X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Термин «трапеция» впервые встречается в работах времен Древней Греции и в переводе с греческого означает «столик». Именно за таким столиком (в виде трапеции) вкушали пищу монахи византийских монастырей – этот процесс начался называться «трапезой». Евклид в своей работе отмечал определения таких четырехугольников, как: квадрат, ромб и ромбоид; а все остальные фигуры называл трапециями [6]. То есть, в его понимании трапеция – это любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем понимании встречается только в работах древнегреческого математика Посидония. До XVIII века трапецию изучали только по работам Евклида, а позднее данный термин приобрел современный смысл.

С.И. Ожегов определяет это понятие как четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами.

Понятие трапеции развивается в планиметрии как отдельная фигура, в стереометрии как грань усеченного геометрического тела, в высшей математике можно рассчитать площадь криволинейной трапеции. Это действие происходит путем вычисления определенного интеграла. Определенным интегралом называют конечный предел суммы в промежутке от до [15]:

Задачи на трапецию в повседневной жизни используются многими. Изучение свойств трапеции необходимо, так как они применяются в живописи, быту, строительстве, архитектуре, технике. Также задачи на данную фигуру встречаются в ОГЭ в 9 классе и далее в ЕГЭ в 11 классе. В 9 задании ОГЭ четверть заданий посвящена решению задач на свойства трапеции. В ЕГЭ различные задачи на трапецию встречаются в 5-6 заданиях. Отсюда и возникает потребность в изучении школьниками свойств трапеции.

Изучению понятия трапеции, ее свойств и приложений к решению задач посвящена данная работа по теме «Трапеция и ее свойства».

Объект исследования: геометрические фигуры.

Предмет исследования: методы и приемы решения задач по теме «Трапеция и ее свойства».

Цель исследования: систематизация теоретического материала по теме «Трапеция и ее свойства» и его применение к решению задач.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список использованной литературы включает 19 наименований.

Результаты курсовой работы были апробированы на IV внутривузовской студенческой научно-практической конференция «Молодежь в мире науки» в СурГПУ и на XXI студенческой научно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» в СурГПУ.

I. Теоретическая часть

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Рассматриваемая нами фигура трапеция относится к данному разделу. В учебниках и учебных пособиях разных авторов трактуется определение трапеции практически одинаково, т.е. это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет (, рис. 1) [2], [12], [16]. Однако М.Я. Выгодский утверждает, что параллелограмм можно считать частным случаем трапеции [2]. Треугольник является предельным случаем («вырождением») трапеции, когда одно из оснований обращается в точку. В вырожденной трапеции сохраняются ее свойства.

Рис. 1

Рассмотрим основные понятия, связанные с трапецией.

Параллельные стороны , трапеции называются основаниями, а непараллельные , боковыми сторонами.

Отрезок перпендикуляра к основаниям трапеции , заключенный между основаниями трапеции, называется высотой трапеции.

Существует следующая классификация трапеций:

произвольная;

равнобокая (равнобедренная), боковые стороны которой равны;

прямоугольная, у которой один угол прямой.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции ( на рис. 1). Средняя линия делит высоту трапеции пополам.

Теорема 1.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

Отсюда и вытекает следствие 1, что прямая, проходящая через середину боковой стороны трапеции, параллельная основаниям, делит вторую боковую сторону пополам.

Существует свойство, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Из этой теоремы вытекает ряд следствий:

сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180;

в равнобедренной трапеции диагонали равны;

перпендикуляр, восставленный из середины одного из оснований равнобедренной трапеции, является ее осью симметрии и, следовательно, делит пополам другое основание.

Формулы для вычисления площади трапеции.

Площадь трапеции с основаниями , и высотой вычисляется по формуле (рис. 2)

Рис. 2

Следствие 5. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Это следует из того, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Рассмотрим дополнительные формулы для вычисления площади трапеции :

Если мы выразим высоту через стороны трапеции – основания , и боковые стороны , . Так, площадь трапеции можно найти по следующей формуле:

.

