X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Введение 

Роль натуральных чисел в математике обширна. Встречаем мы их при решении задач, данную тему развивают люди занимающиеся Высшей арифметикой и Теорией чисел.  Их начали изучать ещё с древности , считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер. Натуральные числа встречаются нам в повседневной жизни. С рождения мы сталкиваемся с ними когда записывают нашу дату рождения , когда мы считаем сколько время , в алгебре , геометрии , физике и химии мы изучаем числа во всех их проявлениях.

Объект исследования: Задачи о натуральных числа.

Предмет исследования: Методы и приёмы решения задач с использованием натуральных чисел.

Цель исследования: Систематизировать теоретический материал и задачи с  использованием  натуральных чисел.

Задачи:

1. Освоить основные приемы решения задач о натуральных  числах;

2. Изучить и разобрать базовые задачи (опорные задачи) о натуральных числах и на их основе научиться решать более сложные задачи.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список использованных источников включает 24 наименований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическая часть

 

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»... Долгое время пределом познания было число «семь».

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка - сорок ведер и т.д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков - мириада), равное 10 000, а запределом - «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» - 1012, «леодр» - 1024, «ворон» - 1048, «колода» - 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности ∞.

Натуральные числа имеют две основные функции:

- характеристика количества предметов;

- характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, ... ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи...

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Греческий математик Никомах Герасский говорил в своей книге «Введение в арифметику» о натуральном , то есть природном ряде чисел.

«Бог создал натуральные числа, все прочее - дело рук человека». Этими словами Леопольд Кронекер определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

И действительно, «теория пар»- ирландского математика, механика-теоретика, физика-теоретик, «одного из лучших математиков XIX века». Известного фундаментальными открытиями в математике (кватернионами, основы векторного анализа, вариационное исчисление, обоснование комплексных чисел), аналитической механике (гамильтонова механика) и оптике.  Уильяма Роуэна Гамильтона позволяет строить целые числа, исходя из натуральных, а рациональные числа на основе целых чисел. Георг Кантор немецкий математик, наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике, показал, что действительные числа можно определить как классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

 Далее методом удвоения вводятся комплексные числа (Гаусс), кватернионы (Гамильтон) и октавы (числа Кэли). Расширение понятия числа магистральный путь развития математики, начиная с пифагорейского учения «Все есть натуральное число» вплоть до гипердействительных и р-адических чисел . Это привело в частности к расцвету современной алгебры. Во второй половине XIX века были предприняты попытки строго определить сами натуральные числа, создать теорию натурального ряда. Дело в том, что на числовой основе можно построить всю классическую математику - арифметизироватъ математику. Математика - точная дедуктивная наука, в которой одни положения (теоремы) выводятся из других (в конечном счете, из аксиом). Поэтому построение должно начинаться с обоснования натуральных чисел. Необходимость аксиоматизации основ математики подтвердилась на рубеже XIX-XX веков в связи с 5 обнаружением противоречий (парадоксов, антиномий) в теории множеств, вызванных ничем не ограниченным употреблением общих понятий.

В 1861 году Грассман ввел индуктивные определения операций сложения и умножения натуральных чисел, исходя из операции «взятия следующего числа», и доказал их основные свойства. В 1889 году Пеано дал следующее индуктивное определение натуральных чисел:

1) 1 - натуральное число;

2) если n - натуральное число, то n'- натуральное число;

3) любое натуральное число может быть получено применением                               пунктов 1) и 2);

4) n'≠1 для каждого натурального числа n;

5) m' = n' ⇔ m = n для любых натуральных чисел m и n.

