X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки, с помощью символов и специальных формализованных структур. Примером такой структуры является многочлен. С этим понятием связана одна из самых содержательных теорий современной алгебры – теория многочленов. Методы, которыми она пользуется, интересны, имеют глубокие результаты с большим количеством приложений. Теория многочленов является важной, так как с ее помощью получают хорошие приближения различных функций, а это позволяет использовать данную теорию во многих вычислительных методах. С помощью теории многочленов, учащиеся могут посмотреть с определенной позиции на многие математические задачи, успешно решить сложные уравнения и неравенства, установить связь между математикой и ее приложениями.

Материал, по которому изучают теорию многочленов, достаточно интересен, доступен и не требует специальной подготовки. Часть вопросов, которые предлагаются для изучения, есть и в обычных учебниках общеобразовательных школ, но в основном, как дополнительный материал.

Во многих задачах теории автоматического управления, электрических цепей и электронных устройств, требуются определение корней многочленов. Как известно, основная теорема алгебры комплексных чисел [1] утверждает, что всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный. Теорема устанавливает для любого многочлена n-й степени с числовыми коэффициентами существование n комплексных корней.

Поиски формул для определения корней начались, естественно, с попыток вывода формул, аналогичных формуле для решения квадратного уравнения, еще древними греками. Разработка методов решения уравнений третьей и четвертой степени относятся к XVI в. После этого почти три столетия продолжались безрезультатные попытки найти формулы, выражающие при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени с буквенными коэффициентами через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь после того, как Абель в 20-х гг., а затем Галуа в 30-х гг. XIX в. доказали, что такие формулы для уравненийn-й степени при любом

n ≥ 5 заведомо не могут быть найдены, хотя и не исключали возможности того, что корни всякого многочлена с числовыми коэффициентами каким-либо способом выражаются через коэффициенты при помощи некоторой комбинации радикалов, т.е. всякое полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах.

В настоящее время считается, «что не существует метода для разыскания точных значений корней многочленов с числовыми коэффициентами» [1]. Тем не менее, самые различные проблемы науки и техники сводятся к вопросу о корнях многочленов, притом иногда достаточно высоких степеней. Поэтому нахождение корней многочлена является актуальной задачей и по сегодняшний день.

Важнейшим объектом «классической алгебры» является изучение полиномиальных уравнений и их решение. Именно изучение многочленов привело к открытиям в математике: был введен нуль, отрицательные и комплексные числа, появилась теория групп как отдельный раздел математики.

Существует много методов, позволяющих достаточно быстро находить значение корня с требуемой точностью. Например, метод Ньютона, метод Лобачевского [2] (иногда ошибочно называемый методом Греффе [1]), схема Горнера для деления многочлена на двучлен и квадратный трехчлен [3] и др. Эти методы позволяют находить приближенные значения всех корней многочлена, но связаны с весьма громоздкими вычислениями [1 – 3]. Данные методы описываются в трудах Бухштаб А.А., Проскурякова И.В., Куликова Л.Я., Виленкина и многих др.

Объектисследования: многочлены в курсе элементарной математики.

Предмет исследования: методы решения задач по данной теме.

Цель: систематизация теоретического материала по многочленам и их применению при решении задач.

Задачи:

- изучить и кратко изложить историю возникновения теории многочленов;

- рассмотреть основные определения и теоремы по данной теме;

- изложить основные методы решений задач на многочлены,

- продемонстрировать применение основных методов решений.

Работа состоит из введения, двух частей, заключения.

Список использованной литературы включает 25 наименований.

Глава 1. Теоретические подходы по изучению многочленов в элементарной математике

1.  
   Исторический обзор по теме

Еще в начале XVI века, когда постепенно познавались глубины математики, а теорем было не так уж и много, математики пытались сформулировать теорию о многочленах.

К середине ХIХ века одной из центральных проблем в алгебре была задача по нахождению формул корней уравнений вида P(х) = 0, в котором P(х) является многочленом. Данная задача была решена в полном объеме в работах известнейших математиков, которые занимались этой проблемой в начале ХIХ века, это такие ученые как: Э. Галуа (1811–1832), Н. Абель (1802–1829), также П. Руффини (1765–1822).

Итальянские математики еще в ХVI веке нашли формулы, с помощью которых можно было решить уравнение третьей и четвертой степени.Абелем и Руффини было доказано то, что, начиная с пятой степени, используя общую формулу, кроме действий сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует. Галуа открыл закономерности в поведении корней, которые приложимы к каждому конкретному уравнению и создал теорию групп [5].

