X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Поверхностные интегралы и теория поля

1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла

Пусть в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле. Это значит, что в каждой точке MD определен вектор F. Для определенности будем читать, что в области D протекает жидкость, и вектор равен скорости V жидкости в точке M. Зададим прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Обозначим единичные векторы осей Ox,Oy и Oz буквами i,j,k. Тогда в области D вектор скорости V задается формулой:

V=P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

Проведем в области D некоторую гладкую поверхность S. Поставим задачу: найти поток жидкости, протекающей через поверхность S. Если движение жидкости стационарно и однородно, то поток жидкости через плоскую площадку площадью S равен объему жидкости, прошедшую через площадку, деленному на время протекания. Изобразим на рис. Выберем нормаль к площадке n.

n=( cos ; cos ; cos )

Тогда за время t частицы жидкости сместятся на величину Vt. Объем жидкости Q равен

Q=Sn Vt= S cos  Vt

Поток жидкости  равен

=Q/ t= S cos  V=(Vn) S= (P(x,y,z) cos  + Q(x,y,z) cos  + R(x,y,z) cos ) S.

Разобьем поверхность S на достаточно большое число частей достаточно малого размера системой линий. Назовем эти части элементарными площадками и перенумеруем их произвольным образом. Обозначим площадь элементарных площадок S₁, S₂,S₃,..., Sn. Выберем на каждой элементарной площадке S_i точку M_i(_i,_i,_i)S_i, i=1,2,...,n. Вычислим в каждой из точек значение V(M_i )= (P(_i,_i,_i);Q(_i,_i,_i);R(_i,_i,_i)). Выберем одну из сторон поверхности. Для этого выберем одно из направлений нормали и ту сторону, на которой указано направление считаем положительной, а обратную отрицательной. Проведем в каждой точке единичную нормаль так, чтобы при движение вдоль поверхности нормаль менялась непрерывно. Элементарный поток жидкости _i равен

_i =(Vn)_i S_i = (P(_i,_i,_i) cos  + Q(_i,_i,_i) cos  + R(_i,_i,_i) cos ) S_i.

Вычислим значения элементарных потоков _i и просуммируем полученные значения

(1)

Ясно, что сумма приближенно равна потоку вектора V через поверхность S. Назовем диаметром элементарной площадки величину наибольшего отрезка, проходящего через элементарную площадку. Обозначим его _i. Обозначим max_i=. Начнем строить различные интегральные суммы так, чтобы 0 и, соответственно, n.

Определение. Предел интегральных сумм вида (1) при 0, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора значений M_i(_i,_i,_i)S_i на этих частях, называется поверхностныминтегралом по поверхности S. Обозначается

(2)

Аналогично определяются интегралы

(3)

Замечание 1. При построении интегралов рассматриваются гладкие двусторонние поверхности. Одна из сторон считается положительной, вторая отрицательной. Условно будем показывать положительную сторону положением нормали, приложенной в некоторой точке и направленной от поверхности. В дальнейшем для всех точек поверхности и ее частей выбор положительной стороны сохраняется из соображений непрерывности.

Замечание 2. Не следует думать, что свойство двусторонности является естественным. Существуют односторонние поверхности.

2. Свойства поверхностного интеграла

Свойства поверхностного интеграла аналогичны общим свойствам интегралов. Поэтому отметим отличительные свойства. Пусть указанные интегралы существуют. Тогда выполняются следующие свойства.

1. При изменении стороны поверхности знак интеграла изменяется на противоположный.

2. Если поверхность разбить на две поверхности, не имеющие общих внутренних точек, то

Это правило верно и для случая любого числа частей.

3.

где S - площадь поверхности.

Разобрать доказательство по учебнику самостоятельно.

3. Поверхностные интегралы для вычисления потоков

Для вычисления потоков используются интегралы вида (2). Рассмотрим их подробнее. Пусть нормаль выбрана так, что углы ,, являются острыми. Это значит, что cos 0, cos 0, cos 0.

