X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ВВЕДЕНИЕ

Математический пакет ELCUT представляет собой интегрированную диалоговую систему программ позволяющую решать следующие плоские и осесимметричные задачи:

– Линейная и нелинейная магнитостатика.

– Магнитное поле переменных токов (с учетом вихревых токов).

– Нестационарное магнитное поле.

– Электростатика.

– Электрическое поле переменных токов в неидеальном диэлектрике.

– Растекание токов в проводящей среде.

– Линейная и нелинейная, стационарная и нестационарная теплопередача.

– Линейный анализ напряженно-деформированного состояния.

– Связанные задачи.

С помощью ELCUT пользователь может в течение одного сеанса описать задачу - ее геометрию, свойства сред, источники поля, граничные и другие условия, решить ее с высокой точностью и проанализировать решение с помощью средств цветной графики.

MathCad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто MathCad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB

MathCad, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи.

В данной работе мы рассмотрим решение некоторых задач математической физики с помощью этих двух пакетов.

1. Решение задач математической физики в пакете ELCUT

Рассмотрим решение некоторых задач математической физики, а именно задачи стационарного теплопереноса при граничных условиях 1,2 и 3-го рода в математическом пакете ELCUT. Он позволяет решать задачи методом конечных элементов.

1.  
   Решение задачи стационарного теплопереноса при граничных условиях 1-го рода в пакете ELCUT

Пусть дано одномерное температурное поле, в котором находится плоская стальная неограниченная стенка толщиной 12 мм. Температура на внутренней поверхности стенки равна 40 ºС, а на внешней – 190 ºС.

Для решения этой задачи воспользуемся пакетом ELCUT:

1. Создадим задачу:

Рисунок 1 ‒ Окно создания задачи

2. Итак, теперь зададим тип и основные параметры задачи.

Рисунок 2 ‒ Окно ввода основных параметров

3. Создадим геометрическую модель: существует 2 способа как это сделать, в данной задаче рассмотрим один из них. Итак, на главной панели условного поля «Создание геометрической модели» в поле «Раствор дуги» выбираем «Прямая линия (0º)».Теперь устанавливаем курсор в виде «Плюса» в начале координат, и протягиванием рисуем контуры нашей пластины. Высоту стенки выбираем – 12 мм.

Рисунок 3 ‒ Геометрическая модель задачи

4. Опишем свойства модели: создадим метку, для левой границы с названием «Внеш. Граница». Аналогичные действия проводим для правой границы нашего прямоугольника, называем «Внутр. граница». Далее создадим метку для самой стенки с названием «Стенка».

Рисунок 4 ‒ Свойства геометрической модели

5. Зададим физические свойства готовой геометрической модели:

Рисунок 5 ‒ Температура для внешней границы

Рисунок 6 ‒ Температура для внутренней границы

Рисунок 7 ‒ Коэффициент теплопроводности стенки

6. Так как мы решаем задачу теплообмена методом конечных элементов, то, построим сетку конечных элементов:

Рисунок 8 ‒ Сетка конечных элементов

7. Решим полученную задачу:

Рисунок 9 ‒ Решение задачи

8. Проанализируем результаты решения задачи.

8.1. В новом окне появились результаты расчета, а именно как изменяется температура, заданная на внутренней и внешней границе стенки.

Рисунок 10 ‒ Результаты расчета температуры

8.2. Построим график изменения температуры:

Рисунок 11 ‒ Добавление контура

Рисунок 12 ‒ График изменения температуры

Тут мы можем проследить, как изменяется температура при заданных граничных условиях 1-го рода и коэффициента теплопроводности пластины.

9. Построим график изменения градиента температуры:

Рисунок 13 ‒ Обозначение кривых расчета

Так как по определению это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный изменению температуры на единице длины, а изменение температуры происходит вдоль оси ОХ, следовательно, градиент F_x не должен изменяться, что мы и наблюдаем:

Построим так же на самой картине поля векторы распространения градиента температуры:

Рисунок 14 ‒ Свойства картины поля

На графике наблюдаем направление изменения температуры через градиент.

Рисунок 15 ‒ График изменения температуры через градиент

Рисунок 16 ‒ График изменения градиента

10. Построим график теплового потока:

Замечаем, что график теплового потока, так же не изменяется, как и график градиента.

Аналогично, как и для градиента, построим направление теплового потока.