В результате натуральный ряд предстает как последовательность попарно различных элементов (натуральных чисел): 1, 1', 1'', 1''', 1'''', ... . Данное определение носит конструктивный характер: все натуральные числа порождаются 1 при последовательном применении операции '. Это порядковый, а не количественный подход к натуральным числам (есть их упорядоченность - пересчет, но пока нет счета - операций над натуральными числами). Индуктивное определение натуральных чисел математически описывает натуральный ряд как известный реально существующий объект (созданный Богом). Модификацией постулатов 1)-5) получается аксиоматическое определение натуральных чисел (аксиоматика Пеано). В нем наряду с аксиомами имеются первичные (неопределяемые) понятия, математическая суть которых выражена в аксиомах. Любая модель аксиоматики Пеано может быть названа натуральным рядом., Данную ситуацию полезно сравнить с евклидовой геометрией. В "Началах" Евклида геометрия предстает перед нами как "физическая математика", описывающая реальное пространство. Строгая аксиоматическая теория евклидовой геометрии была впервые построена Гильбертом в 1899 году. Возвращаясь к началу очерка, отметим, что аксиоматические теории Пеано и Гильберта, относящиеся к основаниям математики, как раз и описывают фундаментальные понятия натурального числа и геометрической фигуры. Аксиоматика Пеано. Для определения системы Пеано необходимо задать первичные термины и аксиомы. При этом мы будем применять элементарные теоретико-множественные понятия (множество, элемент, подмножество, отображение и т.д.) и пользоваться обычной логикой. Первичные понятия: «множество N», «отображение ' из N в N», «элемент 1 из N». Таким образом, на множестве N задана операция ' и выделен элемент 1. В результате получается алгебраическая система.

Определение. Система (N, ', 1) называется системой Пеано , если она удовлетворяет следующим трем аксиомам:

P1. n' 1 для каждого nϵN.

Р2.m'=n' t=n  для любых m, nϵN.

Р3.Для любого подмножества М в N: если 1)1 M и 2) n M n' М для каждого nϵN, то М = N.

Натуральным рядом называется всякая конкретная система Пеано, т.е. модель аксиоматической теории Пеано. Элементы из N называются натуральными числами, а само N  множеством (всех) натуральных чисел. Интуитивно 1 - "первое" натуральное число, а операция ' означает "взятие следующего числа" n' = n + 1. Аксиома Р1 утверждает, что у 1 нет "предшествующего элемента". Аксиома Р2 показывает, что отображение ': N→N переводит неравные числа в неравные. Аксиома Р3 - это аксиома индукции, алгебраический смысл которой состоит в том, что система Пеано не имеет собственных подсистем.

Операции над натуральными числами.

Операции сложения и умножения.

 Построим по индукции бинарные операции сложения и умножения натуральных чисел. Бинарная операция на N - это функция от двух аргументов, пробегающих множество N, и принимающая значения в N. Фиксируем произвольное натуральное число т N. Функцию fm : N→ N задаем соотношениями: l)fm (l) = m' и 2) fm (n') = fm (n)'.

Функция fm существует и единственна по теореме .Теперь для любых m , nϵN полагаем m + n = fm (n).

Теорема. В N существует однозначно определенная бинарная операция +, называемая сложением, которая удовлетворяет соотношениям:

1)m+1=m' для всех mϵ N;

2) m + n' = (m+ n)' для всех m, nϵ N.

Аналогично, для каждого те N определяется функция gm: N→N, удовлетворяющая условиям: gm (l) = m и gm (n') = gm (n) + m.

Тогда полагаем m ⸱ n=gm (n) для любых m,n ϵ N.

Теорема. B N существует единственная бинарная операция, называемая умножением, которая обладает следующими свойствами:

1)m⸱ 1 = m для любого nϵN;

2) m⸱n ' = m⸱n + m для любых m, n ϵ N.

 Для операций сложения и умножения и отношения порядка в N тождественно выполняются следующие свойства:

1. (k+m)+n = k+(m +n), (k⸱m)⸱n = k⸱(m⸱n) (ассоциативность операций).

2.m + n = n + m, m ⸱ n = n ⸱m (коммутативность операций).

3. (k+m)⸱n = k⸱n+m⸱n (дистрибутивность умножения относительно сложения).

4. k + m = k + n m = n, k⸱m = k⸱n =>m = n (законы сократимости).

Конечные и бесконечные множества.

Конечность произвольного множества X ассоциируется с

возможностью нумерации (пересчета) всех его элементов натуральными

числами, не превосходящими некоторого nϵN. Это значит, что

X = {f(1), f(2),..., f(n)} для подходящего взаимно однозначного

отображения / отрезка [1, n] на множество X. Множество называется

поэлементным, если оно равномощно отрезку [1, n] для данного

натурального числа п. Напомним, что два множества называются

равномощными, если существует взаимно однозначное отображение

одного из них на другое. Пустое множество имеет 0 элементов.

