X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе алгебры и начал анализа. Тригонометрия является разделом математики, которая изучает зависимость между длинами сторон и величинами углов треугольников, а также в нее входит анализ алгебраических тождеств тригонометрических функций.

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинусов. Абу-л-Вафа (X в.) пользовался также величиной, обратной косинусу (секансом) и синусу (косекансом). Большой точности тригонометрических таблиц составил Региомонтан (14361476) и другие европейские ученые XVI – XVIII вв. В России первые тригонометрические таблицы были изданы под участием Л.Ф. Магницкого в 1703 г. под названием «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей».

В древней Греции астрономия была неразрывно связана с тригонометрией, ученые предсказывали моменты наступления солнечного или лунного затмения, для этого необходимо было произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. В эпоху Нового времени многие ученые стали осознавать важность тригонометрии в других областях жизни, таких как, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в числе которых Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виета. Н. Коперник написал несколько глав, связанных с тригонометрией, в своем трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Л.Эйлер ввел обратные тригонометрические функции [10, С. 285].

На современном этапе развития наук в область применения тригонометрии входят навигация, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятности, биология, медицина (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), химия, многие разделы физики, архитектуры, экономики и т. д.

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций [2, C. 36].

Решение тригонометрического уравнения делится на два этапа: тождественные преобразования уравнения, с целью получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Изучению понятия тригонометрического уравнения, его свойств и методов решений посвящена данная работа по теме «Тригонометрические уравнения».

Уравнения вида где x  переменная, (а – любое действительное число), называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение  значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.

Из определения следует: — это ордината точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x.

Частные случаи:

На тригонометрической окружности имеются две точки с нулевой ординатой (рис. 1):

Рис. 1

На тригонометрической окружности имеется единственная точка с ординатой 1 (рис. 2):

Рис. 2

Рис. 3

Приведем пример: (рис. 4).

Рис. 4

По определению  это абсцисса точки x тригонометрической окружности, которая отвечает углу x.

Частные случаи:

Отмечаем на тригонометрической окружности точки с нулевой абсциссой. Их две (рис. 5):

Рис. 5

Эти точки образуют диаметральную пару (то есть служат концами диаметра тригонометрической окружности). Все углы, отвечающие точкам диаметральной пары, отличаются друг от друга на целое число углов π (то есть на целое число полуоборотов как в одну, так и в другую сторону). Для описания множества углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрической окружности, нужно взять один угол из этого множества и прибавить .

Отмечаем точку тригонометрической окружности, которая имеют абсциссу 1 (рис. 6):

Рис. 6

Приведем пример решения следующего уравнения:

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой (рис. 7):

Рис. 7

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Другие уравнения решаются совершенно аналогично.

Частные случаи:

Тангенс может принимать любые значения (область значений функции есть всё множество R). Следовательно, уравнение имеет решения при любом a. Решением уравнения является таким же как и у : Данное уравнение равносильно уравнению

т.к.

Здесь нам уже понадобится линия тангенсов. Имеем диаметральную пару (рис. 8):

Рис. 8

(рис. 9).

Рис. 9

Уравнение можно подробно не рассматривать, т.к.:

уравнение , есть отношение вида , равносильное уравнению , следовательно, имеет решения ;

при уравнение равносильно уравнению , следовательно, имеет решения [26].

Обобщим рассмотренный теоретический материал и покажем связь единичной окружности с графиком тригонометрической функции (рис. 10):

 

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения

 

 

 

 

 

Рис. 10

Выделим основные виды тригонометрических уравнений:

Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Уравнения, сводящиеся к квадратным. В ряде случаев тригонометрическое уравнение можно преобразовать так, что оно окажется квадратным относительно некоторой тригонометрической функции. Например:

Отличительные признаки тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу.

В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция, или все функции можно свести к одной.

Однородные уравнения.

Уравнения вида называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени с коэффициентами a и b, не равными нулю; уравнение вида называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени с коэффициентами a и b, не равными нулю.

Например:

Введение вспомогательного угла.Уравнения вида

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие дробь, в числителе и знаменателе которой находятся тригонометрические функции. Например: .

Иррациональные тригонометрические уравнения.

Уравнение называется иррациональным, если оно содержит неизвестную величину под знаком корня. Нас будут интересовать иррациональные уравнения, в которых под знаком корня находятся тригонометрические функции.

