X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

ВВЕДЕНИЕ

Под оптимизацией понимают процесс максимизации выгодных характеристик и минимизации расходов, то есть оптимизация заключается в нахождении наиболее выгодных вариантов. Методы решения задач оптимизации изучает математическое программирование. Под данным понятием понимают ту область математики, которая помогает разрабатывать теорию решения задач оптимизации, в которых присутствуют различного вида и рода ограничения.

Методы оптимизации – это раздел вычислительной математики, объединяющий методы и алгоритмы решения задач оптимизации функций, а также обосновывающие применение этих методов теоретические результаты. Линейное программирование дисциплины, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Задачей оптимизации: называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

Математическое программирование — математическая дисциплина, изучающая теорию и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

Линейное программирование – это наука о методах исследования и изыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования – это задачи, в которых требуется найти экстремум функции в присутствии разнообразных ограничений, накладываемых на аргументы данной функции ЗЛП являются первыми, подробно изученными задачами для нахождения экстремума, поэтому они распространены

в экономике, сельском хозяйстве, медицине, а также социальной жизни общества.

Актуальность работы заключается в том, что использование методов

оптимизации, в том числе и линейного программирования, позволяет с максимальной выгодой и минимальными расходами разрешить задачу о диете, составить наиболее оптимальный рацион, а также сбалансированный режим питания. Разрешение оптимизационной задачи о диете играет важную роль в составлении специализированного рациона питания здоровых и больных людей, а также в сельском хозяйстве при составлении режима кормлении животных[1].

Цель и задачи исследования:

Целью выполнения данной работы являются углублённые знания по вопросам оптимизационной задачи о диете, получение навыков работы с научной и научно-популярной литературой. К задачам исследования можно отнести:

описание общей задачи оптимизации;

приведение постановки задач линейного программирования;

описание возможности ЭТ MS Excel и математического пакета Mathcad по решению оптимизационных задач;

выполнение постановки задачи и разработка математической модели задачи о нахождении оптимальной диеты по критерию минимальной стоимости и заданной калорийности;

рассмотрение порядка решения задачи, которая рассматривается в работе, в среде ЭТ MS Excel и в среде математического пакета Mathcad.

Все эти задачи помогает решить математическое программирование, которое является наиболее действенным инструментом принятия решений.

Математическое программирование можно представить как математическую дисциплину, которая занимается изучением, как экстремальных задач, так и разработкой методов их решения [5].

1. Общая задача оптимизации

1.  
   Постановка общей задачи оптимизации

Большинство задач, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится выискивать в некотором смысле наилучшие варианты при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. Такие задачи называются оптимизационными.

Задачи такого рода возникают во многих областях человеческой деятельности: в экономике (планирование и управление экономическими объектами), в технике (оптимальное проектирование конструкции и другие). В настоящее время оптимизация стала неотъемлемой частью культуры проектирования.

Оптимизация в математике – это задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченного набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Математическое программирование – это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач для нахождения наилучших вариантов из всех возможных. Слово программирования введено искусственно в связи с тем, что неизвестные переменные обычно определяют программу или план работы некоторого субъекта, алгоритм действий.

Для решения задачи оптимизации математическими методами необходимо составить ее математическую модель. Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде совокупности функций, уравнений, неравенств, цифр и т.д.

Модель задачи оптимизации включает в себя:

1) совокупность неизвестных величин , варьируя которыми можно искать оптимальное решение. Их называют решением задачи;

2) целевую функцию (критерий оптимизации). Целевая функция позволяет получить численную оценку оптимальности выбранного решения. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Целевой функцией может быть прибыль предприятия, затраты производства, объём выпуска продукции и т.д., выраженные через неизвестные ;

3) условия (или систему ограничений) налагаемые на неизвестные величины. Эти условия, например, следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает предприятие в данный момент: материальные, трудовые, финансовые, технологические и т.п.