В это же время К. Гауссом была доказана основная теорема алгебры, которая утверждает, что всякий многочлен всегда имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После фундаментальных работ по теории многочленов Гаусса и других математиков, проблема вычисления корней многочленов переместилась из алгебры в теорию функций и теорию приближенных вычислений (численных методов) [17].

Гаусс не является первооткрывателем основной теоремы алгебры. Первым предложил свою трактовку Альбер де Жирар в 1629 г., но, к сожалению, дальше сформулированного утверждения дело не дошло. На протяжении XVIII века такие известные математики, как: Лагранж, Даламбер, Эйлер и Фонсене всячески пытались создать доказательство к теореме о многочленах, но, к огорчению последних, их трактовки не признавались убедительными.

Общепризнанным доказательством теоремы о многочленах являются работы Карла Фридриха Гаусса. Немец, по происхождению, сын бедных учителей, в дальнейшем стал известным математиком, физиком, астрономом и геодезистом. Работы Гаусса, в частности, в математике принесли огромный вклад в развитие науки. Его, бесспорно, называли «королем математики».

В 1799 г. Карл Фридрих Гаусс привел несколько доказательств основной теоремы алгебры: «Число комплексных корней многочлена равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень считается столько же раз, сколько и его степень)».

В развитие теории многочленов внесли свой вклад и другие ученые, такие как Огюстен Луи Коши, Эдмон Лагерр, Франсуа Эдуард Анатоль Люк и многие другие.

Роль многочленов резко изменилась в ХХ веке, всвязи с расширением практического применения математики для решения задач естествознания и механики.

Начиная с XX века, многочлены стали использоваться для новых целей. Нужно было быстро и эффективно передавать информацию. Многочлены содержат в себе символьные исчисления, которые стали использовать как способ передачи данных. Сообщение должно было содержать в себе последовательность символов, которое потом передали по каналу связи. Однако, при передаче информации могли возникнуть ошибки. Поэтому была предложена идея кодирования сообщения, которую успешно используют и в настоящее время.

1.2. Основные понятия и определения

Одночленом от некоторой переменной x называют такое алгебраическое выражение , в котором a – будет некоторым числом, x – переменная, n – будет целым неотрицательным числом. Одночлены вида , отождествляются с некоторым числом a, другими словами можно сказать, что число можно рассматривать как одночлен [11].

Одночлены будут подобными, в том случае если показатели их степеней, а также переменные, которые составляют данный многочлен, будут одинаковы. Такие одночлены можно складывать по следующему правилу:

.

Такое действие называют приведением подобных членов многочлена.

Таким образом, многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов.

Определение.Число y₀ называют корнем для многочлена , если 

Э.Б. Винберг приводит следующую классификацию многочленов [7]:

1.  
   Многочлен стандартного вида – это многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, который не содержит подобных членов.

   Многочлен нестандартного вида.

   Бином (или двучлен) – это величина, состоящая из двух членов, и представляющая собой их сумму или разность.

   Трином (трехчлен) – выражение, которое представляет собой сумму или разность трех членов. Трехчлен делится на такие виды: квадратный, биквадратный и двоичный.

   Полиномы с одной неизвестной – это алгебраическое выражение, в котором все члены, кроме последнего, равны нулю.

В математике многочлены бывают:

•  
  однородными (все одночлены имеют одинаковую степень);

  унитарными (коэффициент одной переменной равен единице);

  приводимыми (произведения многочленов низших степеней);

  неприводимыми (многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены).

Каким бы не был многочлен от некоторой переменной x, егоможно записать по убыванию степеней данной переменной, и представить следующим образом [13]:

или же с учетом возрастания степеней многочлена

.

Каждый многочлен n-й степени от x может быть записан в канонической форме:

где – символ для обозначения многочлена, n – верхнийиндекс, указывающий степень многочлена,  – аргумент многочлена,  – коэффициенты многочлена (),  – старший коэффициент,

– свободный член,

 – старший член.

Если =1, то многочлен называют приведенным. Любое постоянное число является многочленом степени 0.

Значение многочлена при x=a обозначается  [24].

Например, 0- многочлен нулевой степени, а 0,19t+- многочлен первой степени от переменной t.

Два многочлена называются равными, если их канонические формы одинаковы. Другими словами, многочлены

и

равны тогда и только тогда, когда

m = n,,, …,  

Из определения следует, если, то для любого числа а значения этих многочленов при  совпадут.

Рассмотрим пример,

и

.

Из примера, можно заметить равенство коэффициентов: a=m, b=n, c=p, d=q.

Как пишут В.Г. Болтянский и Н.Я. Виленский:«Многочлены называют тождественноравными, если будут равными их значения при всех тех буквенных значениях, которые входят в данный многочлен» [1].