Доказательство. Проведем перпендикуляры на основание и на основание . Пусть высоты , , (рис. 3).

Рис. 3

Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений и решим ее, выразив при этом :

Следовательно, .

ч.т.д.

2) В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии трапеции и площадь такой трапеции равна квадрату средней линии:

.

Рис. 4

Доказательство. Пусть – точка пересечения диагоналей, и (рис. 4). Начертим и . Тогда – параллелограмм ( и ). Следовательно, , и .

Рассмотрим : (как соответственные углы при и секущей ), (по построению), то есть – прямоугольный и равнобедренный, следовательно, – является и медианой данного треугольника и .

А площадь данной трапеции равна: .

ч.т.д.

3) Также, для трапеции подходит универсальная формула нахождения площади четырехугольника через ее диагонали:

Доказательство. В соответствии с рисунком 5, справедливо следующее равенство: . Как мы знаем, площадь произвольного треугольника вычисляется по формуле: (где – стороны треугольника, – угол между ними).

Тогда,

ч.т.д.

Рис. 5

4) Следующая формула нахождения площади трапеции будет связана с параллелограммом Вариньона, и она звучит так: площадь трапеции равна удвоенной площади параллелограмма Вариньона.

Рис. 6

Доказательство. Площадь параллелограмма Вариньона находится по следующей формуле: , где (рис. 6).

Поскольку , то и .

ч.т.д.

В трапеции существуют средние величины. Средняя линия трапеции является средним арифметическим оснований. В элементраной метаматематике используются среднее геометрическое и среднее гармоническое оснований, которые величины представляют определенный интерес при решении геометрических задач.

Рассмотрим задачи на использование этих величин.

Средним геометрическим двух оснований трапеции будет являться:

Общее основание двух подобных трапеций.Если трапеции с общим основанием подобны, то их общее основание является средним геометрическим двух других оснований трапеции.

 

Дано: , – трапеции;

– общее основание;

, , .

Доказать: .

 

Рис. 7

Доказательство. Если , и (рис. 7). Тогда найдем коэффициент подобия трапеций и : или , отсюда .

ч.т.д.

2) Высота равнобедренной трапеции, описанной около окружности.

 

Дано: – трапеция;

, , ;

– вписанная окружность.

Доказать: .

 

Рис. 8.

Доказательство. Пусть - равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность (рис. 8). Проведем . Положим , и Следовательно, , а .

Из : .

Следовательно, .

ч.т.д.

Среднее гармоническое двух оснований трапеции является значение выражения и в трапеции оно выражается следующим образом:

Высота прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна среднему гармоническому оснований.

 

Дано: – трапеция;

– высота;

– вписанная окружность.

Доказать: .

 

Рис. 9

Доказательство. Пусть в описанной трапеции (рис. 9) , , , . Имеем: , а из : , отсюда .

ч.т.д.

2) Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен среднему гармоническому оснований.

Дано: – трапеция;

, – диагонали;

, .

Доказать: .

 

Рис. 10

Доказательство. Пусть в трапеции диагонали пересекаются в точке , и пересекает точку (рис. 10). Рассмотрим пару треугольников и - они подобны по первому признаку подобия треугольников ( - как вертикальные, – как накрест лежащие при и секущей ). Коэффициент подобия данных треугольников равен - . (1)

Рассмотрим вторую пару треугольников и - они подобны по первому признаку подобия треугольников ( - общий, – как соответственные и секущей ). Коэффициент подобия данных треугольников: . (2)

Так как , то равенство (2) запишется так:

.

Используя результаты равенства (1), получим:

.

Таким образом , отсюда .

Проделав аналогичную работу с треугольниками и , мы получим . Отсюда, .

ч.т.д.