После составления математической модели задачу оптимизации можно записать следующим образом:

найти план , доставляющий экстремальное значение целевой функции

(1)

при ограничениях

– ограничения в виде неравенств,

(2)

– ограничение в виде равенства

(3)

Число неизвестных называется размерностью задачи.

В большинстве практических задач на переменные задачи накладываются ограничения:

План , который удовлетворяет всем ограничениям задачи (2) и (3), называется допустимым решением задачи. Но это еще не само решение оптимизационной задачи.

Допустимое решение, при котором функция (1) принимает экстремальное значение, называется оптимальным решением.

Если в формулировке задачи отсутствуют ограничения (2) и (3), то она называется задачей безусловной оптимизации.

Различные классы задач математического программирования получаются при конкретизации условий, накладываемых на целевую функцию (1) и ограничения (2),(3). К числу наиболее важных классов задач можно отнести задачи линейного, выпуклого, дискретного и целочисленного программирования. В дальнейшем эти задачи будут рассматриваться более подробно.

Теория необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах математического программирования в полной мере изложена, например, в [1] и [2]. Там же подробно изложены методы и алгоритмы, позволяющие получить решение различных типов задач. Однако большинство задач математического программирования содержит большое количество числового материала, поэтому эти задачи приходится решать численно, с использованием ЭВМ. Основные численные методы и алгоритмы решения задач безусловной оптимизации приведены, например, в [3].

В настоящее время разработано множество методов ориентированных ППП, позволяющих решить широкие классы задач математического программирования. Мощный и достаточно простой инструмент решения задач математического программирования предлагает электронный табличный процессор Microsoft Excel: пример практического использования представлены в [4] и [5].

2. Линейное программирование

1.  
   Задача линейного программирования

Наиболее удобным и распространенным математическим инструментом при моделировании и решении оптимизационных задач является линейное программирование – специальный класс оптимизационных задач, в котором все отношения между переменными выражаются линейными функциями, а переменные принимают действительные значения. Преимущество этого класса в том, что разработаны универсальные алгоритмы для решения таких задач большой̆ размерности. Впервые задача линейного программирования в России была сформулирована в 1939 г. Л. В. Канторовичем, который̆ применил математическую модель этой задачи в экономике и разработал метод решения. В 1975 г. Л. В. Канторович получил Нобелевскую премию за достижения в этой области. В 1947 г. американский учёный Д. Данциг разработал алгоритм решения этой задачи. С этого момента линейное программирование стало важным инструментом в исследовании операций. [5]

Часто из условия задачи следует, что значения некоторых переменных принятия решений принадлежат множеству целых чисел. Например, если переменная отвечает за размер детали, то она может принимать значения только из заданного множества возможных размеров деталей. Такого рода задачи принадлежат к классу задач целочисленного линейного программирования или смешанного целочисленного линейного программирования. Они отличаются от задач линейного программирования высокой сложностью и особой практической значимостью. Прежде чем переходить к построению математической модели, необходимо пройти несколько этапов. Данная проблема решается в интересах так называемого лица, принимающего решения (ЛПР). ЛПР формулирует проблему, участвует в построении модели, анализирует полученное решение, а затем принимает или отвергает его. Построение математической модели и решение задачи лучше доверить специалистам по исследованию операций.

Исследование задачи начинается с появления некоторой проблемы. Большинство оптимизационных задач возникает из практических приложений.

В этом случае рекомендуется изучить процесс, в результате которого возникла задача. Может оказаться, что задача не настолько сложна, чтобы для нее использовать математический аппарат. Возможно, чтобы решить поставленную задачу, необходимо найти решение какой-то другой подзадачи, в результате которой возникла эта проблема.

