X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д.

Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план решение следующей задачи: требуетсяполучить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Основную массу автомобильных бензинов в России вырабатывают по ГОСТ 2084-77 и ГОСТ Р51105-97 и ТУ 38.001165-97. В зависимости от октанового числа ГОСТ 2084-77 предусматривает пять марок автобензинов: А-72, А-76, АИ-91, АИ-93 и АИ-95. Для первых двух марок цифры указывают октановые числа, определяемые по моторному методу, для последних - по исследовательскому.

В связи с увеличением доли легкового транспорта в общем объеме автомобильного парка наблюдается заметная тенденция снижения потребности в низкооктановых бензинах и увеличения потребления высокооктановых.

Для приготовления автомобильного бензина используют бензины прямой перегонки, бензины термического крекинга, бензины каталитического крекинга и каталитического риформинга, бензины коксования (для низкооктановых бензинов), алкилбензин, изопентан, толуол (для высокооктановых бензинов), бутан, бутан-бутиленовую фракцию, пентан-амиленовую фракцию и газовый бензин. Для повышения детонационной стойкости автомобильного бензина используют антидетонационные присадки, из которых самыми распространенными являются тетраэтилсвинец (ТЭС) и метилтретбутиловый эфир (МТБЭ). Используется в качестве топлива для двигателей внутреннего сгорания с искровым зажиганием.

Содержание серы в автомобильном бензине меняется от 0,005 до 0,1%. Автомобильный бензин изготовляют зимних и летних сортов, которые отличаются давлением насыщенного пара. Маркируют по октановым числам, замеренным по моторному или исследовательскому методу, или по обоим методам одновременно.

Выпускают автомобильный бензин марок А-72 (этилированный и неэтилированный, летний и зимний), А-76 (этилированный и неэтилированный, летний и зимний), А-80 (этилированный и неэтилированный), АИ-91 (неэтилированный, летний и зимний), А-92 (этилированный и неэтилированный, летний и зимний), АИ-93 (этилированный, летний и зимний), АИ-95 «Экстра» (неэтилированный летний) и АИ-95 (неэтилированный, летний и зимний).

Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем − не более 0,003%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1. Данные к задаче о смеси бензина

Характеристики компонентов	Компоненты автомобильного бензина
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,0035	0,0035	0,0030	0,0020
Запасы ресурса, т	700	600	500	300
Себестоимость, ден.ед./т	40	45	60	90

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Для решения сформулированной задачи составим ее математическую модель.

Математическая модель задачи о смесях. Для построения математической модели задачи:

1. Определим неизвестные и их количество.

Введем следующие обозначения: пусть х_j − количество в смеси компонента с номером j (j = 1,2,3,4).

2. Запишем целевую функцию.

В качестве целевой функции выступает себестоимость полученной смеси, которую необходимо минимизировать:

F(X) = 1/1000*(40*x₁ + 45*x₂ + 60*x₃ + 90*x₄ ) → min. (1)

3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.

3.1. По количеству получаемого бензина:

x₁ + x₂ + x₃ + х₄ = 1000 . (2)

3.2. По октановому числу:

(68*х1+72*х2+80*х3+90*х4)/1000≥76 . (3)

3.3. По содержанию серы:

(0,0035*х1+0,0035*х2+0,003*х3+0,002*х4)/1000≤0,003 . (4)

3.4. Условие неотрицательности рассматриваемых переменных:

х1, х2, х3, х4 ≥ 0 . (5)

Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2 − 5) образуют математическую модель задачи о смеси бензина.

Для решения задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде ЭТ MS Excel необходимо:

1. Создать таблицу для ввода условий задачи и ввести исходные данные.

2. Создать вторую таблицу, указав в ней Количество компонентов в смеси с пока нулевыми значениями

3. В ячейку С13 (рис. 1) ввести формулу целевой функции. Завершив ввод нажатием клавиши Enter, получим в ячейке С13 нулевое значение, т.к. пока равны нулю переменные х₁, х_2, х₃ и х₄.

Рис. 1. – Таблицы и формула целевой функции

4. Далее набрать таблицы ограничений и остатков ресурса (рис. 2).

Рис. 2. – Таблицы ограничений и остатков ресурса

5. Набрать команду Данные → Поиск решения. В появившемся диалоговом окне надстройки Поиск решения необходимо выполнить необходимые установки.

Рис. 3. – Установки диалоговом окне надстройки Поиск решения

6. Щелкните по кнопке «Выполнить». Если решение найдено, то появится диалоговое окно (рис. 4).

Рис. 4. – Диалоговое окно Результаты поиска решения

Щелчок по кнопке ОК позволяет сохранить найденное оптимальное решение, имеющее следующий вид (рис. 5):

Рис. 5. – Найденное оптимальное решение

Решение задачи с помощью математического пакета MathCadосуществляется аналогично. Для решения задачи в среде пакета MathCad:

1. Определим исходные данные.

2. Присвоим переменным x_j начальные (нулевые) значения.

3. Определим целевую функцию F(x1,х2,х3,х4).

4. Введем служебное слово Given и, после него, систему ограничений рассматриваемой задачи.

5. Найдем оптимальное решение с помощью встроенной функции Minimize (рис. 6).

Рис. 6. – Оптимальное решение

6. Вычислим значение минимальной себестоимости.

7. Найдем остаток каждого компонента после выполнения заданного плана выпуска бензина (рис. 7).

Рис. 7. – Значение минимальной себестоимости и остатки

Анализ полученных решений в среде электронных таблиц MS Excel и математического пакета MathCad показывает, что при плане выпуска 1 000 тонн бензина А-76 его себестоимость составит 57 тыс. руб. за тонну. При этом в полученную смесь вошли: 571 тонна компонента №1, 143 и 286 тонн компонент №3 и №4 соответственно. Компонент №2 в полученную смесь не вошел. При этом выполнены заданные показатели качества полученной смеси: октановое число составило 76, определяемые по моторному методу, а содержание серы – 0,003%.

Код для цитирования: Скопировать