Дедекинд дал другое определение конечности, также согласующееся

с нашей интуицией. Множество X называется конечным, если X не

равномощно никакому своему собственному подмножеству (т.е. подмножеству, отличному от X). Множество, равномощное некоторому

своему собственному подмножеству, называется бесконечным. Тем

самым, все множества подразделяются на конечные и бесконечные.

Скажем, множества [1,1] = {1}, [1,2] = {1,2} и [1, 3] = {1, 2, 3} конечны, а множество N бесконечно, так как операция ' отображает N на собственное

подмножество N\{1}. Нетрудно доказать, что любой отрезок [1, n], nϵN,

является конечным множеством.

Теорема. Непустое множество конечно тогда и только

тогда, когда оно n-элементно для некоторого (единственного) nϵN.

Операции сложения и умножения в N применяются к парам

натуральных чисел. Но мы знаем, что можно складывать и умножать и

несколько (конечное семейство) натуральных чисел. Для того чтобы это

строго сформулировать, определим понятия конечной и бесконечной

последовательности элементов данного множества X. Конечной, точнее,

n-элементной последовательностью в X называется произвольное

отображение g: [1, n] X, где n - некоторое натуральное число. Такая

последовательность обозначается а1, а2,..., аn или (аi)i<n, если ai= g(i)

для любого i [1, n]. Бесконечной последовательностью X в называется

любое отображение g: N X. Обычно последовательность g

обозначается (аn), где аn = g(n) для всех nϵN.

Возьмем произвольную бесконечную последовательность (аn) в No.

Построим по индукции функцию «суммирования»/для элементов

этой последовательности, задав ее соотношениями :

1)f(1) = а1;

2)f(n')=f(n) + аn.

Существует стандартное обозначение:

f(n)=  (nϵN).

Тогда суммой конечной последовательности a1, a2,..., am элементов из N называется значение f(m) функции «суммирования» для бесконечной последовательности a1, a2 ,..., am 0, 0,.... Аналогично определяется произведение конечной последовательности чисел.

Отметим, что для конечных сумм и произведений натуральных

чисел можно доказать свойства коммутативности, ассоциативности,

дистрибутивности и т.п.

Разберём задачи о натуральных числах. Эти задачи делятся на два типа: текстовые и нестандартные задачи. С начало мы разберём  текстовые задачи.

Задача : В детском саду на утреннике, детям раздавали конфеты. Всего было 234 конфеты. Мальчикам досталось по 4 конфеты, а девочкам по 5. На следующий праздник решили сделать так, чтобы и мальчикам и девочкам досталось по 6 конфет. Сколько конфет решили раздать детям на следующий праздник, если девочек и мальчиков одинаково?

Решение

1) 4 + 5 = 9 конфет раздали каждому мальчику и каждой девочке;

2) 234 : 9 = 26 - мальчиков и девочек по отдельности;

3) 26 * 2 = 52 детей всего в детском саду;

4) 52 * 6 = 312 конфет.

Ответ: в следующий раз решили раздать 312 конфет.

 

Нестандартные задачи о  натуральных числах можно решать двумя  методами :

1.Графический метод решения;

2.Аналитический метод решения.

Сейчас разберём графический метод решения задач :

Задача: На доске записано три натуральных числа.
Выбираем 2 из трех чисел и записываем их произведение на отдельный листик. Оставшееся не выбранным число стираем на доске, а на его место пишем число уменьшенное на один от него.
И так все это повторяем, пока одно из чисел на доске не станет равным 0.
Суммируем все числа записанные на листке.
1. Доказать, что эта сумма не зависит от выбора чисел на каждом ходе.
2. Чему равна эта сумма?

Ответ: На доске записаны три натуральные числа. Назовем их a, b, c.

Представим себе параллелепипед с ребрами такого размера.

1. Произвольно выберем два числа. Их произведение запишем на бумагу.

2. "Отрежем" от нашего параллелепипеда с грани, соответствующей этим числам, "слой" толщиной 1.