Далее необходимо сформулировать задачу: определить ее цель, сформулировать условия, которые влияют на достижение цели. Выяснить, какие упрощения по сравнению с реальностью могут быть допущены в модели. Реальность сложная и многогранная, поэтому учесть все нюансы сложной прикладной задачи в модели не удастся. В связи с этим на этапе уяснения и формулировки задачи необходимо провести отбор условий, которые сохранят адекватность модели и не перегрузят ее несущественными деталями.

Следующий этап состоит в том, чтобы собрать все необходимые численные данные. Понять, какие параметры измеряют и влияют на цель задачи, разбить их на управляемые параметры (переменные) и неуправляемые параметры (константы), ввести переменные, задать целевую функцию. Возможно, с первого раза не удастся наилучшим образом задать переменные. Кроме того, необходимо решить вопрос о размерности модели. Она определяется количеством переменных и ограничений. Если число управляемых параметров увеличить, то с помощью модели можно более точно отразить реальное событие, но будет трудно выявить основные свойства модели. В такой ситуации задача становится необозримой и может не иметь решения. Поэтому число переменных стараются уменьшить, оставляя главные переменные. С другой стороны, уменьшая число переменных, можно опустить существенные переменные, и модель становится неадекватной. Большое количество ограничений тоже не всегда является недостатком.

Выполнение только первых трех этапов из общей схемы может оказаться полезным по нескольким причинам. Во-первых, при исследовании проблемы на этапе количественного анализа нужно собрать, проверить и структурировать исходные данные задачи. Например, подсчитать имеющееся количество деталей на складе, установить, какие составные части используются в производстве, а какие, возможно, уже устарели, и их можно исключить из рассмотрения. Во-вторых, определить, какие параметры, и каким образом влияют на достижение цели. Выписать ограничения и тем самым наглядно показать, что мешает, например, получить максимальную прибыль.

Следующий важный этап состоит в построении математической модели. При ее разработке сложность может заключаться в том, что критерии оптимизации или ограничения выражаются нелинейными функциями или число ограничений и переменных слишком велико. В результате время работы алгоритма с такой моделью окажется неприемлемо большим. В этом случае необходимо вернуться на шаг уяснения и формулировки задачи, переопределить переменные и ограничения. Построение модели − это своего рода искусство. Не существует единственного верного способа, как это делать. Для одной и той же задачи можно построить несколько эквивалентных моделей с разным числом переменных и ограничений, так же как для теорем может быть предложено несколько различных доказательств.

Цель моделирования не всегда состоит исключительно в том, чтобы найти оптимальное решение задачи, т. е. наилучшее решение для конкретной модели, но также может быть интересным исследование различных альтернативных решений, с помощью которых можно прогнозировать сложные ситуации. Не всегда оптимальное решение является подходящим для практического внедрения. Может оказаться, что поиск оптимума требует больших вычислительных ресурсов, в то время как приближенное решение не сильно отличается от оптимального или оно устраивает того, кто принимает решение. Кроме того, при моделировании часто возникают труднореализуемые аспекты. В большинстве задач выбора имеется много критериев оценки вариантов решения. Критерии могут быть зависимыми или независимыми. Зависимыми называют те критерии, при которых оценка альтернативы по одному из них определяет оценку по другому критерию. Количество критериев влияет на сложность задачи принятия решений. При небольшом числе критериев (два - три) задача сравнения по ним может быть выполнена непосредственно. При большом числе критериев задача становится труднообозримой, и тогда необходимо использовать специальные методы решения многокритериальных задач оптимизации. [1]

Задачей линейного программирования (ЛП) называется задача условной максимизации (минимизации) линейной целевой функции (1) при линейных ограничениях (2), (3). В литературе принят ряд специальных, эквивалентных между собой, форм записи таких задач, каждая из которых удобнее других в том или ином круге вопросов. Приведем наиболее общую формулировку задачи ЛП:

целевая функция

(4)

система ограничений:

В настоящее время построены эффективные алгоритмы решения задач линейного программирования. При графическом методе решения опираются на известные факты, что множество допустимых решений задачи представляет собой многогранник в n-мерном пространстве, и если это множество не пусто, то максимум (минимум) функции обязательно достигается хотя бы в одной из вершин многогранника. В случае, когда размерность задачи n=2 и число ограничений мало, графический способ является достаточно эффективным и наглядным методом линейного программирования. Приведем пример решения.