Спроектируем поверхность S_i на плоскости Oxy, Oyz, Oxz. Получим:

на плоскость Oyz. Угол  есть угол между осью Ox и нормалью. Одновременно это угол между площадкой S_i и проекцией ее на плоскость Oyz. Тогда S_i cos =dydz;

на плоскость Oxz. Угол  есть угол между осью Oy и нормалью. Одновременно это угол между площадкой S_i и проекцией ее на плоскость Oxz. Тогда: S_i cos =dxdz;

на плоскость Oxy. Угол  есть угол между осью Oz и нормалью. Одновременно это угол между площадкой S_i и проекцией ее на плоскость Oxy. Тогда: S_i cos =dxdy.

Элементарный поток равен

_i =(Vn)_i S_i = P(_i,_i,_i) dydz+ Q(_i,_i,_i) dxdz + R(_i,_i,_i) dxdy,

и интеграл запишется в виде

Замечание. Если соответствующий угол между нормалью и осью тупой, то вместо плюса соответствующее слагаемое будет со знаком минус.

4. Вычисление поверхностного интеграла

Пусть гладкая поверхность S такова, что каждая прямая, параллельная оси Oz пересекает ее не более, чем в одной точке. Спроектируем ее на плоскость Oxy в область . Тогда мы можем записать ее уравнение в области  в виде

Координаты нормали к поверхности имеют вид:

Для нашей поверхности

Выберем нормаль так, чтобы угол между осью Oz и нормалью был острым. Тогда

Если в формулу для элементарных потоков подставить значения и перейти к пределу то

Если область неправильная вдоль оси Oz, то ее следует разбить на несколько частей, которые являются правильными. Иногда бывает, что уравнение можно записать в виде или Тогда нужно проектировать поверхность на плоскость Oyz или Oxz. Соответствующие изменения в формулах очевидны.

Пример. Вычислить площадь поверхности параболоида z=(x²+y²)/2 , ограниченной цилиндром x²+y²R².

Решение. Найдем координаты нормали

Площадь поверхности равна

Перейдем к полярным координатам

5. Теорема Стокса

Теорема. Пусть в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле F.

F =P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

Если функции непрерывны и имеют в области D непрерывные частные производные, то

где - L замкнутый контур, лежащий в области D, S - некоторая поверхность, натянутая на контур L. Поверхность лежит в области D. Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы по следующему правилу: если двигаться по направлению обхода контура так, чтобы поверхность оставалась с левой стороны, то нормаль к поверхности проходит от ног к голове.

Теорема дается без доказательства.

Следствие. Для того, чтобы в некоторой области интеграл по контуру 2-го рода не зависел от контура интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы, выполнялось условие

Утверждение дается без доказательства.

6. Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема. Пусть в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле F.

F =P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

Если функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные, то

где S - замкнутая поверхность, лежащая в области D, V - тело, ограниченное поверхностью S. Интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Доказательство. Изобразим область V и рассмотрим

Преобразуем двойные интегралы в поверхностные

Заменим второй интеграл на интеграл по внешней стороне

Остальная часть теоремы доказывается аналогично.

Пример. Вычислить

где поверхность S образована поверхностями x+y+z=3; x=0; y=0; z=0.

Преобразуем интеграл по формуле Остроградского-Гаусса

7. Элементы теории поля

Определение. Говорят, что в некоторой области D трехмерного пространства задано скалярное поле, если каждой точке MD поставлено в соответствие число.

Зададим прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Тогда скалярное поле задает некоторую функцию U=U(x,y,z). Для наглядного геометрического изображения скалярного поля используют поверхности уровня. Поверхность уровня - это множество точек области D, для которой функция принимает постоянное значение U(x,y,z)=C, где C=const.

Примеры. Поле распределения температур в неравномерно разогретом теле, поле распределения масс внутри тела.

Определение. Говорят, что в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле, если каждой точке MD поставлен в соответствие вектор F.

Зададим прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Обозначим единичные векторы осей Ox,Oy и Oz буквами i,j,k. Тогда в области D векторное поле F задает тройку функций:

F =P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

Примеры. Поле распределения скоростей частиц жидкости в области D. Поле распределения напряженностей электростатического поля.

Пусть задано некоторое скалярное поле U=U(x,y,z) и пусть функция U непрерывна и непрерывно дифференцируема.

Определение. Градиентом функции U называется вектор, равный

Вектор градиент в каждой точке перпендикулярен поверхности уровня поля U и показывает направление быстрейшего возрастания функции U. Пусть l - единичный вектор.