Например, если выбраны числа a и b, то геометрические преобразования будут выглядеть так:

  Как видно из чертежа, это тоже параллелепипед. Заметим, что если дополнить нашу запись на бумаге следующим образом: a⸱b⸱1 то запись будет представлять ни что иное, как расчет объема отрезанной части.

3. Третье число на доске стираем, и записываем число на единицу меньшее.

4. Замечаем, что теперь на доске у нас записаны размеры оставшейся части параллелепипеда.

Повторяем шаги 1-4 до тех пор, пока одно из чисел не станет равным 0. В ходе этого мы будем "срезать" с граней параллелепипеда слои, пока весь не "изрежем" (одно из чисел =0).

В задаче надо подсчитать сумму записанных произведений. Т.е. надо подсчитать сумму объемов всех "обрезков".

Очевидно, что в не зависимости от того, в какой последовательности выбирались грани для "срезов", сумма объемов всех "обрезков" даст объем исходной фигуры, а именно a⸱b⸱c. Это же число будет получаться при суммировании записанных нами произведений.

 

 

Разберём ещё один метод решения нестандартных задач о натуральных числах , то есть аналитический :

Задача . (ЕГЭ, 2017 ) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Решение. а) Пример: 6, 7, 8, 9, 10. Наименьшее из произведений равно 6 · 7 > 40, наибольшее из произведений равно 9 · 10 < 100.

б) Предположим, что нашлись шесть натуральных чисел x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6, удовлетворяющих условию задачи. Тогда x1x2 > 40 и x5x6 < 100. Следовательно, x2 > 7 (иначе x1x2  5 · 6 = 30) и, аналогично, x5=9. Но тогда четырёхэлементное множество {x2, x3, x4, x5} содержится в трёхэлементном множестве {7, 8, 9} - противоречие.

в) Пусть x1 < x2 < x3 < x4 - четыре натуральных числа, удовлетворяющих условию задачи. Снова имеем x2 > 7 и x3 <9; легко видеть, что в таком случае x2 ∈ {7, 8} и x3 ∈ {8, 9}, поэтому x2 + x3  8 + 9 = 17. Далее, x1 > 6 (иначе x1x2 = 5 · 8 = 40), то есть x1 ∈ {6, 7}; аналогично x4 ∈ {9, 10, 11, 12}. Отсюда x1 + x4 = 7 + 12 = 19. В итоге получаем S = x1 + x2 + x3 + x4 6 17 + 19 = 36. Значение S = 36 достигается для единственного набора x1 = 7, x2 = 8, x3 = 9, x4 = 12, но этот набор не годится, поскольку для него x3x4 > 100. Тогда S = 35. Значение S = 35 достигается для набора x1 = 7, x2 = 8, x3 = 9, x4 = 11, который удовлетворяет условию задачи.

 

 

Практическая часть

Для решения задач нам потребуется знать такие определения и свойства натуральных чисел:

Действия над натуральными числами.

 

     1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.

Формулы для сложения:

а + b = b + а

(а + b) + с = а + (b + с)

а + 0 = 0 + а = а

     2. Вычитание натуральных чисел - операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.

Если в + с = а, то

Если а = в, то а - b = а - а = 0

Формулы для вычитания:

(а + b) - с = (а - с) + b

а - (b + с) = (а - b) - с

а + (b - с) = (а + b) - с

а - (b - с) = а - b + с

     3. Умножение натуральных чисел: произведение натуральных чисел.

Формулы для умножения:

а ∙ b = b ∙ а

а ∙ b ∙ с = а ∙ (b ∙ с)

(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с

(а - b) ∙ с = а ∙ с - b ∙ с

а ∙ 1 = 1 ∙ а = а

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0

0 ∙ 0 = 0

1 ∙ 1 = 1

     4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения.

Если b ∙ с = а, то

 

Формулы для деления:

а : 1 = a

a : a = 1, a ≠ 0

0 : a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a :c) ∙ b

(а ∙ b) : c = (b :c) ∙ a

(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)

Признаки делимости натуральных чисел:

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

 

 

 

       Задача 1

 

Швейная фабрика закупила 138 метров черной и зеленой ткани, всего на 54000 рублей. Сколько метров каждой ткани по отдельности было закуплено. Если метр зеленой ткани стоит 500 рублей, а метр черной ткани 300 рублей?