3. Графический метод

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования.Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: INT – для внутренних работ и EXT – для наружных работ. В производстве красок используются два исходных продукта А и В. Из-за малой площади склада максимально возможные суточные запасы этих продуктов равны 6 т. и 8 т. соответственно. На производство 1 тонны краски INT расходуется 1 тонна продукта А и 2тонны продукта В, а на изготовление 1 тонны краски EXT идет 2 тонны продукта А и 1 тонна продукта В. Фабрика продает краску по цене 3тыс. долл. за тонну краски INT и 2 тыс. долл. за тонну краски EXT. Исходные данные удобно свести в таблицу:

Таблица 1. Исходные данные к задаче линейного программирования

Исходные продукты	Расход продукта на 1 т. краски		Запас продуктов
	INT	EXT
A	1	2	6
	2	1	8
Цена 1т. краски	3 тыс. долл.	2 тыс. долл.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT, более чем на 1 тонну. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика в сутки, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Задачу решить графическими и аналитическими методами.

Составим математическую модель задачи:

1. Пусть x₁ – количество краски INT (т),

x₂ – количество краски EXT(т).

2. Введем целевую функцию – прибыль, которая составляет

, и которую необходимо максимизировать.

3. Ограничения.

3.1. Ограничения по ресурсу А. Количество расходуемого ресурса А, равно

, при этом по условию оно не должно превосходить 6 тонн, т.е.

3.2. Ограничения по ресурсу В:

3.3. Условие не отрицательности:

3.4.Ограничение по сбыту. Спрос на краску EXT никогда не превышает спрос на краску INT, более чем на 1 тонну:

Таким образом, задача заключается в следующем: максимизировать целевую функцию:

при ограничениях

Теперь графически изобразим решение нашей задачи:

1. Построим ОДР задачи, для этого ограничение 3.1 и 3.2 запишем, как строгие равенства , после решения равенства найдем 2 пары точек точки и проведем 2 прямые на чертеже. Также следует учесть ограничение 3.4, запишем его , как строгое равенство

и построим график этого уравнения.

2. Затем строим линии уровня целевой функции:

на графике выделено желтой линией,

, на графике выделено синей линией линией.

3. Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке В с координатами (3.333, 1.333). В этой точке функция принимает максимальное значение 12.666. Чтобы достичь этого значения предприятию необходимо выпустить 3.33 тонны краски INT и 1.33 тонны краски EXT.

Рисунок 1 – Численное решение задачи линейного программирования

Решим задачу графическим методом. Решение в ЭТ MS Excel будет иметь следующий вид:

1. Введем начальные данные, значения , а также ограничение в таблицу.

Рисунок 2 – Excel-документ графического решения задачи линейного программирования

2. Изобразим полученные значения на графике:

Рисунок 3 – Excel-документ графического решения ЗЛП

3. Найдем координаты точек А и В, а также значение целевой функции в них.

Рисунок 4 – Excel-документ графического решения задачи линейного программирования

Решим задачу аналитически в ЭТ MS Excel с помощью надстройки поиск решения.

Рисунок 5 – Excel-документ аналитического решения задачи линейного программирования

Затем решим задачу в математическом пакете Mathcad и сверим полученные результаты.

Рисунок 6 – Mathcad-документ аналитического решения задачи линейного программирования

Решив эту задачу в среде ЭТ MS Excel и в математическом пакете Mathcad, мы получили одинаковые решения: В точке A с координатами (3.33, 1.333) функция принимает максимальное значение 12,66. Для достижения этого значения предприятию необходимо выпустить 3,3 тонны краски INT и 1.3 тонны краски EXT.

