X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение

Как свидетельствуют источники, использование текстовых задач началось от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.

Одной из причин повышенного внимания к текстовым задачам является то, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Математические задачи, в том числе задачи текстовые, сюжетные, используются в математике издавна, с тех времен, когда зародилось само математическое образование. Историю использования задач в математике можно разделить на несколько периодов [18, С. 195].

Первый период (до XVIII в.). Потребности применения задач в хозяйственной жизни удовлетворялись с помощью специально составленных руководств – образцов решения задач из определенных сфер деятельности.

Второй период (XVIII – середина XIX в.). Это период появления в отечественном математическом образовании типовых задач – «на бассейн», «разделение долей» и др.

Третий период (середина XIX – начало XX в.). Характеризуется признанием влияния решения задач в математике. В этот период в теории была признана роль задач как средства обучения. В русской школе его начало подготовили работы В.А. Латышева, С.И. Шохор-Троцкого, Е. Шпитальского и др.

Четвертый период (30 – 60-е годы XX в.). Большое внимание уделяется классификации задач, методам решения типовых задач ( Н.Н. Никин, Г.Б. Поляк, Н.С. Попова, А.С. Пчелко, Л.Н. Скаткин, Я.А. Шор и др.). Способы решения задач определенных типов и сами типовые задачи составляли значительную часть содержания курса математики. Начало изменению взглядов на решение задач положила знаменитая книга Д. Пойа «Как решать задачу», которая была очень популярна и не потеряла свою значимость в настоящее время.

Пятый период (70-х годов XX в. До начала XXI в.). Для этого периода характерна конкретизация функций задач в математике, отказ от типизации задач и разучивания способов решения типовых задач, стремление формировать общие подходы к решению задач. Тогда же были описан методы и способы решения текстовых задач, уточнена структура и содержание, описан приемы помогающие решению.

Шестой период – современный (начало XXI в.). Реализуется наработанное во второй половине XX в. внедрение приемов и методов решения разного вида текстовых задач [18, С.197].

В обучении математике преобладают задачи, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Но чаще всего используется термин «текстовые задачи», эти задачи сформулированы на естественном языке. Именно такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а так же средством развития мышления детей [8].

Актуальность исследования заключается в том, что знание и умение решать задачи на работу помогают грамотно планировать и систематизировать трудозатраты и экономить время, формируют с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата [15].

Объект исследования: задачи на работу.

Предмет исследования: методы и приемы решения задач на работу.

Цель: Систематизация теоретического материала по теме «Задачи на работу» и его применение к решению данного типа задач.

Задачи:

изучить и кратко изложить историю возникновения задач на работу;

рассмотреть основные определения и формулы по данной теме;

систематизировать теоретический материал по теме «Задачи на работу»;

решить примеры задач на работу, используя изложенный материал.

Результаты исследования были представлены на конференциях:

IV внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Молодежь в мире науки» (ноябрь 2016 год, г. Сургут). По итогам выступления опубликована статья (Бабаева К. Текстовые задачи на работу / Молодежь в мире науки : материалы IV внутривузов. студенч. науч.-практ. конф., 25 нояб. 2016 г. / Бюджет. учреждение высш. образования ХМАО – Югры «Сургут. гос. пед. ун-т», фак. соц.-культур. коммуникаций ; [редкол.: С.С. Богдан (отв. ред.) и др.]. – Сургут : РИО СурГПУ, 2017. – С. 69-71.).

XXI студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (апрель 2017 год, г. Сургут), по итогам которой доклад занял третье место в секции.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список используемой литературы включает 25 наименований.

Теоретическая часть

Текстовые задачи, как отмечает ученый, методист, М.И. Моро и другие, помогают раскрывать связи между величинами и смысл арифметических действий; служат средством ознакомления с математическими понятиями, отношениями, закономерностями, помогают формировать геометрические понятия, рассматривать элементы алгебры, что служит делу формирования и совершенствования математических знаний учащихся [1, С.78]. Так же решение текстовых задач позволяет проверить развитость логического мышления, сообразительность и наблюдательность, умение проводить исследования.

Текстовая задача – это описание некоторой проблемы или проблемной ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику того или иного компонента этой ситуации.

