X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи числовых равенств, а именно уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или систем нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами.

Знак равенства используется в математике давно. Ещё в 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал своё нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в XVIIIв., после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи [5].

Рассмотрим понятие уравнения.

На одном заданном числовом множестве возьмем две функции и ).Если мы для некоторого числа из множества вычислим значение функций и , приравняем их, то получим числовое равенство. Если же мы соединим знаком записи и , где переменная –переменная (буква), то получим уравнение: [1].

Определение 1. Всякое значение переменной, при котором выражения:и принимают равные числовые значения называется корнем уравнения [6].

Пример. Уравнение имеет корень уравнение имеет три корня

Определение 2. Два уравнения называются равносильными( знак равносильности), если множества их решений совпадают. Это можно сформулировать более подробно: два уравнения равносильны, если каждое решение первого является решением второго и, обратно, каждое решение второго уравнение является решением первого; другими словами, если уравнения являются следствиями друг друга [2].

Например, уравнения равносильны; уравнения равносильны.

Вместо данного уравнения можно решать уравнение, ему равносильное. Замена одного уравнения другим, ему равносильным, множество решений которого по каким-то причинам найти легче, является основным приемом при решении уравнений.

Пример. Легко проверить, что

,

поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений

и имеет следующие корни:

Запишем уравнения в символической форме:

где два выражения, составляющие уравнение.

Формулировки теорем о равносильности в символической форме представлены в таблице 1. В правой колонке указаны взаимно обратные переходы, с помощью которых эти теоремы доказываются.

Таблица 1

	Теоремы	Взаимно обратные переход
1.
2.
3.

Остановимся подробнее на равносильных преобразованиях уравнений [1]:

Тождественное преобразование одной из частей уравнения (разложение на множители, перегруппировка, выделение полного квадрата, применение основных тождеств) и перенос членов из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, если при этом не происходит изменение области допустимых значений.

Например, уравнение

равносильно уравнению

Переход к совокупности уравнений (определение понятия «совокупность» представлено в пункте 1.3). Рассмотрим задачу, в которой требуется решить несколько уравнений, а затем объединить их корни.

Пусть ОДЗ выражений совпадают. Тогда уравнение равносильно совокупности

Оговорка про совпадение ОДЗ не случайна. Так, уравнение не равносильно совокупности

Переход к системе уравнений (определение понятия «система» представлено в пункте 1.3). Рассмотрим задачу, в которой надо решить несколько уравнений и взять их общие корни (или найти числа, удовлетворяющие каждому из уравнений системы). В систему можно объединить не только уравнения, но и различные условия, ограничения, неравенства.

Использование переходов от уравнения к совокупностям и системам позволяет разнообразить схемы равносильных переходов [1].Покажем некоторые из них

В данной работе рассмотрены вопросы решения уравнения мы проанализировали различные источники по данной теме и, выявив различные приёмы решения задач, обобщили их в виде таблиц, а также привели примеры, которые отражают приемы решения представленных в данных таблицах.

Список использованных источников

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / М. И. Башмаков. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.: ил.

Башмаков М. И. Уравнения и неравенства : учеб. пособие / М. И. Башмаков. М.: Наука, 1971. – 98 с., ил.

Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике : учеб. пособие / В. Г. Болтянский. – М.: МФТИ, 1996. – 541 с., ил.

Гейдман Б. П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства : учеб. пособие для учащихся вузов / Б. П. Гейдман. – М.: МЦНМО, 2003. – 48 с., ил.

Глейзер Г. И. История математики в школе : учеб. пособие для учителей / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2001. 376 с., ил.

Гусев В. А. Математика: справ. материалы : учеб. пособие для учащихся / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1990.416 с., ил.

Иванов О. А. Практикум по элементарной математике: Алгебраические методы : учеб. пособие. – М.: МЦНМО, 2001. 320 с.

Колягин Ю. А. Алгебра и начала анализа 11 класс : учеб. для общеобразовательных учреждений / Ю. А. Колягин – М.: Просвящение, 2010. – 341 с., ил.

Стойлова Л. П. Математика : учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений / Л. П. Стойлова. – М.: Академия,1997. – 464 с.

Код для цитирования: Скопировать