4. Оптимизационная задача распределения неоднородных ресурсов. Составление оптимального плана выпуска продукции в среде ЭТMSExcel и математического пакета Mathcad

4.1 Понятия и основы пакета MathCad

MathCad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

MathCad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовым из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).

MathСad имеет простой и интуитивный для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Некоторые из математических возможностей MathСad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии используется символьное ядро MuPAD. [9]

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get - "что видишь, то и получаешь").

Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, MathCad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также MathCad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

MathCad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий .NET и XML позволяют легко интегрировать MathCad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Основные возможности MathCad.

MathСad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных книг);

проведение математических расчетов (как аналитических, так и при помощи численных методов);

подготовка графиков с результатами расчетов;

ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

получение различной справочной информации из области математики.

Среди возможностей MathСad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами.

Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурных, векторных и т. д.).

Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте.

Выполнение вычислений в символьном режиме.

Выполнение операций с векторами и матрицами.

Символьное решение систем уравнений.

Аппроксимация кривых.

Выполнение подпрограмм.

Поиск корней многочленов и функций.

Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей

Поиск собственных чисел и векторов. Вычисления с единицами измерения.

Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров.

С помощью MathCad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.

Вычислительный блок решения Find.

Рассмотрим решение системы n нелинейных уравнений с m неизвестными

Здесь , … , – некоторые скалярные выражения, зависящие от скалярных переменных и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему можно формально переписать в виде:

где – вектор, составленный из переменных – вектор, составленный из правых частей уравнений, а – соответствующая векторная функция их левых частей. Для решения систем в MathCad применяется специальный вычислительный блок решения, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Given ключевое слово;

система, записанная логическими операторами в виде равенств и,

возможно, неравенств;

Find – встроенная функция для решения системы уравнений относительно переменных .

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Boolean (Булевы операторы). Если вы предпочитаете ввод с клавиатуры, помните, что логический знак равенства вводится сочетанием клавиш +. Значение функции Find представляет собой матрицу, составленную из всевозможных решений по каждой переменной, причем количество ее строк в точности равно числу аргументов Find.

Поиск экстремума функции:

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. С вычислительной точки зрения две задачи являются практически одинаковыми, т. к., например, задача поиска максимума тождественна проблеме отыскания минимума–.

Общая проблема поиска экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального минимума. Последние называют еще задачами оптимизации, и решить их, как правило, намного труднее, поскольку они подразумевают локализацию всех минимумов и выбор из них наименьшего. Ограничения значений аргументов, задающих область определения , как и прочие дополнительные условия, могут быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

Для численного решения задач поиска локального максимума и минимума в MathCad имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Принцип их действия очень близок к принципу расчетов, заложенных во встроенной функции Find, предназначенной для решения алгебраических уравнений. В частности, все встроенные функции минимизации используют те же градиентные численные методы, что и функция Find, поэтому допускается "вручную" выбирать численный алгоритм. Кроме того, как и в случае решения уравнений, применение градиентного алгоритма, во-первых, требует задания некоторого начального приближения к точке минимума и, во-вторых, позволяет отыскать лишь один (т. е. локальный) из минимумов функции.

Таким образом, как и в случае решения уравнений, чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется сначала просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область и вычислить все локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший). Другим вариантом будет простое сканирование с вычислением значений функции, позволяющее выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени. [8]

5. Оптимизационная задача распределения неоднородных ресурсов

1.  
   Математическая модель задачи

В процессе производства часто возникают задачи нахождения оптимального плана производства продукции при наличии определенных средств (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве. Рассмотрим некоторые возможные постановки таких задач.