Сюжетные задачи – это задачи, в которых описывается некоторый жизненный сюжет. Сюжетные задачи считаются древними задачами. При решении таких задач впервые реализуется обучение методу моделирования. Моделирование является одной из важнейших задач математики. Моделирование – это описание реальных действий на языке математики. «Математическая модель – это приближенное описание какого – либо класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью алгебраических функций или их систем, уравнений и т.д.). Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений» [18, C. 113].

Сложность составления математической модели заключается в самом процессе, при составлении таблицы к задаче.

Процесс математического моделирования можно подразделить на четыре этапа.

Поиск языка и средств для перевода задачи в математическую, т.е. построение математической модели.

Изучение математической модели, ее исследование, расширение теоретических знаний.

Поиск решения математической задачи, рассмотрение различных способов решения, выбор наиболее рационального пути решения.

Перевод результата решения математической задачи в исходный, анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели [12].

Задачи на работу являются сюжетными задачами. Чтобы решить такие задачи, важно правильно воспринимать ситуации, и опираться на образ. Не существует обобщенного способа решения сюжетных задач.

Наиболее общим является определение задачи как цели, заданной в определенных условиях (А. Н. Леонтьев). Л. Л. Гурова обращает главное внимание на объект мыслительных усилий человека, решающего задачу: «Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами» [12, С. 112].

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

Производительность – это отношение объёма проделанной работы ко времени, за которое она была совершена.

Или, если записать математическим языком: ​​.

Работа A(м³, га, л, машин, деталей и т.д.);

ПроизводительностьP– работа в единицу времени (и т.д.);

Время работы t (ч, мин, смена и т.д.) [5, С. 59].

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени или скорость выполнения работы. Например, Вася решает 55 задач в час - это и есть производительность.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов:

A=P⋅ t.

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

​​.

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Существует несколько классификаций видов задач в математике.Особое место при изучении задач занимает такой вид, как текстовые задачи, которые можно подразделить на традиционные и нетрадиционные (проблемные). Традиционные текстовые задачи – это задачи на движение, работу, сплавы и смеси. Проблемные текстовые задачи – это и есть нестандартные задачи [18].

Как свидетельствуют многие источники, решение задач развивает логическое и интеллектуальное мышление. Задачи «на работу» являются одними из самых интересных. Для того чтобы научиться решать такие задачи, необходимо уметь представлять процесс работы, о которой в них говорится.

Основными методами решения задач на работу являются арифметический и алгебраический. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений [14, С. 191].

Обратим внимание на один из видов текстовых задач – задачи на работу. В таких задачах, как правило, говорится о какой-то деятельности. Кто-то выполнят некоторую работу. Так же такие задачи связаны с наполнением или с опорожнением резервуаров, такие задачи напоминают задачи «на движение».

В задачах такого типа вся работа или полный объем резервуара аналогичны роли расстояния в задачах «на движение», а производительности выполняющих работу объектов аналогичны скоростям движения. Часто в этих задачах объем работы не указывается и не является искомым. В таких случаях объем всей работы удобно принимать за единицу.

Задачи на работу подразделяются на два типа:

задачи, в которых выполняется раздельная работа;

задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова «выполнили работу вместе» или слова «совместная работа», значит это задача на совместную работу. В таких задачах всегда обыгрывается один и тот же набор величин, таких как производительность, работа, время [16].

Решение данного типа задач осуществляется в несколько этапов:

введение неизвестной величины;

составление с помощью введенных известных и неизвестных из условия задачи величин уравнений (или одного уравнения), неравенств;

решение полученных уравнений (неравенств);

отбор решений по смыслу задачи [12].

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.). При совместной работе производительности складываются.

В задачах на работу выделяется такая группа задач, как задачи на трубы и бассейны, решение которых, вообще говоря, не имеет никаких специфических черт по сравнению с другими задачами на совместную работу. Математическая модель остается той же. Только рабочим будут соответствовать насосы разной производительности, а объему работы – объем бассейна или иного резервуара.