Рисунок 17 ‒ Свойства картины поля

Рисунок 18 ‒ График направления теплового потока

Рисунок 19 – График изменения теплового потока

1.2 Решение задачи стационарного теплопереноса при граничных условиях 2-го рода ELCUT

Пусть дано одномерное температурное поле, в котором находится плоская стальная неограниченная стенка толщиной 12 мм. Температура на внутренней поверхности стенки равна ‒ 40ºС (граничит с жидкостью), а на внешней – 190ºС (граничит с газом), так же дан тепловой поток, который изменяется от границы к границе.

Определим исходные данные поставленной задачи.

Дано:

1. Геометрический размер стенки (толщина): L=12 мм;

2. Свойства материала: материал стенки – ортотропный с постоянной теплопроводностью – λ=15 (Вт/м*К) (коэффициент теплопроводности стали);

3. Граничные условия 2-го рода: тепловой поток на внутренней стенке (x=0) постоянный и равен q₁ = 595 (Вт/м²), на внешней (x=L) постоянен и равен q₂ = 432 (Вт/м²).

Для решения задачи, нам понадобятся так же ГУ 1-го рода, а именно:

1. Коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенке (внутренняя граница) α₁ = 46 (Вт/м*К);

2. Коэффициент теплоотдачи от стенки пластины газу (внешняя граница) α₂ = 215 (Вт/м*К);

3. Температура на внутренней стенке (x = 0) постоянна и равна T₁ = -40ºС, на внешней (x = L) постоянна и равна T₂ = 190º С.

Для решения задачи воспользуемся математическим пакетом ELCUT:

1. Выполним аналогические действия как в предыдущей задаче.

2. Создадим геометрическую модель:

Рисунок 20 ‒ Геометрическая модель стенки

3. Опишем свойства модели. На левой границе создадим метку, «Внеш. граница», для правой границы соответственно «Внутр. граница». И для самой стенки «Стенка».

Рисунок 21 ‒ Геометрическая модель стенки

4. Зададим физические свойства уже готовой геометрической модели:

Рисунок 22 ‒ Свойства метки ребра внешней границы

Рисунок 23 ‒ Свойства метки ребра внутренней границы

Рисунок 24 ‒ Свойства метки блока

5. Построить сетку конечных элементов:

Рисунок 25 ‒ Сетка конечных элементов

6. Решив задачу, проанализируем полученное решение:

В новом окне у нас появились результаты расчета, а именно как изменяется температура, заданная на внутренней и внешней границе стенки:

Рисунок 26 ‒ Результаты расчета

7. Построим график изменения температуры:

Рисунок 27 ‒ Изменения температуры

Рисунок 28 ‒ График изменения температуры

Тут мы можем проследить, как изменяется температура при заданных нами граничные условия 2-го рода и коэффициента теплопроводности пластины.

8. Построим график изменения градиента температуры.

Рисунок 29 ‒ Обозначения кривых расчёта

Рисунок 30 ‒ График градиента

Построим так же на самой картине поля векторы распространения градиента температуры.

Рисунок 31 ‒ Свойства картины поля для градиента температуры

На графике наблюдаем направление изменения температуры через градиент

.

Рисунок 32 ‒ Направление температуры через градиент

Рисунок 33 ‒ График изменения градиента

Аналогично, как и для градиента, построим направление теплового потока.

Рисунок 34 ‒ Свойства картины поля для теплового потока

Рисунок 35 ‒ Направление теплового потока

Рисунок 36 ‒ График изменения теплового потока

1.  
   Решение задачи стационарного теплопереноса при граничных условиях 3-го рода

Пусть дано одномерное температурное поле, в котором находится плоская стальная неограниченная стенка толщиной 12 мм. Пластина омывается слева жидкостью, а справа ­– газом.

Определим исходные данные поставленной задачи.

Дано:

1. Геометрический размер стенки (толщина): L = 20 мм;

2. Свойства материала: материал стенки – ортотропный с постоянной теплопроводностью – λ = 15 (Вт/м*К) (коэффициент теплопроводности стали);

3. Граничные условия 1-го рода: температура на внутренней стенке (x = 0) постоянна и равна T₁ = 40ºС, на внешней (x = L) постоянна и равна T₂ = 190º С.

4. Коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенке α₁ = 46 (Вт/м*К).

5. Коэффициент теплоотдачи от стенки пластины газу α₂ = 215 (Вт/м*К).

Для решения поставленной задачи воспользуемся математическим пакетом ELCUT:

1. Выполним аналогические действия как в предыдущей задаче:

2. Создадим геометрическую модель:

Рисунок 36 ‒ Геометрическая модель стенки

3. Опишем свойства модели. На левой границе создадим метку, «жидкость», для правой границы соответственно «газ». И для самого тела «стенка».

