X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Знание особенностей истечения вязкой жидкости через круглые и некруглые отверстия и насадки необходимо при расчёте водопропускных сооружений, систем подачи топлива в тепловые двигатели, аппаратов химического производства, а также при проектировании различных резервуаров для хранения и транспортировки технических и прочих жидкостей.

Процесс истечения жидкости через отверстия круглой формы достаточно хорошо изучен: в технической литературе широко представлены методики расчеты динамики истечения жидкостей в зависимости от характера движения жидкости, ее типа и физико-химических свойств. Процесс же истечения через отверстия некруглойформы мало изучен и является актуальной задачей прикладной гидродинамики.

Рассмотрим истечение жидкости из цилиндра с трещиной (щелью) на дне (рис. 1). Для математического описания процесса истечения введем следующие параметры: H, R – геометрическая высота и радиус цилиндра,

x(t) – уровень жидкости в резервуаре, отсчитываемая от нижнего края цилиндра. X – вертикальная координата, a,b – длинна и ширина щели.

Рис 1. ‒ Схема цилиндрического резервуара с щелью на дне

Известно, что скорость истечения жидкости v в тот момент, когда высота ее уровня равна х(t), определяется равенством

,

где g = 9,807 м/с²,

k ‒ коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия.

На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt из щели вытечет столб жидкости, высота которого и площадь сечения s= a^.b, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на ̶ dx.

В результате этих рассуждений приходим к дифференциальному уравнению

которое можно переписать в виде

Полученное дифференциальное уравнение следует дополнить начальным условием, определяющим уровень жидкости в начальный момент времени

Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный) момент времени определить ее состояние в любой последующий момент. Такие модели описывают динамические системы. Не всякое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и имеет, то найти его бывает трудно. Часто удаётся вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь используются для других вычислений или решения исходной задачи. Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.

Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая исследование при применении известных программных продуктов, решается широкий класс задач.

Mathcad ‒ система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы.

В среде математического пакета Mathcad решим следующую задачу на истечение жидкости. Цилиндрический резервуар с вертикальной осью высотой H = 3 метра и диаметром R = 2 метра имеет на дне щель размера а = 0.09 и b=0.01 м. Для воды, керосина, бензина коэффициент скорости истечения принимается k = 0.6.

Для решения сформулированной задачи Коши с помощью пакета Mathcad используется встроенная функция odesolve. Функция имеет следующий синтаксис:

odesolve(t,b,step),

где t – переменная интегрирования;

b – конец интервала интегрирования;

step – размер шага (необязательный параметр).

Этапы решения:

ввод ключевого слова Given для использования решающего блока пакета Mathcad;

задаем дифференциальное уравнение и его ограничения, используя булево равенство (Ctrl=). Дифференциальное уравнение может быть записано с использованием операторов типа или в виде x'(t) и x"(t). Для задания начального приближения вводятся значения для x(t) и его первых производных в начальной точке при t = 0, в нашем случае это x(0) = H. Mathcad проверит правильность типа и числа ограничений;

вводим функцию odesolve(t,b,step) c переменной интегрирования t и числовыми значениями конечной точки b и шага step. Решение можно представить в виде графика зависимости x(t). Решение в среде пакета Mathcad и вывод результатов моделирования зависимости уровня жидкости в цилиндрических резервуарах высотой 3 метра и радиуса 2, 1.8 и 1.5 метров представлены на рисунке 2.

Рис. 2 ‒ Решение и вывод результатов моделирования в среде пакета Mathcad

Полученные результаты могут служить основой получения эффективной априорной информации о распределении гидродинамических характеристик цилиндрических резервуаров. Последнее позволяет, зная законы движения уровня жидкости и скорости истечения, выбирать технологические режимы, повышающие надежность, безопасность и долговечность резервуаров.

Код для цитирования: Скопировать