Итак, если же дан объем резервуара и производительности работы труб (насосов), то время их совместной работы находят, разделив объем резервуара на совместную производительность труб:

=

Если в задаче объем резервуара в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице:

= или.

В определенном смысле задачи на работу схожи с задачами на движение: производительность заменяет скорость, объем работы – это расстояния. Если же объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице. Существенно разных задач практически нет, во всех случаях речь идет о выполнении определенной работы, меняются только сюжеты, а математическое решение остается одним и тем же [22, C.61].

Иногда в задачах на работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Однако для этого приходится прибегать к гипотетическим допущениям. Рассмотрим такой пример.

Задача. Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша – 4 грядки, а Глаша и Маша – 5 грядок. Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?

Решение. Представим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день. Получается, что каждая из девочек работали по два дня или что бригада, состоящая из Маши, Даши и Глаши, прополола 3+4+5=12 грядок за 2 дня. Значит, за один день бригада прополет вдвое меньше грядок, т. е. 6 [23, С. 27].

Ключевой задачей на работу является следующая задача: первый мастер может выполнить некоторую работу за а часов, а второй матер – за bчасов. За какое время выполнят работу оба мастера, работая вдвоем?

Решение. Так как объем работы не задан, его можно принять равным единице. Тогда первый мастер за один час выполнит часть работы, равную , второй – , а оба мастера – часть работы, равную Значит, всю работу они выполнят за время t= [12, С. 28].

Если в задаче не указан объем работы отдельно, мы принимаем его за единицу.

Вводим две неизвестных:

х – время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым;

y – время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Тогда:

– производительность кого-то (или чего-то) первого;

– производительность кого-то (или чего-то) первого.

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна [3, С.33].

Таким образом, в соответствии с поставленными в работе задачами в первой главе нами был проведен исторический обзор возникновения текстовых задач и задач на работу соответственно.

Нами было проведен анализ основных понятий темы, рассмотрены основные определения темы. Мы сформулировали определение производительности, вывели формулы нахождения работы, времени, за которое была выполнена некоторая работа и производительности.

Провели классификацию задач на работу. Нами были рассмотрены методы решения задач. Привели примеры решения задач по каждому, выделенному классу задач.

Практическая часть

Приведем пример задач, на совместную работу:

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за x часов, а второй - за y часов. Из условия следует, что x=y−1. За 1 ч первый рабочий выполнит часть работы, а второй – часть работы. Так как они работали вместе 34 ч, то за это время они выполнили часть работы. За 214 ч работы второй выполнил часть работы. Так как вся работа выполнена, то можно составить такое уравнение: =1 или . Подставив значение x в это уравнение, получим . Приводим это уравнение к квадратному: 4y²−19y+12=0, которое имеет решения 34 ч и 4 ч. Первое решение не подходит, так как оба рабочих только вместе работали 34 ч. Тогда y=4, a x=3.

Ответ: 3 часа и 2 часа.

Задача 2. Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?

Решение. Предположим, что бригады работали вместе x дней. Первая бригада за один день выполняет часть работы, вторая бригада выполняет всю работу за 75% (12 дней), то есть за 9 дней, а значит, за один день она выполняется 19 часть работы. За 5 дней первая бригада выполнила частей всей работы. Тогда за один день совместной работы обе бригады выполнили частей всей работы, а за x дней - частей. Составим уравнение , откуда x=3.

Ответ: 3 дня

Задача 3. Две бригады, работая одновременно, обрабатывают участок земли за 12 ч. За какое время этот участок могла бы обработать первая бригада отдельно, если скорости выполнения работы первой и второй бригадами относятся как 3 : 2?

Решение. Пусть p₁ – производительность первой бригады, а p₂ – производительность второй бригады. Величину участка земли примем за единицу. Согласно условию, получаем систему уравнений

Откуда = и = . Так как требуется найти время, за которое первая бригада, работая отдельно, могла бы обработать участок, то

t == 20 ч.

Ответ: за 20 часов [3, C.56].

Задача 4. Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?