Определение равенства многочленов используется при решении задач в методе неопределённых коэффициентов с целью нахождения неизвестных коэффициентов в разложении многочлена. Так, если многочлены итождественно равны, то на основе метода неопределенных коэффициентов получим, что коэффициенты у обоих многочленов должны быть равными при одинаковых степенях х. Таким образом, имеем:

= 

Отсюда a=c=1; b=4.

Рассмотрим различные операции, которые можно выполнять над многочленами.

1.3. Операции над многочленами

Табачников написал, что операции над многочленами обладают следующими свойствами [21]:

Сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленами;

Степень многочленов  не превосходит наибольшей из степеней многочленов ;

Степень многочлена , равна сумме степеней многочленов , а старший член многочлена  равен произведению старших членов многочленов .

Рассмотрим более подробно операции над многочленами:

1. Суммой многочленов называют такой многочлен , для которого коэффициенты для каждой степени х будут равны сумме коэффициентов при той же степени у многочленов .

Пример 1. Найти сумму многочленов , если

Решение.

=

Ответ: 

2. Разностью многочленов  называют такой многочлен , для которого коэффициенты для каждой степени х будут равны разности коэффициентов при той же степени у многочленов .

Пример 2. Найти разность многочленов

Решение.

() =

Ответ:

3. Произведением многочленов  называют такой многочлен , для получения которого надо каждый член многочлена  умножить на каждый член многочлена , полученные в результате одночлены сложить [21].

Пример 3. Найти произведением многочленов  если 

Решение.

Ответ: 

4. Рассмотрим деление многочленов. Пусть  – два многочлена, причем (x) и .

Разделить многочлен  означает найти такие многочлены Q(x) и R(x), чтобы выполнилось равенство:

 (1)

Причем R(x) имеет степень, меньшую степени . Из свойств рассмотренных выше следует, что многочлен Q(x) имеет степень n-m.

Обозначим степень многочлена R(x) через k. Соотношение (1) запишем так

 (2)

Многочлен  называется делимым,  – делителем, Q_n-m(x) – частным, R_k(x) – остатком. Если остаток равен нулю, то говорят, что многочлен  делится на  и обозначают 

Пример 4. Разделить многочлен  = y³ – 1 на многочлен  = y + 1.

Решение.

Выполним деление углом.

y³ – 1 y + 1

y³+ y² y² – y + 1

_- y² – 1

- y² – y

_ y – 1

y + 1

- 2

Таким образом, мы получили y³ – 1 = (y + 1)(y² – y + 1) – 2. Частное будет следующее S(y) = y² – y + 1, остаток – R_k(у) = - 2.

Для вычисления остатка деления многочлена на двучлен вида (y – а) можно использовать теорема Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена  на двучлен (y – а) равен значению многочлена  при y = а [13].

Остаток от деления многочлена  на двучлен (y – а) равен значению многочлена  при y = а [13].

Доказательство: Разделим многочлен  на (y – а):

Остаток – многочлен степени ниже первой, следовательно, он не зависит от y (равен постоянному числу).

Положив в равенстве y = а, получим: R=.

Теорема доказана.

Следствие.В случае, что остаток при делении многочлена  на

Q_n-1(y)= y – y₀ равен нулю, то значение y = y₀ является корнем многочлена .

Рассмотрим пример нахождения остатка отделения многочлена на двучлен по теореме Безу.

Пример 5. Найдите остаток от деления многочлена = y³ + 3y² + 3y + 1 на двучлен Q_n-1(y)= y – 2.

На основании теоремы Безу

R(y) = P(2) = 8 + 12 + 6 +1 = 27.

Если многочлен f(x) C[x], cm f(x) = n, то он имеет ровно (n) корней с учетом их кратности. Существует алгоритм деления многочлена f(x) на

(х-a), который называют схемой Горнера [14].

Пусть f(x)=an xn + a_n-1 x^n-1 +...+ a₁ x + a₀, cm f(x) = n, an 0 разделим f(x) на (х-a), получим:

f(x) = (x-a)h(x) + r, где rР, c h(x) = n – l. (3)

Запишем h(x) в общем виде: h(x) = b_n-1 x^n-1+b_n-1 x^n-1 .. +b₁ x + b₀. Тогда, подставив в равенство (3) вместо f(x) и h(x) их выражения, получим:

anxn + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ = (х-)(b_n-1x^n-1+b_n-1x^n-1 … +b₁x + b₀) + r.

