X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Теоретическое описание и решение проблем теплообмена в движущихся и неподвижных средах является одним из важнейших направлений современной науки и техники. Для решения этих проблем необходимо объединение комплекса знаний теории переноса теплоты и массы вещества в различных средах.

Нестационарный перенос теплоты и массы описывается уравнениями. Для их решения используем такой точный аналитический метод как метод конечных элементов. При их практическом использовании возникают известные трудности: полученные решения, как правило, выражаются сложными функциональными зависимостями, в ряде случаев содержащими специальные функции. Особые трудности представляют нелинейные задачи, задачи с переменными по координатам физическими свойствами среды (включая многослойные конструкции), а также переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты. Для решения большей части указанных задач точные аналитические методы практически неприменимы.

В данной работе мы рассмотрим задачу о распределении температуры по толщине двуслойной плоской пластины при граничных условиях 1 рода, т. е. задачу теплопроводности. Данную задачу можно рассмотреть методом конечных элементов.

Ключевой задачей МКЭ является определение искомой функции (величины) в узловых точках. Искомые узловые значения должны быть «отрегулированы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры. Это «регулирование» осуществляется путём минимизации некоторой величины, связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал, связанный с уравнением теплопроводности. Процесс минимизации в конечном итоге сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений.

Для использования метода конечных элементов (МКЭ) необходимо располагать возможностью оценки возникающей погрешности решения. Этот вопрос решается тестированием МКЭ на задачах, для которых известно точное решение. Чтобы эффективно использовать систему ELCUT, необходима тщательная предварительная подготовка к выполнению конкретной работы.

Пусть дано одномерное температурное поле, в котором находится плоская стальная двуслойная неограниченная стенка толщиной 20 мм. На границе раздела двух материалов находится полое отверстие в котором изначально находится воздух с температурой 0º С. Температура на внутренней поверхности стенки равна – 0º С, а на внешней –задается линейной функцией распределения 273+5*t. Известно, что внешний слой пластины состоит из меди (11мм), а внутренний из алюминия (9мм), на границе соединения материалов меняется тепловой поток. На границе медь-алюминий тепловой поток равен 65 (Вт/м²), на границе медь - воздух – 1275 (Вт/м²), воздух – алюминий – 1275 (Вт/м²).

Определим исходные данные поставленной задачи.

Дано:

1. Геометрический размер стенки (толщина): L=20 мм;

2. Толщина внешнего слоя L1=11мм, толщина внутреннего слоя L2=9мм;

3. Свойства материала: медь, алюминий и воздух. Коэффициент теплопроводности меди: λм=40,1 (Вт/м*К), коэффициент теплопроводности алюминия: λа=125 (Вт/м*К), коэффициент теплопроводности воздуха: λа=1250 (Вт/м*К).

4. Граничные условия 1-го рода: температура на внутренней стенке (x = 0) постоянна и равна T1 = 0º С, а на внешней (x = L) постоянна и равна T2 = 273+5*t.

5. Граничные условия 2-го рода: тепловой поток на границе медь-алюминий тепловой поток равен: q = 65 (Вт/м2), на границе медь – воздух: q = 1275 (Вт/м2), воздух – алюминий: q = 1275 (Вт/м2).

Требуется найти с помощью системы ELCUT распределение одномерного температурного поля, когда температура зависит от координаты и времени при постоянном коэффициенте теплопроводности меди, алюминия и воздуха. Построить графики распределения температуры в стенке через отверстие и через границу раздела двух сред, градиента температуры и теплового потока в момент времени t₁ = 9.1 сек и t₂ = 54.3 сек.

Решение задач в среде ELCUT.

Запустив программу ELCUT Student, создадим геометрическую модель. Высоту стенки выбираем произвольно, в нашем случае – 25 мм. Аналогичным образом строим отверстие диаметром 8 мм. Зададим физические свойства уже готовой геометрической модели. Опишем свойства модели. Зададим физические свойства уже готовой геометрической модели: коэффициент теплопроводности меди, для медного слоя; коэффициент теплопроводности алюминия и коэффициент теплопроводности воздуха. Строим сетку конечных элементов.

В новом окне у нас появляются результаты расчета, а именно как изменяется температура, заданная на внутренней и внешней границе стенки. Справа мы видим шкалу изменения температуры, по которой можем отследить, как именно она изменяется. Нажмем «Анимация» для просмотра распределения температуры в стенке и скорости, степени прогревания стенки.

На картине поля можем наблюдать направление изменения температуры через градиент в разные моменты времени.

Выводы

Зная, что температура на внешней стенке задается линейным уравнением зависящим от времени, при условии что начальная температура будет равна 273 К, наблюдая решение нашей задачи мы видим, как она изменяется. А именно сначала идет прогрев стенки, когда прогрев достигает полого отверстия видим, что прогрев алюминиевой стенки проходит неравномерно, а именно быстрее на границе с отверстием, так как воздух.

Список литературы

В.И. Коновалов, А.Н. Пахомов, Н.Ц. Гатапова, А.Н. Колиух, «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА», Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. 80 с.

Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

Дубицкий С.Д., «ELCUT – конечноэлементный анализ низкочастотного электромагнитного поля».

Код для цитирования: Скопировать