Рисунок 37 ‒ Свойства модели

4. Зададим физические свойства уже готовой геометрической модели

Рисунок 37 ‒ Свойства метки ребра «жидкость»

Рисунок 38 ‒ Свойства метки ребра «газ»

Рисунок 39 ‒ Свойства метки блока «стенка»

5. Строим сетку конечных элементов.

Рисунок 40 ‒ Сетка конечных элементов

6. Решив задачу и проанализировав полученные результаты расчета, а именно как изменяется температура, заданная на внутренней и внешней границе стенки:

Рисунок 41 ‒ Результаты решения задачи

Теперь построим график изменения температуры, с помощью функции «Добавить к контуру»:

Рисунок 42 ‒ Построение контура температуры

Рисунок 43 ‒ График изменение температуры

Тут мы можем проследить, как изменяется температура при заданных нами граничных условиях 3-го рода и коэффициента теплопроводности пластины.

7. Построим график изменения градиента температуры. По определению это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный изменению температуры на единице длины, а изменение температуры происходит вдоль оси ОХ, следовательно, градиент F_x не должен изменяться, что мы и наблюдаем на рисунке 44.

Рисунок 44 ‒ График изменение градиента

8. Построим так же на самой картине поля векторы распространения градиента температуры, и получим следующий результат, представленный на рисунке 46.

Рисунок 45 ‒ Свойства картины поля

Рисунок 46 ‒ Направление изменения градиента

9. Аналогично, как и для градиента, построим направление теплового потока рисунок 47:

Рисунок 47 ‒ Свойства картины поля

Рисунок 48 ‒ График изменение теплового потока

Рисунок 49 ‒ Направление изменения теплового потока

2. Решение задач математической физики в пакете MATHCAD

Решение некоторых задач математической физики при моделирование различают системы со средоточенными параметрами, когда поведение системы описывается обыкновенными диффриринциальными уравнениями с начальным условием (задача Коши).

Однако, если процесс развивается не только во времени, но и в прострнстве, то мы переходим к диффринциальным уравнениям в частных производных, а такие системы называются системами с рассредоточенными полями. При этом диффринциальные уравнения дополняются начальными и (или) граничными условиями.

Аналитическое решение диффиринциальных уравнений частных производных возможно только в простейших случаях, поэтому актуальны численные методы решения их решения. При этом возможно 2 основных подхода:

1. Решение методом конечных элементов;

2. Решение методом конечных элементов.

И в первом и во вотором случаях область разбиения некоторой сеткой и находятся значения искомой функции, так называемых узловых точках.

Рассмотрим решение некоторых классических задач математической физики с помощью математического пакета MathCad. Решение будем осуществлять методом конечных разностей.

2.1 Решение волнового уравнения по явной схеме

Решим задачу о колебании струны длиной L с закрепленными концами:

с начальными условиями,

где

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменнойипровести вычисления для m слоев по временной переменной . Вычисления выполним по явной разностной схеме с шагом по и шагом по , обеспечивающим выполнение условия устойчивости Куранта. Отобразим графически решение задачи на нулевом слое (начальное условие), −ом и −ом временном слое. Решение в среде пакета Mathcad представлено на рисунках 50 и 51.

 

Рисунок 50 ‒ MathCad-документ решение волнового уравнения в явной схеме

Рисунок 51 ‒ MathCad-документ решение волнового уравнения в явной схеме

2.2Решение уравнения теплопроводности по явной схеме

Найдем решение для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами:

с начальными условиями

, где

и граничными условиями

,, где

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменнойипровести вычисления для m слоев по временной переменной . При вычислении по явной разностной схеме с шагом по и шагом по , обеспечим выполнение условия устойчивости. Отобразим графически решение задачи на нулевом слое (начальное условие), −ом и −ом временном слое, и построим интегральную поверхность распределения температуры. Решение в среде пакета Mathcad представлено на рисунках 52 и 53.

Рисунок 52 ‒ MathCad-документ решение уравнения теплопроводности по явной схеме

Рисунок 53 ‒ MathCad-документ решение уравнения теплопроводности по явной схеме

2.3 Решение уравнения теплопроводности по неявной схеме

Найдем решение для уравнения теплопроводности:

с начальными условиями

, где

и граничными условиями

,, где

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменной ипровести вычисления для n слоев по временной переменной . Таким образом, при вычисление по неявной разностной схеме с шагом по переменной и шагом по , количество шагов по обеим переменным совпадает и равно .