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

r-ab₀ = a₀ r = a₀+ab₀

b₀ -ab₁= a_1b0= a₁+ab₁

_{……………}  …………

bn_-1 = anan= bn_-1

Вычисление коэффициентов многочлена h(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

	an	an-1	…	a1	a0
	bn-1= an	bn-2 = bn-1 + an-1	…	b0 = b1 + a1	r = b0 + a0

Заметим, что остаток r равен значению f(c) многочлена f(x) при x = c. Действительно, переходя в равенстве f(x) = (x − c) q(x) + r к значениям при x=c, получим f(c)=(c−c)q(c) + r, откуда r = f(c).

Указанный способ вычисления коэффициентов частного q(x) и остатка r носит название схемы Горнера (хотя она была, по существу, известна, например, и Ньютону, и Руффини, и даже в Китае в XIII в.). В приведенном выше алгоритме Горнера использовались только операции сложения-вычитания и умножения [12].

С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач:

1. Найти h(x) и r при делении f(x) на (х-a);

2. Вычислить значение многочлена f(x) при х=a;

3. Выяснить будет ли (х=a) корнем многочлена f(x), a Р;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х-a).

Пример 6. Выполните деление многочлена = y⁴ + 2 y³ – 3 y² +4y -4 на y – 1.

	1	2	-3	4	-4
1	1	3	0	4	0=R

В результате имеем следующее y⁴ + 2y³ – 3y² +4y – 4 = (y – 1)(y³ + 3y² + 4) и остаток R(y) = 0.

Таким образом, нами были рассмотрены операции, которые можно выполнять над многочленами.

1.4. Классификация и методы решения задач

Егерев представил следующую классификацию задач на многочлены и методы их решения[18]:

1. Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Для разложения многочлена на множители часто используют теорему Безу.

Определение.Действие, способствующее преобразованию многочленов к виду произведения двух или нескольких многочленов, имеющих ненулевые степени, называют разложением многочленов на множители.

Если возможно разложить многочлен на множители, то в таком случае его называют приводимым, если разложить многочлен на нетривиальные множители не представляется возможным, то такие многочлены называют неприводимыми или же неразложимыми [11].

Многочлены вида = a₀yn + a₁y^n-1 + … + a_n-1y + anприводимы на множестве комплексных чисел, но во множестве случаев они не являются приводимыми для множества действительных либо рациональных чисел.

Рассмотрим пример.

 = x² + 9 – многочлен, который является не приводимым для множества действительных чисел, но для множества комплексных чисел нами будет получено такое разложение

x² + 9 = (x + 3i)(x – 3i).

Где i =  - будет мнимой единицей.

Теорема. Любой многочлен степени n вида представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и n линейных множителей (x-x_i), i = 1, 2, …, n, то есть = an(x – xn)(x – xn_-1)∙…∙(x – x₁), причем x_i, i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней x_i, i = 1, 2, …, n и комплексных коэффициентов a_k, k = 0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

Если коэффициенты a_k, k = 0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена будут встречаться комплексно сопряженными парами.

Согласно предыдущей теоремы, многочлен можем представить в следующем виде

= a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – xn).

Если произвести умножение двучленов и привести подобные, складывая коэффициенты при одинаковых степенях, то получим многочлен вида:

a₀xn + a₁xn^-1 + … + a_n-1x + an = a₀ (xn – (x₁ + x₂ + …+ xn)xn^-1 + (x₁x₂ + …

+xn_-1 xn)xn^-2 + … + (-1)n x₁x_2…xn).

Используя определение равных многочленов, проведем сравнение коэффициентов для одинаковых степеней многочленов:

 .

Данные формулы являются формулами Виета, при их помощи можно по известным корням составить уравнение, и записать его в виде

.

При разложении многочлена на множители, используются следующие теоремы:

Теорема о числе корней многочлена и разложении его на линейные множители.Любой многочлен, который рассматривается на множестве комплексных чисел, имеет ровно столько корней, какова его степень, и всегда разлагается на линейные множители вида [19]:

a₀yn + a₁y^n-1 + … + a_n-1y + an = a₀(y – y₁) (y – y₂)…(y – yn).

Теорема о разложении на множители с действительными коэффициентами.Многочлен с действительными коэффициентами всегда разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей, коэффициенты которых также являются действительными [17].

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число 1 является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку, 0- четное число.

Из формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, для нахождения корней многочлена можно разложить свободный член многочлена на множители. Затем, последовательно, от меньшего корня к большему, проверять какой из множителей является корнем многочлена. Найдя один изкорней многочлена, можно понизить степень исходного многочлена делением на двучлен (х-а), где а - корень многочлена.

Учитывая предыдущие утверждения, делаем следующий вывод: рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами нужно искать среди чисел вида , где p и q –делители соответственно свободного члена уравнения и коэффициента при старшей степени, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Если мы найдем один корень, то с помощью схемы Горнера, зная корень можно понизить степень многочлена на единицу [22].

