X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Никола Бурбаки – это псевдоним группы французских арифметиков, которая была создана в 1935 году.

Целью группы являлось написание книг, посвященных состоянию современной математики. Эти книги дают замкнутое изложение математики на основе теории множеств Цермело-Френкеля [10].

Основателями группы являются: Анри Картан, Клод Шевалле, Жан Дельсарт, Жан Дьёдонне, Рене де Поссель, Шолем Мандельбройт, Андре Вейль. Кроме указанных людей в работе группы участвовали многие выдающиеся математики. Однако, точный состав и численность не были известны.

Группа Бурбаки официально называется Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki. Одна из причин выбора псевдонима «Бурбаки» был розыгрыш, который прошел в Высшей Нормальной школе в 1923 году: Рауль Юссон, который являлся в то время студентом третьего курса, разыграл первокурсников, собрав их от имени «профессора Холмгрена» и прочитав запутанную лекцию, финалом которой было доказательство «теоремы Николы Бурбаки» (которая на самом деле не существовала). Эта история стала легендой среди студентов [7]. Одним из условий членства в группе был возраст, который не должен был превышать 50 лет. Можно было быть исключенным и ранее, если участники считали, исключаемый перестал быть творчески работающим математиком. Влияние Бурбаки на мировую математику было огромным во Франции, Бельгии, Швейцарии, Италии, Латинской Америке, США, менее значительным в Англии и Германии. А в СССР к группе относились скорее скептически.

В трактат входят такие книги, как: Теория множеств, Алгебра, Топология, Функции действительного применения, Топологические векторные пространства, Интегрирование, Коммуникативная алгебра, Группы и алгебры Ли, Спектральная теория, Алгебраическая топология.

В книгах Бурбаки были впервые введены символ для пустого множества Ø; символы N, Z, Q, R, C {displaystyle mathbb {N} ,mathbb {Z} ,mathbb {Q} ,mathbb {R} ,mathbb {C} } для множеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно; термины инъекция, сюръекция и биекция; знак «опасный поворот» на полях книги, показывающий, что данное место в доказательстве или определении может быть неправильно понято. Когда упоминается имя Бурбаки, чаще всего делается отсылка к стилю его трактата, который может быть описан несколькими словами: абстрактность, формализация, систематичность, догматизм [3], [5].

Формализованный подход к математике как путь к упорядочению всего её богатого наследия стал особенно актуален в конце XIX века с появлением ряда парадоксов в самых её. Одним из основоположников формалистического подхода является Давид Гильберт, воплотивший этот подход, в частности, в своей работе «Основания геометрии». Преимущество такого подхода становится ясным, если вспомнить другую работу, взявшую аксиоматический метод за основу: «Начала» Евклида, к которым явно отсылает название трактата Бурбаки. О том, какую роль сыграла книга древ- него грека в математике и почему это стало возможным, сказано немало; можно обратиться, например, к статье, которая, несмотря на своё название, посвящена в основном Бурбаки: «Отсутствие излишеств, стройность, четкость, доказательность и последовательность изложения стимулируют, организуют и дисциплинируют разум и мысль, раскрывая внутреннюю красоту и гармонию математики» [10]. Именно максимально обезличенный, лишенный примет времени стиль «Начал» Евклида составляет их особую ценность, позволяя нам легко понять написаное спустя многие века». Упомянутые качества, по всей видимости, были одной из целей Бурбаки. Сильные стороны трактата, такие как последовательное изложение обширного фундамента современной Бурбаки математики и строгий стиль, в своих край- них формах становятся его слабостями: большим количеством ссылок, изрядной сухостью. Максимально стройная последовательность изложения имеет также и чисто психологические трудности для читателя: «...полезность некоторых рассмотрений будет обнаружена читателем, лишь если он уже обладает весьма обширными знаниями или же если он будет иметь терпение отложить своё суждение до тех пор, когда ему представится случай убедиться в этой полезности» [11].

Другой, более объективный недостаток трактата, который признавался впоследствии самими авторами, — его неполнота относительно поставленной задачи. Сама задача декларировалась, в частности, в той же самой первой книге «Начал» [11]: «Принятый способ изложения является аксиоматическим и абстрактным; чаще всего происходит переход от общего к частному. Выбор такого метода вызван главной целью этого Трактата, состоящей в том, чтобы дать прочные основания всей современной математике в целом». Однако такие разделы, как, к примеру, уравнения в частных производных или теория чисел остались за пределами работы. Кроме того, если говорить об ориентации на наиболее полное использование аксиоматического метода, кажется странным полное игнорирование Бурбаки фундаментальных результатов Курта Гёделя о неполноте и неразрешимости. Гёдель, как и Бурбаки, являлся наследником Гильберта, также, как и французский коллега, работавшим над воплощением знаменитой «программы Гильберта»: было бы, по меньшей мере интересно, услышать комментарий Бурбаки к этой работе [12].

Указанные слабости, а верней, их влияние на математику и её преподавание, неоднократно и жёстко критиковались [13]. Кажется более или мене очевидным, что время Бурбаки ушло и можно констатировать его «смерть» [3] или, по крайней мере, «выход на пенсию» [7]. Однако необходимо по достоинству оценить тот огромный вклад, который внес Бурбаки в математику [4]: «Один из самых влиятельных математиков XX века» — так охарактеризовал его другой замечательный математик П.Р. Халмош.

