X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Отличие этого итерационного метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y = F(x)при x = х_iи ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс (см. рис. 1). При этом не обязательно задавать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x = х₀.

Рис. 1 − Метод касательных

Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х₀ выбирается тот конец интервала [а, b], которому отвечает ордината того же знака, что и знакF  (х).

 

Рисунок 1. Метод Ньютона

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = F(x) через точку В₀ с координатами х₀ и F(х₀), имеет вид:

 

Отсюда найдем следующее приближение корня х₁как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0):

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пресечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках В₁, В₂и так далее. Формула для i +1 приближения имеет вид:

(1)

Для окончания итерационного процесса может быть использовано или условие или условие близости 2^х последовательных приближений x_i– x_{i - 1} < .

Итерационный процесс сходится, если F(х₀)F (х₀)> 0.

Программа, по которой можно уточнить корни методом касательных, написана по алгоритму, приведенному ниже (см. рис. 2).

Рис. 2 Блок-схема метода касательных

Формальные параметры процедуры NEWTON. Входныe:а, b (тип real)– отрезок, на котором ищется корень; ерs (тип real) – точность вычисления корня; m1 (тип real) – минимум модуля первой производной на отрезке [а,b]; FUNC, FUNC1 и FUNC2 – внешние процедуры-функции. Выходные:k (тип integer) – количество выполненных итераций; х (тип real)– найденное значение корня с заданной точностью ерs.

Перед началом работы программы определяют процедуры-функции func(Х) – по которой вычисляют значения F(х) и func1(Х),func2(Х) – по которой вычисляют значения первой и второй производной функции F(х). Тип функций должен быть вещественным.

Паскаль-программа и результаты расчета в среде Pascal ABC приведены на рисунках 3 и 4.

Рис. 3 Паскаль-программа уточнения корня методом касательных

Пример.

В качестве примера снова взято уравнение примера 3: x² – 5 ^. sin(x) =0 и корень уточняется на отрезке изоляции [1.8; 2.2] методом Ньютона с точностью ерs = 0.00005.

Рис. 4 Результаты уточнения корня методом касательных в среде PascalABC

Вариант алгоритма метода хорд может быть реализован в среде математического пакета Mathcad (см. рис. 5).

Рис. 5 Результаты решения в среде пакета Mathcad

Код для цитирования: Скопировать