2.Решение возвратных уравнений

Уравнение четвёртой степени ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 называют возвратным, если при b  0 и a  0 уравнение удовлетворяет условию

3. Задачи с использованием свойств многочленов

Данный тип задач можно рассмотреть только на примере.

При решении задач на многочлены используются в основном теорема Безу, схема Горнера и теорема Виета.

В основном, встречаются такие типы задач:

разложение многочлена на множители;

деление многочлена на одночлен;

деление многочлена на многочлен;

нахождение корней уравнения;

решение уравнений в действительных числах;

нахождение остатка от деления многочлена на двучлен;

задачи с использованием свойств многочленов;

решение возвратных уравнений.

В соответствии с поставленными в работе задачами в первой главе нами был проведен исторический обзор возникновения теории многочленов.

Нами был проведен анализ основных понятий темы, рассмотрены основные определения темы. Мы сформулировали определение одночлена, многочлена, а также тождественных многочленов.

Провели классификацию задач на многочлены и методы их решения,привели основные теоремы, теории многочленов. Были подробно рассмотрены операции над многочленами.

Глава 2. Практические подходы к решению различных типов задач на многочлены 2.1. Решение типовых (стандартных задач) на многочлены

Приведем примеры использования разложения многочлена на множители для решения задач.

Задача 1.Решите уравнение и разложите на множители многочлен

y⁴ +7y³ + 11y² – 7y – 12 = 0.

Решение.

Учитывая предыдущие рассуждения, выберем возможные корни уравнений. Это будут делители числа 12. Проверим значения ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Коэффициенты частного можно находить, используя и таблицу вида

	a0	a1	a2	…	an
с	b0 = a0	a1 +b0 c	a2 + b1c	…	an + bn-1 c=R

Следует построить подобную таблицу для данного уравнения.

	1	7	11	-7	-12
1	1	8	19	12	0

y⁴ +7y³ + 11y² – 7y – 12 = (y – 1)(y³ + 8y² + 19y + 12).

Продолжаем подставлять следующее значение, например 2.

	1	8	19	12
2	1	10	39	90

Значение 2 не является корнем уравнения. Проверим значение -3.

	1	8	19	12
-3	1	1·(-3)+8=5	5·(-3)+19=4	4·(-3)+12=0

y⁴ +7y³ + 11y² – 7y – 12 = (y – 1)(y + 3)(y² + 5y + 4).

Квадратный трёхчлен y² + 5y + 4 имеет корни - 1, -4 на основании теоремы Виета для квадратного трёхчлена y₁· y₂ = 4 и y₁+y₂ = - 5.

Разложение будет иметь вид y⁴ +7y³ + 11y² – 7y – 12 = (y – 1)(y + 1)(y + 3)(y + 4).

Ответ: -4, - 3, - 1, 1.

Задача 2.Решите и разложите на множители на множестве действительных чисел уравнение y⁴ + y³ – y – 1 = 0 [14].

Решение.

Если существуют целые корни, то они могут быть такими: ±1.

Сначала выбираем корень 1 и понижаем степень многочлена на единицу с помощью схемы Горнера.

	1	1	0	-1	-1
1	1	2	2	1	0

Получается y⁴ + y³ – y – 1 = (y³ +2y² +2y + 1)(y – 1).

Проверяем значение – 1.

	1	2	2	1
-1	1	1	1	0

Получается y⁴ + y³ – y – 1 = (y + 1)(y – 1)(y² + y + 1).

Найдём решение y² + y + 1 = 0 => D = (-1)² – 4·1·1 = - 3 < 0. - действительных решений нет.

Ответ: -1, 1.

Задача 3. Разложить на множители многочлен x³ + (– 1)x² + 5.

Решение.

Заменим = t.

Получим

x³ + tx² – x² + t² = t² + x²t + x³ – x².

Корни многочлена на основании теоремы Виета t₁ = –x и t₂ = – x² + x.

Значит можно разложить квадратный трёхчлен

t² +x²t + x³ – x² = (t+ x)(t+ x² – x).

Тогда

x³ + (– 1)x² + 5 = (x +)(x² – x +).

Ответ:(x +) (x² – x +).

Задача 4. Разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен (x+1)(x + 2)(x+3)(x + 4) – 8.

Решение.

(x+1) (x + 2) (x+3) (x + 4) – 8 = (x+1) (x + 4) (x + 2) (x+3) – 8 = (x² + 5x + 4) (x² + 5x + 6) – 8.