Постановка задачи В. Пусть у завода железобетонных изделий (ЖБИ) имеется m видов сырья (песок, щебень, цемент) в объемах , Нужно произвести продукцию n видов. Дана технологическая норма . потребления отдельного i-го вида сырья для изготовления единицы продукции каждого j -го вида. Известна прибыль, получаемая от производства единицы продукции j -го вида. Определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль. Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица1-данные для задачи

Используемые ресурсы	Изготавливаемые изделия						Наличие рсурсов
	И1	И2	И3	И4	И5
S1	2.6	4.4	3.3	0.5	3.7	350
S2	2.2	0.8	2.1	3.5	1.5	300
S3	3.9	0.4	2.9	1.2	2.2	570
Прибыль	32	21	29	21	15

1.  
   Решение в среде ЭТ MSExcel

Рассмотрим вид задач распределения неоднородных ресурсов для оптимизации планов производства продукции. Постановка задачи: Пусть у нас есть три виды сырья s1, s2, s3 и их запасы: S1=350, s2= 300, s3=570. Обладая этими ресурсами предприятие выпускает продукцию: И1, И2, И3, И4, И5. Также известна прибыль предприятия cj от реализации одного изделия j-го вида. Требуется состаить план выпуска продукции, обеспечивающия максимальную суммарную прибыль. Представление данной задачи с помощью стандартных средств Excel показано на рисунке 7.

Рисунок 7 – Постановка задачи в Exel

Разработка математической модели. Для ее составления необходимо определить неизвестные и их количество. Обозначим xj – количество (шт) каждого вида изделий, которое может выпустить предприятие. Запишем целевую функцию данной задачи в уравнении

Запишем ограничение по ресурсам:

где а это количество ресурса.

Ограничение по запасам:

Ограничение по неотрицательной:

Целочисленность:

Обязательная поставка:

Применим эти ограничения с помощью надстройки поиск решения:

Рисунок 8 – Ограничения

Применяя наложенные с помощью надстройки «Поиск решения» получим решение со значением целевой функции и расходом кождого вида сырья, которое 25 представлено на рисунке 9.

Рисунок 9 –Exel документ решения задачи

5.3 Решение с помощью пакета MathCad

Решение задачи распределения неоднородных ресурсов в среде пакета Mathcad показано на рисунке 10 :

Рисунок 10 −Mathcad-документ решения задачи, получение оптимального решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа показывает широкие возможности работы с пакетами ЭТ MS Excel и MathCad. Результатом данного исследования является разработка идеального плана оптимизации задачи неоднородных ресурсов.

Глядя на результаты двух таблиц Excel, можно увидеть, что в итоге мы получили максимальную прибыль, что и требовалось в постановке завдачи. Такое же исследование проведено и в пакете MathCad и получили так же максимальную прибыль.

Как видно, результаты таблицы Excel и программы MathCad совпадаю, что говорит о правильном решении поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. – М.: Наука, 1986. – 321 с.

2. Математические методы и модели исследования операций: Учебник для студентов вузов/ под ред. В.А. Колемаева.–М.:ЮНИТИ-ДАНА, 209. – 592 с.

3. Супрун А.Н., Найденко В.В. Вычислительная математика для инженеров – экологов. – М.: АСВ, 1996. – 391с.

4. Леоненков А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel СПб.: БХВ – Петербург, 2005. – 704 с.

5. И. Спира. Microsoft Excel и Word 2013. Учится некогда не поздно. Издательство: Питер, 2014. – 250 с.

6. Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В. Содержательные задачи линейного программирования и их решение с помощью ЭТ MS EXCEL и пакета MATHCAD: учебное пособие/Южный федеральный университет. –Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. – 132 с.

7. Бородакий Ю.В. Линейное программирование в современных задачах оптимизации / Ю.В. Бородакий. – М.: МИФИ, 2008. – 564с.

8. Киселева Э.В. Математическое программирование (линейное программирование) / Э.В. Киселева, С.И. Соловьева. – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – 256с.

9. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике/ Н.Ш. Кремер. — М.:Юнити,2000. — 400 с.

Код для цитирования: Скопировать