Наследие Бурбаки Математика за XX век сильно изменила своё лицо. Насколько повлияла на это деятельность Бурбаки? Во многом его подход оказался несовершенным, не достаточно гибким, однако некоторые из принципов отразили тенденции века. Картан утверждает, что изначальный посыл к использованию аксиоматического метода привёл к отказу от традиционного деления математики на анализ, геометрию, теорию чисел и алгебру — на этом пути сильно помогло упоминавшееся понятие «математической структуры» [14]. И действительно, важнейшие вопросы математики, решавшиеся в XX веке редко являются «собственностью» какого-либо одного её раздела: это касается как целых направлений, таких как алгебраическая геометрия (в её изложении Гротендиком и его школой, то есть теория схем), математическая физика, так и более частных теорий, таких как K-теория, алгебры Ли и группы Ли.

Трактат Бурбаки признаётся частью математиков хорошим справочником, который может быть использован квалифицированным математиком при уточнении каких-либо вопросов, необходимых для занятия современными дисциплинами, требующими более универсальной, чем когда-либо, подготовки. Менее очевидным является роль Бурбаки в упорядочении терминологии: конечно, эта роль не была решающей, но её стоит признать значительной. По описанию Картана, в начале века в вопросах терминологии царила изрядная доля хаоса. Это касалось как французской математической литературы, так и мировой. К примеру, путались понятия шара и сферы, покрытия и накрытия топологического (во французском вообще существовало одно слово и Бурбаки пришлось придумать второе); наконец, Бурбаки, вероятно, первым решил заменить название бикомпактного пространства, использовавшееся в классических книгах по топологии Фреше, Александрова и Хопфа, на «компактное пространство», которое является сегодня общепринятым.

Можно задуматься и над влиянием группы Бурбаки на самих её участников: ведь в их число входили выдающиеся математики XX века, которые внесли в науку вполне ощутимый индивидуальный вклад. Помимо своих научных достижений, они оставили в наследство блестящие учебники и монографии: Анри Картан – «Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы», «Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных», Жан-Пьера Серр — «Курс арифметики», «Алгебры Ли и группы Ли», Клод Шевалле — «Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной», «Теория групп Ли» в трёх томах, Майкл Атья — «Лекции по K-теории», «Введение в коммутативную алгебру». Вряд ли эти труды приняли бы свою нынешнюю форму без участия их авторов в наиболее амбициозном математическом проекте века [5].

Сложно оценивать, насколько благотворным или губительным оказалось влияние Бурбаки на математику двадцатого века: для этого, наверняка, нужно понимать эту науку весьма глубоко. Не вынося каких-либо оценочных суждений, хочется зафиксировать лишь то, что сам факт влияния не вызывает сомнений, похоже, ни у кого. В противоположность мнению об отношении к Бурбаки в нашей 18 стране, приведённому в предыдущем разделе, процитируем в конце высказывание одного из выдающихся русских математиков Алексея Андреевича Ляпунова: Можно сказать, не боясь преувеличений, что Бурбаки представляет собой наиболее значительное явление в современной математике. Деятельность этого коллектива принесла чрезвычайно существенные плоды в таких разнообразных областях математики, как топология, топологическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория функций многих комплексных переменных, теория алгебраических чисел, функциональный анализ.

Наконец, та система математики, которую разрабатывают Бурбаки и их приверженцы, находит всё большее число сторонников среди математиков всего мира и оказывает всё большее влияние на современную науку [2].

Список используемых источников

Официальная страница Ассоциации Бурбаки (фр.) [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.bourbaki.ens.fr/

Ляпунов А.А. О фундаменте и стиле современной математики (По поводу статьи Н. Бурбаки) // Мат. просвещение, 1960, - вып. 5.- С. 113–116.

Сосинский А.Б. Умер ли Никола Бурбаки? // Мат. Просвещение, 1998, - № 2. - С. 4–12.

Халмош П.Р. Николай Бурбаки // Мат. просвещение, 1960, - вып. 5. – С. 229–240.

Baulieu L. A Parisian cafe and ten proto-Bourbaki meetings // The Mathematical Intelligencer, 1993, - Vol. 15, No. 1. – P. 27–35.

Cartan H. Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics // The Mathematical Intelligencer, 1979–80, Vol. 2, No. 4. – P. 175–180.

Senechal M. The Continuing Silence of Bourbaki — An Interview with Pierre Cartier, June 18, 1997 // Mathematical Intelligencer, 1998, - Vol. 20, No. 1, Winter. – P. 22–28.

В. И. Арнольд Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН. — 2002. — Т. 72. — № 3. — С. 245-250.

Бурбаки // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004

Кутателадзе С.С. Апология Евклида // Владикавказский мат. журнал, 2006, - т 8, вып. 2. – С. 61–63.

Бурбаки Н. Начала математики, часть первая Основные структуры анализа, книга первая Теория множеств. — М.: Мир, 1965.

Mathias A. R. D. The Ignorance of Bourbaki // The Mathematical Intelligencer, 1992, - Vol. 14, No. 3. – P. 4–13.

Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН, 2002, - т. 72, № 3. – С. 245-250.

Cartan H. Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics // The Mathematical Intelligencer, 1979–80, - Vol. 2, No. 4. – P. 175–180.

Код для цитирования: Скопировать