Введём подстановку x² + 5x = t

(x² + 5x + 4) (x² + 5x + 6)-8 = (t + 4) (t + 6) – 8 = t² + 10t + 24 – 8 = t² + 10t + 16.

Корни трёхчлена t² + 10t + 16

t₁ = - 2, t₂ = - 8.

Получается, что t² + 10t + 16 = (t + 2)(t + 8).

Получаем

(x+1)(x + 2)(x+3)(x + 4) – 8 = (x² + 5x + 2)(x² + 5x + 8).

Ответ:(x² + 5x + 2)(x² + 5x + 8).

Задача 5. Решить уравнение x⁵ +3x⁴ – x³ +2x² – 24x – 32 = 0.

Решение.

-32: 1 = - 2⁵;

-24: 3 = - 2³;

2:(-1) = -2.

Это уравнение можно переписать в виде

x⁵ +3x⁴ – x³ – x²(–2) + 3x(–2)³ + (–2)⁵ = 0.

Сгруппируем

x⁵ – 2⁵ + 3x⁴–3x·2³ – x³ – x²(–2) =0.

x⁵ – 2⁵ +3x(x³ – 2³) – x²(x – 2) = 0.

Разложим на множители x⁵ – 2⁵

_x⁵ – 2⁵ x - 2

x⁵ - 2x⁴ x⁴ + 2x³ +4x² + 8x + 16

_2x⁴ - 32

2x⁴ – 4x³

_ 4x³ – 32

4x³ – 8x²

_8x² – 32

8x² – 16x

_16x – 32

16x – 32

0

(x – 2)(x⁴ + 2x³ +4x² + 8x + 16) +3x(x – 2)(x² + 2x + 4) – x² (x – 2) = 0.

Получим

(x – 2) = 0 или x⁴ + 2x³ +4x² + 8x + 16 + 3x(x² + 2x + 4) – x² = 0.

Упростим

x⁴ +5x³ + 9x² + 20x +16 = 0.

20/5=4; 16:1 = 16 = 4²

Поделим на x²

.

Сгруппируем

.

Вернем подстановку

.

- действительных решений нет.

.

Ответ: = 2, 

Задача 6. Найти действительные корни уравнения 2x³ + 3x² + 3x + 2 = 0.

Решение.

Проведём группировку

2(x³ + 1) + 3x(x+1)=0 (x+1)(2x² – 2x + 2 + 3x) = 0  (x+1)(2x² + x + 2).

x = - 1 или 2x² + x + 2 = 0.

У второго уравнения D = 1 – 16 = -15 < 0 – действительных решений нет.

Ответ:x = -1.

Приведем примеры задач с использованием свойств многочленов.

Задача 7. Найдите значения, которые может принимать произведение действительных различных корней уравнения x² + 4x + (k² – 5k + 10) = 0.

Решение.

Корни уравнения действительные, когда дискриминант квадратного уравнения неотрицательный.

D = 16 - 4(k² – 5k + 10) ≥ 0, а произведение корней по теореме Виета

x_1·x₂ = k² – 5k + 10.

Решим неравенство 16 - 4(k² – 5k + 10) ≥ 0  k² – 5k + 6  0  (k – 3)(k – 2)  0  k [2; 3].

Рассмотрим функцию от kp(k) = x₁·x₂ = k² – 5k + 10 и найдём область её значений на области определения k [2; 3]. Исследуем функцию p(k) = k² – 5k + 10. Найдём производную p’(k) = 2k – 5.

2k – 5 = 0 k = 2,5 – в этой точке экстремум. Находим на данной области определения k  [2; 3] наибольшее и наименьшее значения функции.

p(2) = 4 – 10 + 10 = 4,

p(2,5) = 6,25 – 12,5 + 10 = 3,75,

p(3) = 9 – 15 + 10 = 4.

Значит x₁·x₂  [3,75; 4].

Ответ: [3,75; 4].

Задача 8. Ребра x, y, z являются корнями кубического уравнения x³ – 9x² + 26x – 24 = 0. Найти объём и полную поверхность параллелепипеда.

Решение.

Формулы Виета для кубического уравнения x³ + px² + qx + r = 0 будут выглядеть так:

x₁ = x, x₂ = y, x₃ = z.

Объём параллелепипеда V = xyz = 24

Полная поверхность S = 2(xy + xz + yz) = 2*26 = 52.

Ответ: 52.

Задача 9. Доказать, что выражение ((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1) есть квадрат трёхчлена [20].

Доказательство.

Из условия (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = (x² + px + q)².

Преобразуем левую и правую часть равенства

x⁴ + (1 + 2 + 3 + 4)x³ + (12 + 2 + 6 + 3+ 4 + 8 )x² + (24 + 12 + 8 + 6)x + 25 = x⁴ + 2px³ + (p² + 2q)x² + 2pqx + q².

x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 25 = x⁴ + 2px³ + (p² + 2q)x² + 2pqx + q².