Решение. Пусть первой машинистке для выполнения всего задания требуется x часов, а второй – y часов. Когда первая проработала 3 ч, вторая проработала 2 ч, причем обе они выполнили 1−= всего задания. Получаем уравнение += . По окончании работы выяснилось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. Значит, первая потратила ч, а вторая – ч. Так как первая машинистка работала на 1 ч больше, чем вторая, то приходим к уравнению − =1. В полученной системе уравнение одно из решений содержит отрицательный y, что противоречит условию задачи. Следовательно, только одно из решений является ответом исходной задачи.

Ответ: за 10 часов, за 8 часов

Задача 5. Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще 920 всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?

Решение. Пусть первой машинистке для выполнения всего задания требуется x часов, а второй - y часов. Когда первая проработала 3 ч, вторая проработала 2 ч, причем обе они выполнили 1−= всего задания. Получаем уравнение + =. По окончании работы выяснилось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. Значит, первая потратила ч, а вторая - ч. Так как первая машинистка работала на 1 ч больше, чем вторая, то приходим к уравнению −=1. В полученной системе уравнение одно из решений содержит отрицательный y, что противоречит условию задачи. Следовательно, только одно из решений является ответом исходной задачи.

Ответ: за 10 ч, за 8 ч

Задачи 6. Заказ на 80 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше, чем второй. Сколько деталей за 1 час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение. Нам известно, что всего деталей 80. Это вся работа (A). И на эту работу первый рабочий тратит на 2 часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит t часов, а второй – (t−2) часов.

Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность P. И у второго рабочего она больше на 2 детали в час. То есть производительность первого рабочего P, а у второго (P+2).

Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени (), то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.

Производительность первого рабочего – , а второго –

Почему мы выражаем t? Потому что нас интересует производительность P, а находить t нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от t и получаем уравнение с одной неизвестной.

80(P+2)=P(84+2P);

80P+160=84P+2P²;

2P²+4P-160=0;

P²+2P-80=0;

По теореме Виетта: P₁₌-10; P₂=8

Очевидно, что производительность не может быть меньше 0, поэтому P=8. Это как раз то, что мы искали.

Альтернативный (продвинутый) способ решения.

Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы. Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть A (работа), а нужно найти P (производительность). Можно сразу выразить время. Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.

Сколько на нее потратит первый? Вся работа – это 80 деталей, а делает он P₁ деталей в час: t₁= . Учитывая, что P₂ = P₁+ 2, то за часов. Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на 2 часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще 2 часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить 2 часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:

t₁= t₂+2, или

Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ: 8 деталей.

Покажем алгебраический способ решения конкретной задачи.

Задача 7. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 6 часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на 5 часов меньше, чем второй?

Решение. Примем всю работу за 1 (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и неважно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за x часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за (x+5) часов.

Производительность первой бригады, таким образом: , а второй –

То есть их общая производительность была . По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за 6 часов.

То есть: или .

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти x: ;

x(x+5)=6(2x+5);

x^​2​​+5x=12x+30;​

x​²​​−7x−30=0;

По теореме Виета: x₁=10; x₂=-3

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за 10 часов, если работала в одиночку.

Ответ: 10 часов.

Задача 8. Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша – 4 грядки, а Глаша и Маша – 5 грядок. Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?

Покажем арифметический способ решения задачи.

Решение. 1-й способ: Вообразим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день. Получается, что каждая из девочек работала два дня или что бригада, состоящая из Маши, Глаши и Даши, прополола 3+4+5=12 грядок за два дня. Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т. е. 6.

Алгебраический способ решения задачи.

2-й способ: Обозначим 1/t_м = m, 1/t_д = d, 1/t_г = g и подставим в систему: ;

Тогда втроем они выполнят работу за .

Из последнего уравнения видим, что единица объема работы равна 6.

Ответ: 6 грядок.

Задача, на составление уравнения с одной переменной.

Задача 9. Первая труба пропускает 15 литров воды в минуту, а вторая –10. За сколько минут обе трубы наполнят бассейн, объемом 100 литров?

Решение. Через 1 минуту из 1-й трубы нальется 15 литров, а из второй –10. Значит, за минуту обе трубы наливают 15 + 10 = 25 литров. Тогда бассейн в 100 литров они наполнят за время 100 : 25= 4 минуты.

Ответ: 4 минуты.

