Главный труд Паппа — трактат «Математическое собрание» в восьми книгах, который дошёл до нас не полностью. Это сочинение представляет собой учебное руководство для изучающих греческую геометрию — с комментариями, историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств, а также с некоторыми собственными результатами автора. В частности, в трактате содержатся работы Автолика из Питаны, Менелая Александрийского, Феодосия, ряд задач о пропорциональности, описание способов вписания пяти правильных многогранников в сферу, сведения о спирали Архимеда и конхоиде Никомеда, об изопериметрических фигурах, работы по механике Архимеда, Филона Византийского, Герона Александрийского, определение конических сечений при помощи директрисы и другие задачи. Здесь же приведена теорема Паппа.
Две первые книги трактата до нас не дошли. Пропавшие книги содержали, по-видимому, обзор древнегреческой арифметики (на это указывают сохранившиеся отрывки — в частности, отрывок, посвящённый методу умножения Аполлония) [2].
В третьей книге излагается история решения задач удвоении куба и трисекции угла (Папп даёт и своё решение первой из них, которое сводится к построению двух средних геометрических между двумя данными отрезками по способам Эратосфена, Никомеда, Герона и самого Паппа). В ней излагается также учение о средних, начиная с построения на одном чертеже арифметического, геометрического и гармонического средних; находится отношение суммы двух отрезков, проведённых от точки внутри треугольника к двум точкам его стороны, к сумме двух других сторон; рассматривается построение пяти правильных многогранников, вписанных в шар. В четвёртую книгу вошли задачи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и поверхностей; рассматриваются учение о секущих круга, спирали Архимеда, конхоида Никомеда и квадратриса Динострата.
В пятой книге первую её половину составляет изложение учения Зенодора об изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей (здесь, в частности, Папп приводит утверждение о том, что круг имеет бóльшую площадь, чем любой правильный многоугольник того же периметра), а вторую половину — учение о правильных телах [2].
В шестой книге, посвящённой астрономии, разрешаются затруднения, встречаемые в «Малом астрономе» — собрании сочинений для изучения «Альмагеста» Птолемея, куда входили «Сферика» Феодосия, трактат «О вращающейся сфере» Автолика из Питаны, сочинение «О величинах и расстояниях» Аристарха Самосского (где даются оценки расстояниям до Солнца и Луны), «Оптика» и «Феномены» Евклида [2].
В седьмой книге представлены вспомогательные предложения, необходимые для решения задач на построение (Папп рассматривает в этой связи «Данные», «Поризмы», «Места на поверхности», «Плоские места», «Конические сечения» Евклида, «Отсечение отношения», «Отсечение площади», «Определённое сечение», «Вставки», «Касания», «Плоские места» Аполлония, «Телесные места» Аристея, «Средние величины» Эратосфена), и разъясняются на примерах методы анализа и синтеза, развитые древнегреческими учёными.Затем рассматривается задача Паппа: в ней для n прямых на плоскости требуется найти геометрическое место таких точек, для которых произведение длин отрезков, проведённых из этих точек к n/2 данных прямых под одинаковыми углами, имеет заданное отношение к аналогичному произведению длин отрезков, проведённых к оставшимся прямым; для значительной части случаев Папп доказал, что искомое геометрическое место является коническим сечением. А также в этой книге формулируются и теоремы, ныне известные как теоремы Паппа — Гульдина. Оставшуюся часть седьмой книги занимают комментарии к работам Аполлония о трансверсалях и ангармоническом отношении.
Восьмая книга «Математического собрания» представляет собой компиляцию разнородных сведений и собственных исследований Паппа, имеющих отношение к механике. В ней попали, в частности, некоторые теоремы метрической геометрии, которые имеют более или менее далёкое отношение к расчётам размеров колонн и к расчётам размеров и расположения зубьев в зубчатых колёсах. В книгу включены также описания устройства грузоподъёмных машин и некоторые сведения из геометрической статики (в основном, касающиеся нахождения центров тяжести геометрических фигур, а также равновесию груза на наклонной плоскости) [4]. Среди теорем, помещённых в восьмой книге, имеется, в частности, такая кинематическая теорема: при одновременном движении трёх материальных точек, находившихся в начальный момент времени в вершинах некоторого треугольника, по сторонам треугольника со скоростями, пропорциональными длинам этих сторон, то положение центра тяжести данных точек остаётся неизменным. Здесь же рассматривается изобретённый Архимедом и описанный Героном Александрийским передаточный механизм из зубчатых колёс, позволяющий приводить в движение данную тяжесть данной силой.
Помимо того Папп написал и ряд других трудов, в частности, трактат «Хронография математики», в котором положил начало алгебраическим знакам, что было немаловажным достижением, если учитывать те трудности, которые возникали при письменной передаче математических достижений. К сожалению труды эти были безвозвратно утеряны.
Высокий уровень произведений обусловил интерес к их автору. Многие леммы Паппа содержат идеи уже настоящей проективной геометрии . И когда спустя много веков люди это осознали, Папп был назван последним великим геометром древности.
Но помимо достижений в геометрии ПаппАлександрийский достиг достаточно высокого уровня и в разработке практического применения интегрального исчисления. Несколько важнейших теорем высшей математики были сформулированы им, а через много веков над ними работал Гульден. Теперь они известны как 1-я и 2-я теоремы Паппа-Гульдена.
1-я теорема Паппа-Гульден
Ордината центра тяжести дуги плоской кривой:
где - длина дуги кривой.
Преобразуем:
, (1)
Площадь поверхности тела вращения:
или, (2)
Сравнивая уравнения (1) и (2) получаем (если правые части уравнений равны, то равны и левые части):
, (3)
Полученное выражение (3) составляет содержание 1-й Теоремы Паппа-Гульдена:
Площадь поверхности тела вращения равна произведению длины окружности, описываемой центром тяжести кривой, на длину этой кривой.
2-я теорема Паппа-Гульдена
Ордината центра тяжести плоской фигуры:
где - площадь фигуры или
, (4)
Объем тела вращения:
или
, (5)
Сравнивая уравнения (4) и (5) получаем:
или
, (6)
Полученное выражение (6) составляет содержание 2-й Теоремы Паппа-Гульдена:
Объем тела вращения равен произведению длины окружности, описываемой центром тяжести фигуры на ее площадь.
Эти теоремы используют в инженерной практике, особенно, если кривая или фигура сложной формы. При этом центр тяжести кривой или фигуры (точнее, их моделей, выполненных из однородного материала) определяют экспериментально с помощью двух подвесов: модель подвешивают за две разные точки ее периметра и находят пересечение двух вертикальных линий, проходящих через точки подвеса. Это и есть центр тяжести. Длина дуги или площадь фигуры определяется путем взвешивания моделей и сравнивания их массы с массой эталона.
Список используемых источников
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика древнего Египта, Вавилона и Греции. / Б.Л. Ван-дер-Варден. - М.: Госиздат, 1959. – 459 с.
Крыситский, В. Шеренга великих математиков. / В. Крыситский. - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981.- С.31-34.
Казакова, Е.И. Интегрирование. Учебное пособие. / Е.И. Казакова. – Донецк,: ДГТУ, 1999.-58 с.
Пак, В.В. Высшая математика: Учебник. / В.В.Пак, Ю.Л. Носенко -Д.:Сталкер, 1997.-560с.
Рыбников, К. А. История математики. / К.А. Рыбников. - 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. — 456 с.