Из равенства многочленов

2p = 10,

p² + 2q = 35,

2pq = 40,

q² = 25.

Из первых двух равенств p= 5, q = (35 – 25)/2 = 5

получаем

(x² + 5x + 5)² = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1.

Что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели типовые задачи на многочлены и методы их решения.

Рассмотрим задачи повышенной сложности на многочлены.

2.2. Решение задач повышенной сложности на многочлены

Задача 10. Найти целое число a, при котором (x - a)(x - 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.

Решение.

Пусть (x - a)(x - 10) + 1 = (x + b)(x + c). Положив x = - b, получим (b + a)(b + 10) = - 1. Числа a и b целые, поэтому числа (b + a) и (b + 10) тоже целые. Число -1 представляется в виде произведения двух множителей двумя способами. Соответственно получаем два варианта: 1) b + 10 = 1 и b + a = - 1; 2) b + 10 = - 1 и b + a = 1. Поэтому a = 8 или a = 12. В первом случае (x - 8)(x - 10) + 1 = (x - 9)², а во втором случае (x - 12)(x - 10) + 1 = (x - 11)².

Ответ: 8, 12.

Задача 11. Докажите, что выражение x⁵ + 3x⁴y - 5x³y² - 15x²y³ + 4xy⁴ + 12y⁵ не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

Доказательство.

Представим данное выражение в виде (x + 2y)(x - y)(x + y)(x - 2y)(x + 3y). При y ≠ 0 все пять сомножителей этого произведения попарно различны, а число 33 нельзя представить в виде произведения пяти целых попарно различных сомножителей (хотя и можно представить в виде произведения четырёх попарно различных сомножителей, два из которых равны ±1). При y = 0 рассматриваемое выражение превращается в x⁵. Ни при каком целом x число x⁵ не равно 33.

Что и требовалось доказать.

Задача 12. При каких целых n число n² - 7n + 10 простое?

Решение.

Разложим многочлен x² - 7x + 10 на множители: x² - 7x + 10 =(x - 5)(x - 2). Отсюда при любом целом n число (n² - 7n + 10) делится на (n – 5) и на (n – 2) . Оно может быть простым только в том случае, если одно из чисел (n – 5) и

(n – 2) равно 1 или -1, а другое – простое:

если (n – 5) = 1,то n = 6, n - 2 = 4, n² - 7n + 10 = 4 – составное;

если (n – 5) = -1, то n = 4, n - 2 = 2, n² - 7n + 10 = -2 – простое;

если (n – 2) = 1, то n = 3, n - 5 = -2, n² - 7n + 10 = -2 – простое;

если (n – 2) = -1, то n = 1, n - 5 = -4, n² - 7n + 10 = 4 – составное.

Ответ: при n = 3 и n = 4.

Задача 13.Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению (x+y)⁶+(u-v)⁶ = 7+5?

Решение. (x+y)⁶=x⁶+6x⁵(y)+15x⁴(y)²+20x³(y)³+15x²(y)⁴+6x(y)⁵+(y)⁶=A+B.

(u-v)⁶=u⁶-6u⁵(v)+15u⁴(v)²-20u³(v)³+15u²(v)⁴-6u(v)⁵+(v)⁶ = A-B, то выполняется (x-y)⁶+(u-v)⁶= 7-.

Но 7-5≠0, а левая часть положительна. Противоречие. Следовательно, исходного равенства быть не может.

Ответ: не существует.

Заключение

Многочлены играют весомую роль в математике. Поскольку они представляют собой довольно простые функции, то их дифференциация и интеграция не составляет большого труда. Поэтому любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно приблизить многочленом, что дает возможность анализировать поведение и характер функции, находящейся вблизи этой точки.

Одну из главных ролей многочлены играют в алгебраической геометрии, изучающей множества, определенные как решения систем многочленов, т.к. они обладают свойствами, необходимыми при преобразовании коэффициентов умножения многочленов. Алгебраическая геометрия занимает центральное место в математике (в частности, математической физике, дифференциальной геометрии, теории чисел, топологии).

С помощью теории многочленов, учащиеся могут посмотреть с определенной позиции на многие математические задачи, успешно решить сложные уравнения и неравенства, установить связь между математикой и прикладной математикой.

Материал, по которому изучают теорию многочленов, достаточно интересен, доступен и не требует специальной подготовки. Часть вопросов, которые предлагаются для изучения, есть и в обычных учебниках общеобразовательных школ, но в основном как дополнительный материал.

