X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение. Наряду с колебательными системами, в которых энергия с течением времени может только уменьшаться из-за диссипации, существуют и такие, в которых возможно пополнение энергии колебаний за счет неустойчивостей. Это может иметь место, когда система в состоянии обмениваться с окружающей средой энергией или веществом, т.е. является энергетически открытой [3].

В открытых системах возникают автоколебания. Это незатухающие колебания в нелинейных диссипативных системах, характеристики которых – амплитуда, частота, форма колебаний определяются параметрами самой системы и не зависят от конкретных начальных условий.

В общих чертах понять природу этого явления – режима автоколебаний можно с помощью качественных соображений.

С течением времени фазовые траектории системы автоколебаний стремятся к некоторому притягивающему множеству – аттрактору. В случае периодических автоколебаний в фазовом пространстве системы наблюдаются устойчивые предельные циклы.

Осциллятор Ван дер Поля: условия устойчивости состояния равновесия. Основной математической моделью при исследовании периодических автоколебательных систем является уравнение осциллятора Ван дер Поля:

(1)

где - динамическая переменная, - постоянная величина, управляющая возбуждением автоколебаний. Рассмотрим случай мягкого самовозбуждения системы, когда после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия наблюдаются колебания с малыми амплитудами. Пока колебания малы и выполняется неравенство , второе слагаемое уравнения Ван дер Поля будет оказывать дестабилизирующее действие, и колебания будут возрастать. Но с их увеличением указанное неравенство станет нарушаться и коэффициент при будет положительным в тех интервалах времени, в которых . B этих интервалах времени второе слагаемое уравнения будет оказывать демпфирующее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфирующее действие будет увеличиваться, и движение системы станет приближаться к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего и демпфирующего влияний [5]. Движение системы будет стремиться к режиму автоколебаний, которому соответствует постоянное значение амплитуды (рис.1).

При определении условий возникновения автоколебаний важно знать, какие состояния равновесия существуют в системе, и как меняется характер их устойчивости в

зависимости от управляющих параметров [3].

Для нахождения точек равновесия и определения характера их устойчивости в осцилляторе Ван дер Поля, обычно рассматривается уравнение (1) в виде

,

или, по-другому, в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Для нахождения особых точек – положений равновесия решается система уравнений

Система имеет только тривиальное решение – единственную точку покоя .

Для определения устойчивости состояния равновесия рассматривают линеаризованную систему в окрестности точки . Матрицу линеаризации системы вычисляют по формуле

.

Для анализа поведения фазовых траекторий в локальной окрестности состояния равновесия учитываются собственные значения матрицы линеаризации [3,4]:

1. Если , тогда собственные значения матрицы - отрицательные действительные числа. Состояние равновесия представляет собой устойчивый узел.

2. Если , тогда собственные значения матрицы - комплексно-сопряженные числа с отрицательной действительной частью. Состояние равновесия - устойчивый фокус.

3. Если , тогда собственные значения матрицы - комплексно-сопряженные числа с положительной действительной частью. Состояние равновесия является неустойчивым фокусом.

4. Если , тогда собственные значения являются действительными положительными

числами. Состояние равновесия представляет собой неустойчивый узел.

Численное моделирование. Описанное поведение фазовых траекторий осциллятора Ван дер Поля относительно состояния равновесия проиллюстрированы с использованием численного моделирования. На рисунках представлены фазовые портреты и формы колебаний динамических переменных осциллятора.

Для случая мы действительно наблюдаем, что начало координат является особой точкой типа устойчивый узел (рис.2).

 

Рис. 2. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

 

На рис. 3 при фазовая траектория представляет собой спираль, скручивающуюся к точке - устойчивому фокусу.

 

Рис. 3. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

 

Е сли , то состояние равновесия в начале координат теряет свою устойчивость (рис.4, 5).

 

Рис. 4. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

 

Замкнутые кривые, к которым неограниченно приближаются все фазовые траектории,

описывают стационарные режимы автоколебаний и являются устойчивыми предельными

циклами. Их областью притяжения служит вся фазовая плоскость.

П ри малых положительных предельный цикл имеет форму близкую к эллипсу. Форма автоколебаний будет близка к гармонической (рис.4). При увеличении предельный цикл меняет свою геометрию, искажается. Форма автоколебаний будет иметь релаксационный вид (рис.5). При меняется и характер состояния равновесия : неустойчивый фокус переходит в неустойчивый узел.

 

Рис. 5. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

 

Заключение. В работе было проведено качественное исследование решений уравнения Ван дер Поля, описывающих переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому предельному циклу. Генератор Ван дер Поля является достаточно простой и общей моделью периодических автоколебаний. Наиболее частое применение это уравнение находит в радиофизике при построении автогенератора электромагнитных колебаний [3]. Современная теория синтеза структуры нелинейной колебательной системы для получения устойчивых предельных циклов развивается в направлении усложнения геометрии циклов и увеличения их числа (многоканальные системы). Задача создания методов синтеза автоколебательных режимов для многомерных систем остается актуальной. [1,2].

Список литературы:

Горобцов, А.С. Многофункциональные генераторы автоколебаний / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Известия ВолгГТУ. – 2011. – вып. 11, № 9. – C. 19-22.

Горобцов, А.С Детектирование колебаний, близких к разрывным / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Биомедицинская радиоэлектроника.-2009. - № 8. - C. 32-34.

3. Кузнецов, А.П. Нелинейные колебания / А.П. Кузнецов, C.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. – М.: Изд. – во Физматлит, 2005. – 290 с.

4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.:Изд. – во Едиториал УРСС , 2004. – 552с.

5. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний/ Я. Г. Пановко. – М.: Наука, 1991. – 246 с.

Код для цитирования: Скопировать