Решение

1) 138 * 300 = 41400 (рублей) было бы потрачено, если бы вся ткань стоила 300 рублей за 1 метр;

2) 54000 - 41400 = 12600 (рублей) остаток;

3) 500 - 300 = 200 (рублей) разница в стоимости за метр;

4) 12600 : 200 = 63 (м) ткани по 500 рублей за 1 метр;

5) 138 - 63 = 75 (м) ткани по 300 рублей за 1 метр.

Ответ: ткани по 300 рублей за 1 метр, купили 75 м; ткани по 500 рублей за 1 метр, купили 63 м.

 

 

 

 

Задача . (ЕГЭ, 2014 ) На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Решение. а) Разность числа 11 и любого из оставшихся чисел по модулю не превосходит 10, поэтому, какова бы ни была расстановка чисел по окружности, все разности не могут оказаться не меньше 11.

б) Расставим числа по окружности в следующем порядке: 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11. Легко видеть, что разность любых двух соседних чисел по модулю не меньше 10.

в) Числа 1, 2, . . . , 7 назовём основными. При любой расстановке чисел 1, 2, . . . , 21 по окружности реализуется одна из двух ситуаций. 1. Какие-то два основных числа стоят рядом или через одно. Тогда разность этих основных чисел не превосходит 6. 2. Каждое третье число - основное. Тогда между какими-то двумя основными числами окажется число 8, и тогда одна из соответствующих разностей будет не больше 6. Таким образом, при любой расстановке найдётся разность, не превосходящая 6, поэтому k 6 6. С другой стороны, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6. Значит, наибольшее значение k равно 6.

 

Задача . (ЕГЭ, 2015 ) На доске написано число 2045 и ещё несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

 а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Решение. Проанализируем сначала ситуацию для трёх чисел. Пусть написаны числа x, y и z. Без ограничения общности мы можем упорядочить их по возрастанию: x < y < z. Заметим, что x + y < z + z = 2z и вместе с тем x + y делится на z; значит, x + y = z. Таким образом, написаны числа x, y, x + y. Далее, сумма x + (x + y) = 2x + y делится на y, поэтому и 2x делится на y. Но 2x < 2y, так что 2x = y. Следовательно, написаны числа x, 2x и 3x. Одно из написанных чисел есть 2045, но оно не делится ни на 2, ни на 3. Поэтому x = 2045, но тогда 3x > 5000, что противоречит условию. Значит, три числа написаны быть не могут.  Теперь обратим внимание, что для чисел 1, 2 и 3 сумма любых двух из них делится на третье. Припишем сюда любое количество нечётных чисел - и сумма любых двух чисел будет делиться на одно из остальных! Это позволит нам построить нужные примеры.  

а) Припишем к 1, 2, 3 все нечётные числа до 2045 включительно: 1, 2, 3, 5, 7, . . . , 2045. Тогда сумма двух нечётных чисел делится на 2, сумма 2 и 1 делится на 3, сумма двойки и большего числа делится на 1.

б) Ровно пять чисел могут быть написаны: 1, 2, 3, 5, 2045.

в) Ровно четыре числа могут быть написаны: 1, 2, 3, 2045. Три числа, как мы видели выше, написать нельзя. Значит, можно написать самое меньшее четыре числа.

 

Задача . (ЕГЭ, 2015 ) В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение. а) Каждому сотруднику надо выдать по 20000 рублей. Это сделать можно. Сначала исчерпаем все пятитысячные купюры: 27 человек получат по 4 купюры (итого 108 купюр) и один - две. Добавим ему 10 тысячных купюр, а остальные 240 тысячных купюр распределим поровну между оставшимися 12 сотрудниками (по 20 каждому).