Отобразим графически решение задачи на нулевом (начальное условие)врем, −ом и −ом временных слоях и построим интегральную поверхность распределения температуры в стержне. На рисунках 54 и55 представлен образец решения уравнения теплопроводности с помощью неявной схемы.

Рисунок 54 ‒ MathCad-документ решение уравнения теплопроводности по неявной схеме

Рисунок 55 ‒ MathCad-документ решение уравнения теплопроводности по неявной схеме

2.4 Решение одномерной краевой задачи методом релаксаций

Найдем решение для одномерного уравнения:

с начальным условием

и нулевыми граничными условиями

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменной .

Построим график решения краевой задачи для известного числа итераций Вычислим значение энергии на каждом шаге релаксационного процесса и построим её график.

Исследуем зависимость скорости сходимости релаксационного процесса от значения параметра . Сравним скорость сходимости методов на: и релаксации.

На рисунках 56 и 57 представлено решение данной задачи.

Рисунок 56 ‒ MathCad-документ решение одномерной краевой задачи методом релаксаций

Рисунок 57 ‒ MathCad-документ решение одномерной краевой задачи методом релаксаций

2.5 Решение уравнения Пуассона методом релаксаций

Рассмотрим метод релаксаций на примере решения краевой задачи двумерного уравнения Пуассона:

для квадратной области, где

с известными потенциалами на границах области

внутри области имеется ячейка

в которой заряд распределен равномерно с известной плотностью .

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменной . Решение поставленной задачи представлено на рисунках 58 и 59.

Рисунок 58‒ MathCad-документ решение уравнения Пуассона методом релаксации

Рисунок 59 ‒ MathCad-документ решение уравнения Пуассона методом релаксации

2.6 Решение уравнения Лапласа методом релаксаций

Решим краевую задачу двумерного уравнения Лапласа:

для квадратной области

с известными потенциалами на границах области

для нашего случая:

Для решения задачи построим сетку из n узлов по пространственной переменной . Решение поставленной задачи представлено на рисунках 60 и 61.

Рисунок 60 ‒ MathCad-документ решение уравнения Лапласа методом релаксации

Рисунок 61 ‒ MathCad-документ решение уравнения Лапласа методом релаксации

2.7 Решение уравнения Лапласа с помощью функции «relax»

Встроенная функция Mathcad «relax» использует метод релаксации для нахождения приближенного решения. Воспользуемся этой функцией для нахождения стационарного распределения температуры в квадратной пластине со стороной , описываемое уравнение Лапласа:

и краевыми условиями:

где

Решение задачи представлено на рисунке 62.

Рисунок 62 ‒ MathCad-документ решение уравнения Лапласа с помощью встроенной функции «relax»

2.8 Решение уравнения Пуассона с помощью функции «multigrid»

Требуется решить уравнение Пуассона с нулевыми граничными условиями (функция равняется нулю на всех границах области), для этого воспользуемся функцией «multigrid». Предварительно зададим квадратную матрицу размера где – любое целое положительное число.

Найдем стационарное распределение потенциала в квадратной пластине со стороной L, описываемое уравнением Пуассона:

с нулевыми краевыми условиями и заданным распределением источников мощностью . Номера узла источника №1 (10,12) и узла №2 (21,26).

Решение поставленной задачи представлено на рисунке 63

Рисунок 63 ‒ MathCad-документ решение уравнения Пуассона с помощью встроенной функции «multigrid»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой работа мы рассмотрели возможности работы с математическими пакетами ELCUT и MathCad. Решили ряд простых математических задач.

В пакете ELCUT рассмотрели задачи теплопроводности с граничными условиями первого, второго и третьего рода. Наглядно посмотрели изменение температуры, градиента температурного поля и теплового потока с помощью средств, предоставленных в пакете. Заметили, что градиент температуры меняется из-за влияния на среду теплового потока и изменяется аналогично ему.

А в пакете MathCad решили: гиперболические, параболические и эллиптические уравнения в частных производных, а так же уравнения Лапласа и Пуассона с помощью встроенных функций MathCad, таких как «relax» «multigrid».

А так же изучили метод конечных разностей и метод конечных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кунин С. Вычислительная физика. - М.: Мир, 1992.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. - М.:Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.

Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. -2001. Т. 2. -Раздел 3. - С. 16.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su

Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных эллиптических уравнений// Вычислительные методы и программирование.- 2001. Т. 2. - Раздел 3. С. 714.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su

Герасименко Ю.Я., Растеряев Н.В. Численное решение некоторых задач математической физики: учебно-методическое пособие / Юж.- Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). – Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2007. - 36 с.

Код для цитирования: Скопировать