X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. На основе математической модели с помощью ЭВМ проводится изучение устройств и физических процессов, «проигрывается» их поведение в различных условиях, находятся оптимальные параметры и режимы действующих или проектируемых конструкций. Открылись качественно совершенно новые возможности в преподавании математических дисциплин.

Чрезвычайная простота и удобство интерфейса Mathcad сделали его одним из самых популярных и, безусловно, самым распространенным математическим пакетом. Выполняя рутинные или несущественные (в контексте изучаемого раздела) операции, пакет позволяет обучаемому, не владеющему в полной мере техникой сложных математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать содержательные задачи, приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач.

Пакет Mathcad можно использовать как средство модернизации преподаваемых дисциплин, содержащих развитый математический аппарат, как среду для общения обучаемого с преподавателем, как средство контроля и самоконтроля, как инструмент помощи обучаемому при самостоятельной работе. При создании учебных курсов Mathcad помогает преподавателю подготовить динамичные, яркие иллюстрации, обогатить курс примерами, возникающими в различных областях науки и техники, которые обычно не рассматриваются на занятиях из-за их вычислительной сложности. Только таким образом преподаватель может перейти от традиционной технологии «мел-тряпка-доска» к современным информационным технологиям в обучении.

Сказанное можно проиллюстрировать на примере приближения функций рядами Тейлора и Фурье.

Пусть функция f(x) имеет в точке х₀ производные всех порядков до n-го включительно. Тогда для функции f(x) справедлива формула Тейлора:

,

где − остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано, являющейся при бесконечно малой более высокого порядка малости чем

При поиске разложения в ряд Тейлора в среде математического пакета Mathcad нет необходимости явно рассчитывать все его коэффициенты, поскольку эта операция предусмотрена разработчиками Mathcad и выполняется при помощи символьного процессора. Разложение функции в ряд Тейлора в среде математического пакета Mathcad можно выполнить двумя способами. При этом можно использовать как соответствующие встроенные функции, так и меню Symbolics (Символика).

Чтобы разложить некоторое выражение в ряд необходимо выполнить команду Symbolics → Variable → Expand to Series (Символика → Переменная → Разложить в ряд).

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика). После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации.

Сравнить поведение исходной функции и нескольких ее разложений в ряд Тейлора (с разными порядками аппроксимации) можно по графику, приведенному на рисунке.

Для кусочно-гладкой на отрезке [-L,L] функции f(x) формула разложения в ряд Фурье имеет вид:

где

Ниже приведен рабочий документ Mathcad с графиком функции и графики частичных сумм ее ряда Фурье.

Анимация изображений является одним из мощных средств визуализации результатов моделирования объектов, систем или процессов самой разной природы. Порою графическое представление изучаемой зависимости дает наглядную интерпретацию её математической, экономической или физической сути.

Сказанное можно проиллюстрировать на примере приближения функций рядом Фурье. Пакет Mathcad не только избавляет от громоздких промежуточных вычислений (но формулу необходимо помнить и правильно записать!), но и позволяет воочию увидеть, как сходятся частичные суммы ряда Фурье при различных значениях n – количестве взятых в разложении членов тригонометрического ряда.

Mathcad имеет встроенную переменную FRAME, чье единственное назначение − управление анимацией. Для создания любой анимации необходимо создать объект, в нашем случае формулу и X-Y график, чей вид зависит от значения переменной FRAME. Далее выделите протяжкой мыши объекты, подлежащие анимации, и вызовите диалоговое окно "Записать анимацию". В появившемся окне установите верхние и нижние границы изменения данной переменной. Переменная FRAME будет увеличиваться с единичным шагом от нижней до верхней границы. В поле "Скорость" введите значение скорости воспроизведения создаваемого клипа и нажмите "Анимация". Выбранное изображение возникнет в миниатюрном виде внутри диалогового окна, скорость перерисовки при этом не обязательно будет соответствовать выбранной скорости воспроизведения. Mathcad перерисовывает рисунок для каждого значения переменной FRAME, как показано на рисунке.

Таким образом, анимация создана. Теперь можно воспроизвести анимационный клип тут же или сохранить анимацию как Windows AVI файл для использования другими приложениями ОС Windows. Сохраненный видео-файл можно запускать без запуска математического пакета, например, с помощью проигрывателя KM Player.

Таким образом, могут быть определены наиболее значимые методические цели, реализуемые наиболее эффективно с использованием вычислений и анимации в среде пакета Mathcad:

Высвобождение учебного времени. Достигается за счет выполнения в среде пакета Mathcad трудоемких вычислений. Это позволяет обучаемому, не владеющему в полной мере техникой сложных математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, быстро решать содержательные задачи и приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач из области его будущей профессиональной деятельности.

Усиление мотивации обучения. При работе в Mathcad студент общается с изучаемым материалом на более высоком уровне общих подходов, идей и понятий. С помощью вычислительной среды пакета, за небольшое время, он может рассмотреть самостоятельно большее количество примеров. Это особенно важно для развития творческого, независимого мышления, поскольку обучаемый может сам всесторонне исследовать изучаемые математические объекты и вынести обоснованные суждения на основе своих собственных наблюдений.

Компьютерная визуализация и анимация учебной информации. Например, изучаемого объекта (наглядное представление на экране объекта и его составных частей); изучаемого процесса (представление на мониторе процесса или его математической модели; при необходимости − в развитии, в движении во времени или пространстве); представление графической интерпретации исследуемых закономерностей.

Формирование информационной культуры.

Код для цитирования: Скопировать