X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Проблема нахождения необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур была и остается достаточно актуальной в работе учителя математики. К примеру, данными понятиями приходится оперировать в сложных задачах с параметрами. Следует отметить, что учитель готовит детей к восприятию курса высшей математики, ведь необходимые и достаточные условия встречаются там на каждом шагу. Сбольшим трудом обучающиеся усваивают тему «Необходимые и достаточные условия». Они легко запоминают определения этих понятий, но не могут применить их на практике, т.е в решении задач. [2]

Рассмотрим какую-либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.

Обозначим условие теоремы через A, заключение ̶ В. Тогда теорему можно выразить так:

«Если есть A, то есть В, иначе: из А следует В (записывают: А → В)».

Определение 1. Если А → В, то Aназывается достаточным условием для В, а В ̶ необходимым условием для А. [1]

Рассмотрим такой пример: диагонали параллелограмма перпендикулярны. Каждый скажет, что эта теорема неверна. Но что это значит? Запишем сформулированную теорему в виде A→В, для чего рассмотрим следующие неопределенные высказывания:

A(Q) ≡ {четырехугольник Q̶ параллелограмм},

В(Q) ≡ {диагонали четырехугольника Qперпендикулярны}.

Тогда сформулированная «теорема» принимает вид A(Q) → B (Q). В действительности же это вовсе еще не теорема, а лишь неопределенное высказывание (иногда верное, иногда ⎼ нет). Если мы добавим знак общности или существования, мы получим высказывание, о котором уже можно будет говорить, верно оно или нет. Так, добавляя знак существования, получаем высказывание

(∃Q) (A(Q)) → В (Q))

(т. е. существует параллелограмм с перпендикулярными диагоналями). В истинности этого высказывания никто не усомнится ⎼ такими параллелограммами являются ромбы. Однако знак общности дает высказывание

(∀Q) (A (Q) → В (Q)), [1]

являющееся ложным. Именно в этом смысле мы говорим о неверности теоремы «диагонали параллелограмма перпендикулярны». Иными словами, встречаются (существуют) параллелограммы с перпендикулярными диагоналями. Но сформулированную теорему неявно все воспринимают в форме: диагонали любого параллелограмма перпендикулярны, т.е в форме [1]. Эта теорема действительно неверна.

По Определению 1 составим таблицу перевода терминов «необходимо» и «достаточно» на язык логики:

Таблица 1

На русском языке	На логическом языке
A достаточное условие для В	A→В истинно
А необходимое условие для В	В → А истинно
А необходимое, но недостаточное ус-ловие для В	В → А истинно, но А → В ложно
А достаточное, но не необходимое условие для А	А→В истинно, но В→Аложно
А необходимое и достаточное усло-вие для А	А→В и В→А истинны, или истинна эквиваленция А↔ В

Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:

А(F) ≡ {четырехугольник F⎼ квадрат},

В(F) ≡{углы четырехугольникаF равны}.

Теорема (∃F) (А(F) →В(F)) имеет следующий вид:

если четырехугольник F является квадратом, то его углы равны.

Эта теорема верна. Обратная же теорема (∃F) (В(F) →А(F):

если углы четырехугольника F равны, то он является квадратом, неверна.

Вывод.Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его углы были равны.

Некоторые математические утверждения имеют вид необходимых и достаточных условий одновременно. Например: для того чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

Когда истинны обе теоремы A→B и B→A, мы называем высказывания A и B равносильными или эквивалентными. В таком случае верно утверждение A↔B, то есть оба высказывания A иB следуют друг из друга.

Эквивалентность высказываний описывается выражениями: необходимо и достаточно; тогда и только тогда; если и только если; в том и только в том случае, если.

Рассмотрим задачу на необходимые и достаточные условия:

Задача 1. Чтобы параллелограмм был ромбом (В), необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны (А). [2]

I . Достаточность

1. А → В. (Если диагонали параллелограмм взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.)

2. ((AC) ⊥ (BK)) → (∠BOC = ∠СOK) (рис. 1).

(ABCK - параллелограмм) → (BO = OK)

(ΔВOC = ΔCOK (по двум катетам)) → (ВС = СК).

Рис. 1

Следовательно, параллелограмм ABCK является ромбом.

3. A⎼ достаточное условие для В.

I I . Необходимость

1. В → А. (Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.)

2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.

3. А⎼ необходимое для В.

Вывод. А является достаточным и необходимым условием для В. Исходя из этого следует, что В необходимое и достаточное условие для А.

Таким образом, мы стараемся получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. Хочется отметить, что необходимые и достаточные условия играют важную роль в профессиональной деятельности учителя математики. Они являются большой познавательной ценностью и для учителя, которую он передаст своим ученикам.

Список использованной литературы

Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике - М. Изд. «Наука», 1974.

Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 95 с.

Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 464 с.

5

Код для цитирования: Скопировать