Рассмотренные в работе понятия позволяют дать определение теории многочленов: теория многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой и т.д. Также систематизировано изложен основной теоретический материал.

Теоретические сведения о развитии теории многочленов занимают большую часть материала. Работа имеет введение, которое дает общий очерк развития теории многочленов. В первом параграфе содержится конкретная информация о развитии теории многочленов.

В соответствии с поставленными в работе задачами в первой главе был проведен исторический обзор возникновения теории многочленов.

Авторами был проведен анализ основных понятий теории многочленов, рассмотрены основные определения темы. Сформулировано определение одночлена, многочлена, а также тождественных многочленов. Рассмотрены различные операции над многочленами и приведены примеры их применения, приведены теоремы теории многочленов. Выделены основные типы задач на многочлены

Во второй главе были рассмотрены типовые задачи на многочлены. Также были рассмотрены задачи повышенной сложности и приведено их решение с полным объяснением получения результата.

Достоинством курсовой работы является подробное рассмотрение большого числа примеров и задач, включая задачи повышенной сложности, которые помогают лучше понять данный материал.

Данная работа помогает разобраться в сущности теории многочленов, научиться решать с помощью нее полиномиальные уравнения, понять в каких областях могут применяться многочлены. Представленные материалы можно использовать на математических кружках, спецкурсах, факультативах.

Таким образом, задачи работы выполнены, поставленная цель исследования достигнута.

Список используемой литературы

Болтянский, В.Г. Симметрия в алгебре [Текст] / В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленский. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2012. – 240 с.

Бочкарева, В.Д. Алгебра [Текст]: учебно-методическое пособие/ В.Д. Бочкарева. - Саранск: СВМО, 2012. – 40 с.

Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст] / А.А. Бухштаб. - М.: Учпедгиз, 2010 – 376 с.

Варпаховский Ф.Л. Алгебра [Текст] / Ф.Л. Варпаховский., А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 2014. – 160 с.

Варпаховский Ф.Л. Алгебра [Текст] / Ф.Л. Варпаховский., А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 2008. – 144 с.

Винберг, Э. Б. Симметрия многочленов [Текст] / Э.Б. Винберг. – М.: МЦНМО, 2011. – 24 с.

Винберг, Э.Б. Алгебра многочленов [Текст] / Э.Б. Винберг.- М.: Просвещение, 2010. – 176 с.

Глухов, М.М. Задачник-практикум по алгебре [Текст] / М.М. Глухов, А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 2009. – 276 с.

Деменчук, В. В. Многочлены и микрокалькулятор [Текст] / В.В. Деменчук. - Мн.: Выш. шк., 2008. – 176 с.

Егоров, А.А. Числа и многочлены [Текст] / А.А. Егоров. - М., Бюро Квантум, 2012. – 128 с.

Кострикин, А.И. Введение в алгебру [Текст] / А.И. Кострикин. - М.: Наука, 2012. – 495 с.

Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А.Г. Курош. - 11-е изд. - М.: Наука, 2005. – 431с.

Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А.Г. Курош. - М.: Физматгиз, 2009. – 431 с.

Нестерова, Л.Ю. Алгебра: многочлены от одной и нескольких переменных [Текст]: учебно-методическое пособие/ Л.Ю. Нестерова// Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 6. – С. 131-131.

Окунев, Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. [Текст]: методические указания / Л.Я. Окунев. - М.: Изд-во МГУ, 2015. – 40 с.

Прасолов, В. В. Многочлены [Текст] / В.В. Прасолов. - 3-е изд, исправленное. - М.: МЦНМО, 2013. – 336 с.

Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре [Текст] / И.В. Проскуряков. - М.: Наука, 2012. – 332 с.

Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [Текст] / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013.

Солодовников, А. С. Задачник-практикум по алгебре [Текст] / А.С. Солодовников, А.М. Родина. - М.: Просвещение, 2015. – 127 с.

Субханкулова, С. А. Задачи с параметрами [Текст] / С.А. Субханкулова. – Москва: ИЛЕКСА, 2012.

Табачников, С.Л. Многочлены [Текст] / С.Л. Табачников. - 2-е изд., пересмотр.- М.: ФАЗИС, 2012. – 200 с.

Ткачук, В.В. Математика абитуриенту [Текст] / В.В. Ткачук. – Москва: МЦНМО, 2015.

Фадеев, Д. К. Сборник задач по высшей алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев, И.С. Соминский. - М., 1977.

Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев. - М.: Наука, 2014. – 416 с.

Шнеперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Л.Б. Шнеперман. - Мн.: Высш. шк., 2015. – 223 с.

Код для цитирования: Скопировать