Производная по направлению равна

Пусть задано некоторое векторное поле F = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)) и пусть функция P,Q,R непрерывное и непрерывно дифференцируемое.

Определение. Дивиргенцией векторного поля F называется величина, равная

Для случая поля течения жидкостей дивиргенция F показывает мощность источников жидкости в данной точке поля.

Определение. Вихрем или ротором векторного поля F называется вектор, равный

Ротор F показывает величину завихренностиполя.

Определение. Векторное поле F называется потенциальнымв области D, если существует функция U=U(x,y,z) такая, что F= gradU. Функция U называется потенциальной функцией поля.

Пример. Поле распределения напряженностей электростатического поля. Потенциальная функция равна

где  - потенциал электростатического поля.

Напряженность поля равна

Определение. Векторное поле F называется соленоидальнымв области D, если существует векторное поле A такое, что F= rot A. Векторное поле A называется векторным потенциалом поля.

Пример. Поле распределения напряженностей магнитостатического поля.

Введем обозначение

r=(x,y,z)=x i + y j+ z k.

Тогда

dr=(dx,dy,dz)= i dx + j dy + k dz.

Определение. Пусть задано некоторое векторное поле F в области D. Зададим некоторый контур L, лежащий в области D. Если F - силовое поле. то интеграл по контуру

определяет работу силового поля при перемещении тела по контуру L. Если контур L замкнут, то интеграл называется циркуляцией.

Определение. Пусть задано некоторое векторное поле F в области D. Зададим некоторую двустороннюю поверхность, лежащую в области D. Потоком векторного поля через поверхность называется величина

Для случая поля течения жидкостей поток векторного поля F равен количеству жидкости, протекающей через данную поверхность.

8. Оператор Гамильтона

Для упрощения работы с введенными понятиями Гамильтон ввел символический оператор , равный

Оператор называется набла.

С помощью введенного оператора запишем

Теорема. Для того чтобы поле F было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы rot F=0.

Доказательство. Необходимость. Пусть поле потенциально. Это значит, что существует потенциал U=U(x,y,z) такой, что F= gradU. Тогда

Достаточность. Пусть rot F=0. Тогда

Это значит интеграл по контуру в области не зависит от вида контура, а зависит только от начала M₀(x₀,y₀,z₀) и конца M(x,y,z) контура. Поэтому запишем

Найдем производную. Получим

Это значит, что

Теорема Остроградского-Гаусса и теорема Стокса являются наиболее используемыми теоремами теории поля. Поэтому сформулируем их еще раз в новых терминах

Теорема Остроградского-Гаусса. Пусть в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле F.

F =P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

пусть S - замкнутая поверхность, лежащая в области D, V - тело, ограниченное поверхностью S. Если функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные, то поток векторного поля через поверхность S равен интегралу по объему от дивиргенции F

Интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Разделим обе части равенства на V и перейдем к пределу при V 0. Получим

Для случая поля скоростей течения жидкости поток равен количеству жидкости, протекающей через поверхность S. Если он равен нулю, то количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей. Если поток равен нулю для любого объема, то жидкость внутри объема не появляется и не исчезает. Это соответствует случаю дивергенции, равному нулю. Если поток через замкнутую поверхность больше нуля, то это означает, что внутри поверхности имеется источник жидкости. Поэтому дивергенция характеризует мощность источников жидкости в данной точке поля.

Теорема Стокса. Пусть в некоторой области D трехмерного пространства задано векторное поле F.

F =P(x,y,z) i+Q(x,y,z) j+R(x,y,z) k = (P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)).

Пусть L замкнутый контур, лежащий в области D, S - некоторая поверхность, натянутая на контур L. Поверхность S лежит в области D. Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы по следующему правилу: если двигаться по направлению обхода контура так, чтобы поверхность оставалась с левой стороны, то нормаль к поверхности проходит от ног к голове. Если функции непрерывны и имеют в области D непрерывные частные производные, то циркуляция по контуру равна потоку ротора через поверхность S

Разделим обе части равенства на S и перейдем к пределу при S 0. Получим

Из теоремы Стокса следует, что

Ротор F показывает величину завихренностиполя.

Список использованных источников

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 1981.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.

Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.

Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.

Код для цитирования: Скопировать