Если в задаче одна из переменных известна, то мы имеем уравнение с одной переменной. Например:

Задача 10. Два трактора вспахали поле за 8 часов, а один из них сделает это за 12 часов. За сколько часов вспашет поле второй трактор?

Решение. , , =24.

Ответ: 24 часа.

Задача 11. Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. Первая труба заполнит бассейн на 10 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Решение.

Ответ: 20 часов.

Задача 12. Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу за 5 дней. Если первый работал вдвое быстрее, а второй вдвое медленнее, то работа заняла бы у них 4 дня. За сколько дней выполнил бы всю работу каждый из них?

Решение. 

,

Ответ: 10 часов, 10 часов.

Задача 13. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый второй и третий, работая вместе, выполнили всю работу за 7,5 часов; первый, третий и пятый за 5 часов; первый, третий и четвертый за 6 часов; второй, четвертый и пятый за 4 часа. За какой промежуток времени выполнят эту работу все пять человек, работая вместе?

Решение.

В этой системе встречается три раза, а два раза. Умножим четвертое уравнение на 2 и сложим все четыре неравенства.

Ответ: 3 дня.

Задача 14. Двое рабочих изготавливают партию одинаковых деталей. Когда первый проработал 2 часа, а второй 5 часов, оказалось, что они выполнили половину работы. После того как они проработали вместе еще 3 часа им осталось выполнить 1/20 часть все работы. За какое время каждый рабочий выполнит всю работу?

Решение.

,

Ответ: 12 часов, 15 часов [24, С. 69].

Задача 15. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение. За 3 часа первый рабочий сделал всей работы. Оставшиеся работы рабочие делали уже вместе и потратили на это

Значит, время, затраченное на выполнение всего заказа, составляет 9 часов.

Ответ: 9 часов [2, C. 29].

Покажем различные арифметические способы решения конкретной задачи.

Задача 16. За 8 ч рабочий изготавливает 96 одинаковых деталей. Сколько деталей изготовит он за 5 ч работы?

Решение: 1-й способ: 1) 96:8=12 (дет.) 2) 12·5=60 (дет.)

2-й способ: 1) 8:5=1,6 (раза) 2) 96:1,6=60 (дет.);

3-й способ: 8 ч = 480 мин; 1) 480:96=5 (мин);

5 ч = 300 мин; 2) 300:5=60 (дет.).

Ответ: 60 деталей [4, C. 102].

Приведем пример задачи, решаемой методом моделирования и составлением уравнения через x и y.

Задача 16. Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежедневно на 2 листа более установленной для нее нормы, то закончит работу ранее намеченного срока на 3 дня; если же будет печатать по 4 листа сверх нормы, то окончит работу на 5 дней раньше срока. Сколько листов она должна была перепечатать и в какой срок?

Решение. Заполним таблицу 1, используя условия задачи:

Таблица 1

	P (лист/дни)	t (дни)	A (листы)
Норма
План 1
План 2

Составим два уравнения, исходя из того, что работа не изменялась:

Раскрыв в каждом уравнении скобки и приведя подобные, получим:

или

Следовательно, машинистка должна была перепечатать за 15 дней 120 листов.

Ответ: 120 листов, 15 дней [5, С. 64].

Рассмотрим задачу, используя метод моделирования, выражая время (t).

Задача 17. Пустой бассейн с помощью трех труб постоянной производительности может быть наполнен за 6 часов. Если бассейн наполнять через первую и вторую трубы совместно, то для наполнения бассейна потребуется 7 часов. За какое время может наполнить бассейн одна третья труба.

Решение. Заполним таблицу 2, используя условие задачи:

Таблица 2

		t(ч)	A
I	t1		1
II	t2		1
III	t3		1

Составим систему уравнений, используя данные из таблицы:

Ответ: 42 часа.

Таким образом, во второй главе нами было рассмотрены типовые задачи на работу, приведены примеры решения задач различными методами с полным объяснением получения результата.

Заключение

В данной работе приведены сведения о задачах на работу. Приведены типология задач, в решении которых используется несколько способов. Знание и умение решать задачи на работу помогают грамотно планировать и систематизировать трудозатраты и экономить время, формируют с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Так же описанные приемы и методы могут быть использованы в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по математике, в курсе средней общеобразовательной школы, а так же на уроках в школах и классах с углубленным изучением математики.

