X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

1. Основные понятия, связанные с системами дифференциальных уравнений

При описании процессов и явлений часто появляется необходимость рассматривать совокупность из нескольких величин, совместно удовлетворяющих некоторым равенствам. Если в равенство входят также и производные от этих величин, то получается система дифференциальных уравнений. Мы ограничимся рассмотрением систем уравнений второго порядка вида:

(1)

Эта система называется системой дифференциальных уравнений второго порядка. Если удастся выразить производные из уравнения (1), то такая система называется системой, разрешенной относительно производных. Тогда система уравнений запишется в виде:

(2)

Определение. Функции y=(x), z=(x) называются решением дифференциальной системы уравнений(1) или (2) , если при подстановке функций в обе части системы получаем верные равенства, т. е. тождества.

Система уравнений (1) или (2) имеет множество решений. Для того, чтобы выделить из множества решений одно, интересующее нас, требуются дополнительные условия. Обычно они задаются в форме: требуется найти решение системы уравнения (1) или (2), удовлетворяющее условию

y(x₀)=y₀, (3)

z(x₀)= z₀, (4)

где x₀,y₀, z ₀- заданные константы.

Задача нахождения решения уравнения (1) или (2), удовлетворяющее условиям (3) и (4), называется задачей Коши, а само решение уравнения, удовлетворяющее условию (3) и (4), называется решением задачи Коши.

Определение. Функции y=(x,C₁,C₂), z=(x,C₁,C₂), где C₁,C₂ -произвольные постоянные величины, называются общим решением дифференциальной системы уравнений (2) в некоторой области D, если они удовлетворяют двум условиям:

1. При любых допустимых значениях C₁,C₂ функция y=(x,C₁,C₂), z=(x,C₁,C₂) - решение уравнения (2).

2. Для любой допустимой задачи Коши вида (3,4) существуют постоянные C₁⁰,C₂⁰ такие, что решение y=(x,C₁⁰,C₂⁰), z=(x,C₁⁰,C₂⁰) есть решение задачи Коши.

Эти определения показывают самые общие свойства структуры решения. Они показывают, что решений уравнения бесконечно много и для выделения решения из общего множества нужно уметь решить задачу Коши. В аналитическом виде схема решения задачи Коши для уравнения (8) такова:

1. Нужно найти общее решение y=(x,C₁,C₂), z=(x,C₁,C₂).

2. Подставим в общее решение значения x₀,y₀,z ₀ и получим систему уравнений

y₀=(x₀,C₁,C₂).

z₀=(x₀,C₁,C₂).

3. Решим эту систему уравнений и найдем C₁⁰,C₂⁰.

4. Подставим значения C₁⁰,C₂⁰ в общее решение и найдем решение задачи Коши y=(x,C₁⁰,C₂⁰), z=(x,C₁⁰,C₂⁰)

Решение задачи Коши тоже может оказаться неединственным. Поэтому важно выявить условия, при которых решение задачи Коши единственно.

Теорема. Если функции u=F(x,y,z), v=G(x,y,z) непрерывны и имеют частные производные по y и по z, причем

то уравнение (2) для любой задачи Коши имеет единственное решение. (Без доказательства).

Мы видим, что при достаточно широких условиях решение задачи Коши единственно.

Решение задачи Коши, если оно единственно и получается из общего решения при некоторых значениях C₁⁰,C₂⁰, называется частным решением.

2. Линейные системы дифференциальных уравнений второго порядка

Линейные системы дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид

Мы рассмотрим случай системы с постоянными коэффициентами, т. е. случай, когда a,b,c,d - заданные постоянные. Если f(x)0 и g(x)0, то система называется однородной. В противном случае неоднородной. Для случая этой системы выполняются многие свойства линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Вчастности общее решение неоднородной системы получается как сумма общего решения однородной системы и частного решения однородной системы. Рассмотрим два метода решения системы (5)

3. Метод исключения

Пусть b0 c0. Найдем из уравнения (5) величины:

(7)

Подставим равенства (7) в уравнение (6).

(8)

или

(9)

Уравнение (9) - неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем его общее решение y=(x,C₁,C₂). Подставим найденное решение в равенство (7) и найдем z=(x,C₁,C₂).

4. Применение метода собственных векторов

Рассмотрим однородную систему

(11)

Введем матричные обозначения

Запишем систему в виде

Будем искать решение в виде

(12)

где ₁, ₂ - некоторые постоянные. Тогда

Подставим результаты в равенство (11) и получим систему

Или

(13)

Если подставить в равенство (13) выражения (12), то получим

(14)

Если  таково, что определитель системы (14) не равен нулю, то система (14) имеет единственное решение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что это нулевое решение

Ненулевые решения система (14) может иметь только в том случае, если определитель равен нулю.

(15)

Раскроем определитель

(16)

Уравнение (16) называется характеристическим. Корни характеристического уравнения называются собственными числами, а векторы, являющиеся ненулевыми решениями уравнения (14) называются собственными векторами. Решим уравнение. Для этого найдем дискриминант D. Возможны три случая

1. D>0.

Тогда уравнение (16) имеет два разных действительных корня ₁ и ₂. Подставим их в уравнение (14). Из-за равенства нулю определителя в системе (14) остается фактически одно значимое уравнение. Положим ₁=1 и найдем из уравнения ₂. Подставим ₁ и ₂ в равенство (12) и найдем решение

(17)

Аналогичным образом получим для =₂

(17)

Общее решение однородной системы имеет вид

Пример.

Найти общее решение системы

Запишем характеристическое уравнение

Получим

Корни уравнения ₁=1; ₂=4. Подставим в уравнение (14) значение ₁.

Положим ₂=1 и найдем ₁=-2. Аналогично после подстановки ₂ получим

Значит ₁=₂=1. Общее решение имеет вид

2. D

Код для цитирования: Скопировать