Рассмотрим связь между трапецией и окружностью. Окружность может быть либо вписанная в трапецию, либо быть описанной. Однако не около любой трапеции можно описать окружность. Окружность описать можно только лишь около равнобедренной трапеции, так как сумма противоположных углов четырехугольника составляет 180 [2]. Отсюда вытекает следствие 6, что если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной.

Трапеция вписанная. Радиус описанной около трапеции окружности можно найти из следствия теоремы синусов. Из треугольника (рис. 11) имеем:

Рис. 11

Теорема 2 (Птолемея). Произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (рис. 11):

Трапеция описанная. В трапецию можно вписать окружность, только тогда, когда сумма противоположных сторон будет равна (по свойству вписанной окружности в четырехугольник):

Рис. 12

В такой описанной трапеции высота равна двум радиусам окружности . То есть, , где и .

Также, боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Теорема 3. В трапеции проведена прямая параллельно основаниям. Если в образовавшиеся трапеции можно вписать окружности, то трапеции подобны.

Доказательство. Пусть – отрезок прямой, параллельный основаниям трапеции (рис. 13). Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке . Треугольники , и подобны. Обозначим радиусы окружностей, вписанных в трапеции и как и , соответственно. Для треугольников и они являются вневписанными. Обозначим , , . Из подобия треугольников и : (3)

Из подобия треугольников и : (4)

Разделив почленно равенства (3) и (4), получим: , , . Следовательно, .

ч.т.д.

Рис. 13

В данной главе мы рассмотрели основные теоретические положения по теме «Трапеция и ее свойства». Дано определение трапеции, установлено, что данная геометрическая фигура разделяется на 3 вида: произвольная, равнобедренная и прямоугольная. Мы вывели формулы, связанные с вычислением основных элементов в трапеции любого вида. Также рассматривался вопрос вычисления площадей через стороны трапеции, через квадрат среднего арифметического двух оснований равнобедренной трапеции, универсальную формулу для вычисления площади четырехугольника с помощью диагоналей и через площадь параллелограмма Вариньона.

Рассмотрению методов решения геометрических задач по данной теме будет посвящена практическая часть курсовой работы.

II. Практическая часть

В теоретической части курсовой работы были представлены основные теоретические сведения, которые нам понадобятся в решении геометрических задач.

Рассмотрим методы решения геометрических задач, с помощью которых можно решать задачи на тему «Трапеция и ее свойства».

Для того чтобы можно было легко решить задачу на «трапецию», обычно разбивают трапецию на более простые геометрические фигуры – треугольники.

Метод дополнительного построения. Всякое решение геометрической задачи начинается с выполнения чертежа. Но иногда не всегда можно увидеть связи между данными величинами, а если достроить фигуру, то эти связи становятся очевидными.

Выделяют большое множество дополнительных построений, но в нашей работе мы будем пользоваться следующими дополнительными построениями:

опускание высот из концов одного основания на другое;

проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину;

проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковых сторонам;

продолжение боковых сторон трапеции до пересечения;

проведение через одну из вершин трапеции прямой, параллельной диагонали.

Дополнительные построения чаще всего используются для того, чтобы свести задачу к ранее решенной задаче или более простой задаче.

Задача 1. В трапеции средняя линия равна 7, высота – , а угол между диагоналями против оснований равен . Найти диагонали трапеции.

 

Дано: – трапеция;

.

Найти: , .

 

Рис. 14

Решение.

По условию задачи: – средняя линия трапеции, тогда .

Рассмотрим : .

Дополнительное построение: , . Следовательно, – параллелограмм ( – по условию, – по построению).

Тогда , и (при и секущей ).

Пусть , . И из имеем: (по теореме косинусов).

, откуда .

Составим систему уравнений:

.

Решая данную систему уравнений, мы получаем корни и .

Следовательно, , или , .

Ответ: и .

Задача 2. (ЕГЭ математика, профильный уровень) Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 14 и 26, большая боковая сторона составляет с основанием угол .

 

Дано: – трапеция;

, ;

, .

Найти: .

 

Рис. 15

Решение.