б) Каждый из 80 сотрудников должен получить по 9000 рублей, а значит - как минимум по четыре тысячных купюры. Всего потребуется не менее 320 тысячных купюр, а у нас их имеется лишь 250. Следовательно, такое распределение премий невозможно. I Пункт б) содержит указание на наихудший случай - когда премия сотрудника (число тысяч рублей) даёт остаток 4 при делении на 5. Если таких премий много, то возникнут проблемы с тысячными купюрами. J

 в) Предположим, что сотрудников не менее 64. Выберем 63 человека и назначим каждому из них премию 4 тысячи рублей (а оставшиеся деньги распределим между остальными сотрудниками как угодно). Тогда потребуется 63 · 4 = 252 тысячных купюры вопреки условию. Покажем, что в случае 63 сотрудников деньги удастся выдать при любом распределении премий. Пусть премия i-го сотрудника (число тысяч рублей) равна si = 5ni + ri , где ri - остаток числа si при делении на 5. Суммируя по всем i от 1 до 63, получим 800 = 5N + R, где R - сумма всех ri . Ясно, что R =63 · 4 = 252. Поскольку R = 800 - 5N делится на 5, имеем R= 250. Следовательно, тысячных купюр хватит на то, чтобы выдать всем сотрудникам величины остатков их премий при делении на 5. Итак, выдадим вначале всем 63 сотрудникам остатки r1, r2, . . . , r63 (напомним, в тысячах рублей) тысячными купюрами. Тем самым мы выдали сумму, равную R, а останется не выданной сумма 800 - R, кратная 5. Если при этом тысячные купюры ещё не израсходованы, то оставшееся их количество также кратно 5 (ибо другие купюры - пятитысячные); сложим оставшиеся тысячные купюры в пачки по 5 штук. Теперь сотрудникам надо выдать недостающие деньги: 5n1, 5n2, . . . , 5n63. На это как раз имеются в нужном количестве пятитысячные купюры и пачки-пятёрки тысячных.

 

 

Задача . (ЕГЭ, 2016 ) Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

 а) Является ли множество {200; 201; 202; . . . ; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; . . . ; 2100} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Решение.

а) Заметим, что множество A = {200, 201, . . . , 299} можно разбить на 50 пар с равной суммой чисел в каждой паре: (200, 299), (201, 298), . . . , (249, 250). Числа из первых 25 пар пусть образуют множество A1, остальные числа - множество A2. Тогда A = A1 ∪ A2, причём суммы чисел в подмножествах A1 и A2 равны. Следовательно, A - хорошее множество.

б) Первый способ. Заметим, что все числа множества B = {2, 4, 8, . . . , 2 100}, кроме 2, делятся на 4. Разобьём множество B на два каких-либо подмножества. Будем считать, что число 2 находится во втором подмножестве. Тогда сумма чисел первого подмножества делится на 4, а сумма чисел второго - нет. Значит, множество B не является хорошим. Второй способ. Разобьём множество B на два каких-либо подмножества. Будем считать, что число 2 100 находится в первом подмножестве. Тогда сумма чисел первого подмножества не меньше, чем 2 100, а сумма чисел второго подмножества не больше, чем 2 + 4 + . . . + 299 = 2100 - 1. Значит, суммы чисел в обоих подмножествах не могут быть равны, и поэтому множество B не является хорошим.

в) Множество не может быть хорошим, если сумма его чисел нечётна. Поэтому для того чтобы множество было хорошим, необходимо, чтобы оно содержало чётное количество нечётных чисел. Хорошее четырёхэлементное подмножество множества M = {1, 2, 4, 5, 7, 9, 11} может содержать ровно два или четыре нечётных числа. Два числа из пяти нечётных можно выбрать C 2 5 = 10 способами. Соответственно имеем десять подмножеств:

A1 = {1, 2, 4, 5};                                                                    A6 = {2, 4, 5, 9};

A2 = {1, 2, 4, 7};                                                                    A7 = {2, 4, 5, 11};

A3 = {1, 2, 4, 9};                                                                    A8 = {2, 4, 7, 9};

A4 = {1, 2, 4, 11};                                                                  A9 = {2, 4, 7, 11};

A5 = {2, 4, 5, 7};                                                                    A10 = {2, 4, 9, 11}

 

 

 

 

Непосредственной проверкой убеждаемся, что хорошими являются только шесть из них: A1, A2, A5, A7, A8 и A10. Четыре числа из пяти нечётных можно выбрать C 4 5 = 5 способами. Соответственно имеем пять подмножеств:

B1 = {1, 5, 7, 9};

B2 = {1, 5, 7, 11};

B3 = {1, 5, 9, 11};

B4 = {1, 7, 9, 11};

B5 = {5, 7, 9, 11}.

