений и неравенств. Придерживаясь той точки зрения, что при решении определенного вида уравнений или неравенств, следует выделять общий прием решения, считаем необходимым уделять внимание и специальным приемам, характерным для данного вида. В данной работе, мы рассмотрели множество подходов к решению иррациональных уравнений, для решения неравенств нами было рассмотрено два подхода. Первый, широко используемый в школе, предполагает использование равносильных преобразований. Второй, без использования равносильных преобразований, представлен методом интервалов.

Учебный материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в математике организовано в отдельную содержательную линию.

Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью (здесь уравнения выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение уравнений к решению различного рода задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира).

Для решения определенного класса уравнений или неравенств, следует выделять общий прием решения, который можно представить следующими этапами:

1. Определить вид уравнения, неравенства.

2. Определить стандартное оно или нет.

3. Если стандартное, то решить в соответствии с известным правилом, алгоритмом.

4. Если нестандартное, то выяснить, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо перейти к использованию искусственных приемов решения.

5. Выполнить эти преобразования.

6. Сделать проверку.

7. Записать ответ.

Как правило, наибольшие затруднения вызывает четвертый этап, это связано с тем, что нахождение решения произвольного уравнения или неравенства не алгоритмизировано и требует проявления творчества.

При этом следует помнить, что развитие содержательной линии уравнений и неравенств идет линейно-концентрически: методы и приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные в одной теме, используются и в последующих темах, появление новых типов уравнений и неравенств влечет лишь обогащение знаний школьников о специальных преобразованиях, а общие методы и приемы остаются те же. Поэтому стоит подчеркивать и выделять как общее в процессе решения алгебраических уравнений и неравенств в основной школе, так и новое, специальное, связанное с особенностями решения трансцендентных уравнений и неравенств в старшей школе.

В соответствии с поставленными в работе задачами в первой главе были рассмотрели методы решения иррациональных уравнений, неравенств и их систем. Каждый метод проиллюстрирован примером. Рассмотрены более сложные примеры.

Во главе были, рассмотрели системы иррациональных уравнений и системы иррациональных неравенств. Показано как методы решения иррациональных уравнений и неравенств, применимы для решения систем иррациональных уравнений и неравенств.

Таким образом, задачи работы выполнены, поставленная цель исследования достигнута.

Список используемых источников

Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2013. – 254 с.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение, 2012. – 351 с.

Болтянский, В.Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В.Г. Болтянский. – М.: Альфа, 2016. – 637 с.

Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 2012. – 288 с.

Григорьев, А.М. Иррациональные уравнения [Текст] / А.М. Григорьев // Квант. – 2012. – № 7. – С. 46-49.

Гущин, Д.Д. Сборник заданий по алгебре для подготовки к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам [Текст] / Д.Д. Гущин. – М.: Просвещение, 2016. – 356 с.

Егоров, А.И. Иррациональные неравенства [Текст] / А.И. Егоров // Математика. Первое сентября. – 2012. – № 5. – С. 13-14.

Егоров, А.А. Иррациональные уравнения [Текст] / А.А. Егоров // Математика. Первое сентября. – 2012. – № 7. – С. 9-13.

Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров. – М.: Просвещение, 2011. – 320 с.

Матвеев, В.Н. Сборник задач по математике с методами решений [Текст] / В. Н. Матвеев, Н. М. Матвеев. – Казань: Издательство Казань, ун-та, 2014. – 276 с.

Моденов, В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В.П. Моденов // Математика в школе. – 2012. – №6. – С. 88-90.

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. в двух частях. Ч.1 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2014. – 315 с.

Мордкович, А.Г. Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А.Г. Мордкович // Квант. – 2012. – № 9. – С. 48-51.

Павлович, В.С. Анализ ошибок абитуриентов по математике [Текст] / В.С. Павлович. – М.: Высшая школа, 2014. – 544 с.

Полный сборник решений задач по математике для поступающих в вузы [Текст] / под ред. М.И. Сканави. – М.: Издательство Мир и Образование, 2012. – 425 с.

Потапов, М.А. Как решать иррациональное неравенство [Текст] / М.А. Потапов // Математика. Первое сентября. – 2013. – № 12. – С. 42– 43.

Потапов, М.А. Как решать уравнения без ОДЗ [Текст] / М.А. Потапов // Математика. Первое сентября. – 2013. – № 11. – С. 52-53.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы [Текст] / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд. – М.: ОНИКС-ЛИТ, 2013. – 286 с.

Субханкулова, С.А. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / С.А. Субханкулова. – М.: ИЛЕКСА, 2012. – 389 с.

Ткачук, В.В. Математика абитуриенту: учебное пособие [Текст]: учебное пособие / В.В. Ткачук. – М.: Издательство МЦНМО, 2015. – 578 с.

Черкасов, О.Ю. Математика: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы [Текст] / О.Ю. Черкасов. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2011. – 417 с.

Шабунин, М.И. Лекции для абитуриентов. Лекция 1 [Текст] / М.И. Шабунин // Математика. Первое сентября. – 2016. – № 24. – С. 24-27.

Шабунин, М.И. Лекции для абитуриентов. Лекция 5 [Текст] / М.И. Шабунин // Математика. Первое сентября. – 2016. – № 17. – С. 34-36.

Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике [Текст] / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 2013. – 254 с.

Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст] / Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 2012. – 389 с.

Просмотров работы: 542

Код для цитирования:

X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ

Студенческий научный форум - 2018
X Международная студенческая научная конференция