Дополнительное построение: , – высота.

Рассмотрим : (из 1), (по условию), следовательно, . Тогда, – прямоугольный и равнобедренный: .

, причем (т.к. – прямоугольник, , и каждый из углов равен ). Тогда , .

Т.к. (из п. 2 решения задачи), следовательно, .

(кв.ед.).

Ответ: 240 кв.ед.

Метод подобия. Данный метод применяется в задачах на построение и на доказательство, а также в задачах, в которых используются свойства подобных треугольников для определения длин пропорциональных отрезков. В таких задачах нам даны величины углов, линейные элементы и их соотношения. Тогда, используя углы или соотношения линейных элементов, строят фигуру, подобную искомой, выбрав коэффициент подобия , равный отношению соответственных линейных элементов.

Особенностью трапеции является наличие пары параллельных сторон. При их пересечении любой прямой образуются равные углы, что приводит к появлению пар подобных треугольников, и соответственно, пропорциональных отрезков. В соответствии с теоремой Фалеса пропорциональные отрезки возникают на боковых сторонах трапеции или их продолжениях, если проводится прямая, параллельная основаниям.

При решении задач на подобие используются:

признаки подобия треугольников;

теорема Фалеса;

свойство средней линии трапеции;

теорема Пифагора и обратная ей.

Задача 3. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции.

Дано: – трапеция;

, ;

, .

Найти: , .

 

Рис. 16

Решение.

Рассмотрим : , – высота, следовательно, (по свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника).

.

Рассмотрим и : (как вертикальные углы), (как накрест лежащие при и секущей ).

Следовательно, по первому признаку подобия треугольников.

Тогда, , .

Рассмотрим : , , .

По теореме Пифагора: , , , .

Аналогично, рассмотрим : , , .

По теореме Пифагора: , , , .

Ответ: 45, 80.

Задача 4. (ЕГЭ математика, профильный уровень) Основания трапеции равны и , а ее боковые стороны – и . Найти косинус меньшего угла этой трапеции.

 

Дано: – трапеция;

, , , .

Найти: косинус меньшего угла.

 

Рис. 17

Решение.

Дополнительное построение: , .

Рассмотрим и : , , .

Тогда, и .

Так как , то , следовательно .

Определим, что .

Рассмотрим и : , .

По теореме Пифагора: , и , , .

Так как (высоты трапеции), значит: , , .

Следовательно, .

Ответ:0,8.

Метод введения вспомогательного неизвестного. Данный метод предполагает введение новой неизвестной переменной, с помощью которой составляется уравнение или система уравнений. В качестве вспомогательных аргументов обычно выбирают величины, которые вместе с данными из условия задачи дают набор элементов, однозначно задающих некоторые фигуры.

Задача 5. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.

 

Дано: – трапеция;

Найти: , .

 

Рис. 18

Решение.

Рассмотрим трапеции и : пусть и и высоты данных трапеции – .

Воспользуемся формулой для вычисления площади трапеции:

Отсюда,

.

Из свойства средней линии трапеции : .

Составим систему уравнений:

.

Следовательно, и .

Ответ: 5, 15.

Метод площадей. Главным объектом данного множества является площадь. Для треугольника площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов треугольника. Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данных фигур. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое можно определить неизвестное.

Задача 6. Трапеция разделена диагоналями на 4 треугольника. Определить ее площадь, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны 36 и 49.

Дано: – трапеция;

.

Найти: .

 

Рис. 19

Решение.

Пусть , , , и .

Докажем, что : , , .

Следовательно, .

,

,

.

,

,

.

Из 2 и 3 следует, что , тогда .

.

Подставим значения и и получим:

.

Ответ: 169.

Также, не исключено, что в задачах может встречаться комбинация методов решения, так как не всегда можно решить задачу, воспользовавшись только одним методом.