Как говорил венгерский математик Д. Пойа: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения» [9, С. 200].

Список использованных источников

Бродский, И.Л. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов [Текст] / И.Л. Бродский, А.М. Видус, А.Б. Коротаев. – М.: АРКТИ, 2004. – 424 с.

Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре [Текст]: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики. / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – М.: «Просвещение», 2001. – 271 с.

Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. – М.: Издательский центр «Академия» 2002. – 286 с.

Дорофеев, Г.В. Школьный учебник Математика 5 класс [Текст] / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2011. – 204 с.

Ерина, Т.М. Математика. Профильный уровень. Высший балл [Текст] / Т.М. Ерина. – М.: Издательство «Экзамен», 2017. – 350 с.

Иванов, М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов [Текст]: учебное пособие. / М.А. Иванов. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002. – 320 с.

Маланичева, Т.А. О решении задач на работу. Математика в школе [Текст] / Т.А. Маланичева, 2015, №5, 64 с.

Овчинникова, М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы) [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание». / М.В. Овчинникова. – К.: Пед.пресса, 2001.

Пойа, Д. Как решить задачу [Текст] / Д. Пойа. – М.: Просвещение, 1959. – 206 с.

Роганин, А.Н. ЕГЭ. Математика [Текст] универсальный справочник. / А.Н. Роганин, Ю.А. Захарийченко, Л.И. Захарийченко. – М.: «Эксмо – Пресс», 2016. – 368 с.

Совертков, П.И. Актуальные проблемы преподавания математики и информатики [Текст]: сборник научно-методических работ кафедры ВМиИ СурГПИ. / П.И. Советков, В.И. Седакова, Л.Н. Носова. – 1 выпуск. – Сургут: РИО СурГПИ, 2005. – 92 с.

Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике [Текст] / Н.Л. Стефанова. – М.: 2007. – 406 с.

Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум [Текст]: учебное пособие для студентов математических факультетов педагогических университетов. / Н.Л. Стефанова. – М.: 2007. – 320 с.

Стойлова, Л.П. Математика: [Текст] учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. / Л.П. Стойлова. – М.: Академия, 1999. – 424 с.

Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. / Л.П. Стойлова. – 3-е изд., стер. – М.: Академия, 2013. – 464 с.

Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики [Текст]: учеб. пособие для учащихся пед. уч-щ по спец. № 2001 «Преподавание в нач. классах общеобразоват. шк». / Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало. – 1988. – 320 с.: ил.

Стойлова, Л.Ю. Математика [Текст]: учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. / Л.Ю. Стойлова. – М.: Академия, 2013. – 464 с.

Темербекова, А.А. Методика обучения математике [Текст]: учебное пособие. / А.А. Темербекова, И.В. Чугунова, Г.А. Байгонакова. – СПБ.: «Лань», 2015. – 512 с.

Царева, С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе [Текст]: учебник для студ. учреждений высш. образования. / С.Е. Царева. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. - 496 с.

Черкасов, О.Ю. Математика [Текст] справочник для старшеклассников, поступающих в вузы. / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – М. «АСТ-ПРЕСС», 2001. – 575 с.

Шадрина, И.В. Методика преподавания начального курса математики [Текст]: учебник и практикум для прикладного бакалавриата. / И.В. Шадрина. – М.: Юрайт, 2016. – 279 с.

Шевкин, А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики» [Текст]: лекции 1-4. / А.В. Шевкин. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

Шестаков, С.А. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В13. Задачи на составление уравнений [Текст] / С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин. / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – 3-е изд., дополн. – М.: МЦНМО, 2012. – 64 с.

Шульга, Р.П. Решение текстовых задач разными способами – средство повышения интереса к математике [Текст] / Р.П. Шульга. – М.: «Просвещение», 1990. – с. 181.

Щулдик, Г.А. Математические задачи как средство развития мышления школьников [Текст] / Г.А. Щулдик. – К.: Радянська школа, 1990. – 302 с.

Код для цитирования: Скопировать