 Хорошими являются только два из них: B2 и B5. Всего, стало быть, множество M имеет 8 хороших четырёхэлементных подмножеств.

 

Задача . (ЕГЭ, 2017 ) На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.

 а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?

 б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?

в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Решение.

 а) Пример подходящего набора: 7, 8, 9, 10, 13.

б) Предположим, что написан набор из 10 чисел, удовлетворяющий условию. Пусть a - наименьшее число набора, b - наибольшее число. Тогда выполнены неравенства b > a + 9 и b =3a, откуда 3a > a + 9 и a > 5. Но тогда сумма всех чисел не меньше 5 + 6 + . . . + 14 = 95 и потому не может равняться 94.

в) Два или три числа написать можно. Примеры подходящих наборов: {80, 100} и {16, 20, 25}. Предположим, что написаны четыре числа. Из разложения на простые множители 8000 = 26 · 5 3 видно, что все четыре числа не могут делиться на 5 (иначе в разложение их произведения множитель 5 входил бы как минимум в четвёртой степени). Если на 5 делятся три числа a < b < c, то в разложение каждого из них множитель 5 входит в первой степени; значит, эти разложения отличаются только степенями двойки, а тогда a и c отличаются не менее чем в 4 раза. Таким образом, два числа a < b из написанных четырёх - степени двойки, причём последовательные (иначе они отличаются не менее чем в 4 раза). Тогда b = 8, так как показатель степени двойки в произведении ab не превосходит 6. Произведение двух оставшихся чисел делится на 5 3 , поэтому одно из них не менее 25 и превышает число b более чем в три раза. Противоречие. Следовательно, четыре числа (или более) написаны быть не могут.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Исторически первыми появились натуральные числа, которые послужили основой формирования математики как науки.

Основные свойства натуральных чисел описаны соответствующими законами арифметики, часть которых представлена в работе. Несмотря на длительный период существования роль данного типа чисел не исчерпана, а перешла в другой, теоретико-множественный аспект

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемых источников

 

1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 2014.

2. Белановский П. Д. Основы теоретической арифметики. - М.: Учпедгиз, 2013.

3. Вечтомов Е. М. Прямой способ введения отношения порядка в системе Пеано // Ма- тематический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2017.

4. Генкин Л. О математической индукции / Пер. с англ. - М.: ГИФМЛ, 2016.

5. Гонин Е. Г. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 2014.

6. Демидов И. Т. Основания арифметики. - М.: Учпедгиз, 2015.

7. Игошин В. И. Курс числовых систем для педагогического вуза // Математика в высшем образовании. 2014.

8. Клини С. Введение в метаматематику / Пер. с англ. - М.: ИЛ, 2015.

9. Когаловский С. Р., Шмелева Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию. - Иваново, 2015.

10. Куликов Л. Я. Алгебра и теории чисел. - М.: Высшая школа, 2012.

11. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 2015.

12. Ландау Э. Основы анализа / Пер. с нем. - М.: ГИИЛ, 2014.

13. Ларин С. В. Что такое натуральные числа?: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 2016.

14. Ларин С. В. Числовые системы. - М.: Академия, 2013.

15. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. - М.: Просвещение, 2016.

16. Мадер В. В. Тайны натурального ряда. - М.: Просвещение, 2012.

17. Мадер В. В. Введение в методологию математики. - М.: Интерпракс, 2015.

18. Мальцев А. И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 2013.

19. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Пер. с англ. - М.: Наука, 2014.

20. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2010.

21. Нечаев В. И. Числовые системы. - М.: Просвещение, 2015.

 22. Проскуряков И. В. Числа и многочлены. - М.: Просвещение, 2014.

23. Феферман  С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / Пер. с англ. - М.: Наука, 2013.

24. Peano G. Sul concetto di numero // Rivista di matematic. 1891.

Код для цитирования: Скопировать