В данной главе мы рассмотрели методы решения задач на тему «Трапеция и ее свойства» и решили задачи, пользуясь ими. Мы выделили 4 метода: метод дополнительного построения, метод подобия, метод введения нового переменного и метод площадей. Выбор метода решения задачи исходит из того, какие данные нам будут известны, и какие нужно найти. В задаче может использоваться один и более методов, в зависимости от сложности.

Заключение

В данной работе изложены вопросы, касающиеся понятия трапеции и ее свойств. В процессе анализа математической литературы, посвященной теме курсовой работы, мы выделили следующие теоретические положения, которые представлены в первой главе:

Основные понятия, связанные с трапецией, и ее свойства;

Формулы для вычисления площади;

Средние величины в трапеции;

Вписанная окружность в трапецию;

Описанная окружность около трапеции.

Мы установили, что трапецией является четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Далее, мы выделили методы решения задач по теме нашей работы и решили планиметрические задачи, пользуясь данными методами:

Дополнительного построения;

Подобия;

Введения вспомогательного неизвестного;

Площадей.

Каждый метод имеет свои особенности, которые мы также изложили во второй главе нашей курсовой работы.

Таким образом, цель нашего исследования была достигнута.

Приведенная типология задач по методам решения, описанные в работе, могут быть использованы в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по математике в курсе средней общеобразовательной школы, а также при подготовке учащихся к государственным экзаменам.

Список используемой литературы

Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы [Текст] : учебник для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 383 с.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] : справочник / М.Я. Выгодский. – М. : АСТ : Астрель, 2015. – 509 с.

Глаголев, Н.А. Элементарная геометрия [Текст] : уч. пособие для учащихся 6-8 классов / Н.А. Глаголев, под ред. Д.И. Перепелкина. – М. : Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1954. – 235 с.

Глейзер, Г.И. История математики в школе [Электронный ресурс] : пособие для учителей / Г.И. Глейзер, под ред. В.Н. Молодшего. – М., 1964. – 376 с.

Готман, Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения [Текст] : пособие для учащихся. – М. : Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 240 с.

Евклид, Начала Книги I-IV. – М. : ГТТИ, 1948 – 1950.

Зеленяк, О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal [Текст] : уч. пособие / О.П. Зеленяк. – Киев, Москва : ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008 – 336 с.

Кушнир, И.А. Избранные задачи по геометрии. Трапеция [Текст] / И.А. Кушнир. – М. : ИЛЕКСА, 2016. – 96 с.

Ожегов, С.И. Толковый словарь русского языка / С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. – М.: ИТИ Технологии, 4-е изд., 2013. – 944 с.

Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы [Текст] : учебник для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 240 с.

Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии [Текст] : учеб. пособие. – 5 изд. – М. : МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.

Смирнова, И.М. Геометрия. 7-9 классы [Текст] : учебник для общеобразоват. организаций / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 9 изд. – М. : Мнемозина, 2015. – 376 с.

Сурина, О.П. Элементарная геометрия [Текст] : уч. пособие для студентов направления подготовки Педагогическое образование профилей «Математика», «Физика», «Информатика». – Пенза: издательство ПГУ, 2012. – 107 с.

Фильчаков, П.Ф. Справочник по элементарной математике [Текст] : уч. пособие / П.Ф. Фильчаков. – Киев. : Наукова Думка, 1972. – 528 с.

Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : уч. пособие / Г.М. Фихтенгольц. – 2 том. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 800 с.

Цыпкин, А.Г. Справочник по математике [Текст] : справочник для ср. уч. заведений. – 3 изд. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 480 с.

Ященко, И.В. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания [Текст] / И.В. Ященко, М.А. Волчеквич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин и др. – М. : Издательство «Экзамен», 2017. – 55 [1] с.

Ященко, И.В. Математика. Профильный уровень. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь [Текст] / И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, П.И. Захаров. – М. : Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2017. – 295 [1] с.

Ященко, И.В. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов [Текст] / под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство «Национальное образование», 2016. – 240 с.

Код для цитирования: Скопировать