X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Предложена ячеечная математическая модель теплообмена между стохастически движущимися потоками газа и сыпучего материала при распределенной по длине процесса подаче горячего газа. Модели базируются на теории цепей Маркова и позволяют численно моделировать обменные процессы без ограничений на линейность описываемых явлений. Рассмотрена задача о рациональном распределении подаваемого газа по длине теплообменного аппарата.

Необходимость моделирования теплообмена между потоком твердых частиц и потоком газа возникает при расчете процессов сушки дисперсных материалов, регенеративного теплообмена в регенераторах с подвижной гранулированной насадкой и рядя других процессов в различных отраслях промышленности. При этом достаточно часто по конструктивным соображениям газ не может подаваться в аппарат с одного из его торцов, а осуществляется распределенная по длине теплообменного аппарата подача газа, например, через перфорацию в канале для движения сыпучего материала. Особенностью этих потоков является наличие более или менее выраженной стохастической составляющей движения, приводящей к дополнительному случайному переносу массы и тепла вдоль определяющей координаты процесса. Опыт предыдущих работ по моделированию процессов в дисперсных средах, результаты которых обобщены в [1], показал, что эффективным инструментом для этой цели является математический аппарат теории цепей Маркова и связанные с ней ячеечные модели. Ниже рассмотрен ряд аспектов приложения этой теории к моделированию теплообмена в упомянутом выше процессе. Его расчетная схема и ячеечное представление показано на рис.1.

Рабочая длина теплообменника разбита на m ячеек идеального смешения длиной Δx=L/m одинакового объема ΔV=АΔx, где A – площадь поперечного сечения канала. Масса материала и газа в ячейке рассчитывается по формуле M_si=(1-ε)ρ_siΔV, M_gi=ερ_giΔV, ε – порозность материала в ячейке, ρ_si и ρ_gi – плотности материала и газа. В модели цепи ячеек для материала и для газа разнесены с учетом ε, хотя в реальном процессе они вложены друг в друга.

Текущее состояние процесса представлено распределением его параметров по ячейкам в виде векторов-столбцов температуры Т, теплоты и Q массы M, каждый из которых имеет размер mx1. Выберем продолжительность перехода между последовательными состояниями Δt настолько малым, чтобы в течение него среда и переносимая с ней теплота могли перейти только в соседние (как вперед, так и назад) ячейки, но не далее. Текущее время t_k=(k-1)Δt, где k – номер временного перехода. Кинетика процесса определяется рекуррентными матричными равенствами

M_g^k+1=P_gM_g^k+M_fg^k, (1)

Ms^k+1=PsMs^k+M_fs^k, (2)

Q_g^k+1=P_gQ_g^k+Q_fg^k -ΔQ_gs^k, (3)

Qs^k+1=PsQs^k+Q_sg^k +ΔQ_gs^k, (4)

где движение массы и теплоты вдоль цепей контролируется переходными матрицами P_gиPs и векторами внешних источников M_fg^k, Q_fg^kи M_fs^k, Q_sg^k, а теплообмен между цепями – вектором передаваемой за переход теплоты от газа к сыпучему материалу ΔQ_gs^k.

Подача материала всегда локализована на входе, а его векторы источников имеют единственный ненулевой элемент для первой ячейки M_fs1^k=Gs₀Δt, Q_fs1^k=csTs₀Gs₀Δt, где Gs₀ – массовый расход сыпучего материала, cs, Ts₀ – его теплоемкость и температура на входе. При распределенной подаче газа его суммарный расход G_g0 распределен между ячейками в виде расходов g_gi (G_g0=Σg_gi) и представляет собой вектор g_g. Тогда при прямотоке (показан на рис.1) вектор расходов газа через ячейки цепи для газа рассчитывается как G_g=cumsum(g_g), где cumsum – оператор кумулятивной суммы для вектора.

Структура переходных матриц имеет вид

, (5)

где d=DΔt/Δx² – вероятность чисто случайных (симметричных) переходов, D – коэффициент макродиффузии, v=WΔt/Δx – вероятность конвективного переноса, W – осредненная скорость продольного движения. Для сыпучего материала vs постоянна, а для газа с распределенной подачей определяется по формуле

v_g=G_gΔt./M_g, (6)

где ./ - оператор поэлементного деления векторов.

Вектор теплообмена между ячейками параллельных цепей рассчитывается как

(7)

где α_с^k и α_r^k – векторы коэффициентов конвективной и радиационной теплоотдачи в ячейках, S – поверхность теплообмена в ячейке, зависящая от крупности частиц сыпучего материала.

Рассчитываемые на каждом переходе температуры сред связаны с теплотой и массой формулой

T^k=Q^k./(cM^k). (8)

Формулы (1)-(8) полностью описывают кинетику теплообмена, начиная с подачи горячего газа с заданным распределением его по ячейкам, при известном начальном распределении по ячейкам температур в средах.

Некоторые результаты численных экспериментов с разработанной моделью показаны на рис.2-4. Рис.2 иллюстрирует установившееся распределение температур в средах при прямоточном теплообмене с различным распределением подаваемого газа с температурой 1000^оС по длине аппарата: 1 – подача газа на вход аппарата, 2 – распределенная убывающая по длине подача, 3 – равномерно распределенная по длине подача.

Локализованная подача газа в первую ячейку дает распределение температур, типичное для прямоточного теплообмена. При любой распределенной подаче расход газа через первые ячейки мал, а время пребывания в них относительно велико. Поэтому газ сильно охлаждается, но мало прогревает материал. По мере подачи газа с исходной температурой в последующие ячейки ситуация выправляется, и на выходе температура газа и материала не очень существенно различаются для разных программ подачи газа. Тем не менее, наилучшей остается подача газа в первую ячейку.

На рис.3 показана эволюция температур сред, начиная с холодного состояния. Это график показывает, что модель может описывать и переходный процесс в аппарате, что важно при моделировании регенеративного теплообмена.

Переход от прямотока к противотоку требует очень незначительных изменений в модели. Во-первых, вектор источников для газа записывается с последней, а не с первой ячейки, а во-вторых, в переходных матрицах (5) следует поменять местами диагонали, примыкающие к главной. Пример моделирования противоточного теплообмена показан на рис.4, где проявляется та же специфика распределенной подачи, что и при прямоточном теплообмене.

Таким образом, предложенная ячеечная модель позволяет рассчитывать все технологически важные характеристики рассматриваемого процесса и вырабатывать рекомендации по его рациональной организации.

ЛИТЕРАТУРА

Berthiaux H., Mizonov V. Applications of Markov Chains in Particulate Process Engineering: A Review. The Canadian Journal of Chemical Engineering. V.85, No.6, 2004, pp.1143-1168.

Balagurov I., Mizonov V., Yelin N. A Markov chain model of mixing kinetics for ternary mixture of segregating particulate solids.// Proc. of The 8th International Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids. Tel-Aviv, Israel, May 2015.

Vadim Mizonov, Nikolay Yelin, Andrey Kotkov, Sergei Fedosov. Theoretical study of sheet construction materials drying with reversible supply of drying gas.// JP Journal of Heat and Mass Transfer, Volume 14, Number 3, 2017, Pages 411-420.

Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Елин Н.Н. Моделирование, оптимизация и расчет тепловых процессов (Опыт использования ячеечных моделей). - Иваново: ИГХТУ, 2012. – 200 с.

Код для цитирования: Скопировать