Уравнение вида равносильно системе

Отсутствует неравенство , т.к. выражение приравнивается к квадрату выражения и потому автоматически оказывается неотрицательным. Например:

Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция. Тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция, требуют до­полнительного исследования множества решений. Пример: .

В математической литературе описываются следующие методы и приемы решения тригонометрических уравнений:

сведение к алгебраическому уравнению;

разложение на множители;

использование ограниченности синуса и косинуса;

метод вспомогательного аргумента;

преобразование сумм в произведение (и наоборот);

использование формул понижения степени;

использование формул приведения;

замена переменной;

метод оценок.

Тригонометрия и тригонометрические уравнения интереснейшая тема раздела математики, развивающаяся на протяжении долгого времени. Данные уравнения имеют свои отличительные особенности, которые подразделяют уравнения на определенные виды. Следовательно, для каждого из видов можно применить те или иные методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Анализируя изученный материал, мы сделали вывод о необходимости описания конкретных примеров для раскрытия методов и приёмов решения тригонометрических уравнений, которое мы представим в практической части.

В начале данной работы мы выделили 2 этапа решения тригонометрических уравнений, а именно: тождественные преобразования уравнения, с целью получения его простейшего вида, и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.

Для решения тригонометрических уравнений (далее ТУ) простейшего вида, существует таблица значений тригонометрических функций (табл. 1).

Таблица 1

Значения тригонометрических функций

Угол в градусах
Угол в радианах	0
	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0		1		-	0	-	0
	-		1		0	-	0	-

Рассмотрим основные методы и приемы решения ТУ на примерах.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пример 1. Решить уравнение.

Решение.

Для решения уравнения используем известную нам формулу:

Получим:

или

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Для решения уравнения используем известную нам формулу:

Получим:

Ответ:

Пример 3.Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Т.к. левая часть уравнения не входит в область допустимых значений, т.е. следовательно, уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

Использование формул приведения

Формулами приведения называют формулы, выражающие тригонометрические функции углов через тригонометрические функции угла , где произвольный (допустимый) угол. Общий способ действия:

1.  
   если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида или , то наименование тригонометрической функции следует сохранить;

   если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида или , то наименование тригонометрической функции следует изменить (на родственное);

   перед полученной функцией от аргумента надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что [15].

На рисунке 11 показаны знаки тригонометрических функций.

Рис. 11

В таблице 2 представлены формулы приведения тригонометрических функций.

Таблица 2

Формулы приведения тригонометрических функций

Угол Ф-ция

Пример 6. Найдите все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Начнем решение с того, что преобразуем правую часть по формуле привидения:

Отбор корней: из серии в данный отрезок входят из серии в данный отрезок входит ; из серии в данный отрезок не входит ни одна точка.

Ответ:

1.  
   Замена переменной

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения (если это необходимо), используем замену переменной.

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

Обратная замена: ⇔или .

⇒ решений нет.

Ответ: .

1.  
   Основные тригонометрические тождества

Часто на этапе преобразования тригонометрических выражений возникает необходимость применения основных тригонометрических тождеств:

Пример 8. Найти корни уравнения .

Решение.

Представим как , получим:

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения, используя замену переменной:

Пусть , тогда

Обратная замена:

не существует.

Ответ:

В теоретической части работы среди методов решения ТУ мы выделили прием «сведение к алгебраическому уравнению», отнесем прием решения ТУ в данный раздел. Приведение ТУ к алгебраическому представлен в примере 8, т.е. выразили все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом, приняли ее за новую неизвестную и получили алгебраическое уравнение. Нашли его корни и вернулись к заданной условием неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.

1.  
   Формулы половинного, двойного и тройного аргумента ТУ

Выбор знака функции половинного угла зависит от того, в какой четверти находится угол .

Пример 9. Найти корни уравнения .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

Получаем:

Ответ:

1.  
   Разложение на множители

Рассмотрим разложение левой части на множители. Пусть в правой части уравнения стоит нуль, а левую часть можно разложить на множители.

В тех случаях, когда произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно, мы рассматриваем случаи: каждый множитель равен нулю.

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Вынесем за скобки:

,

,	,
.	,
	.

Ответ:.

1.  
   Использование формул понижения степени

Существуют формулы понижения степени, с помощью которых необходимо избавляться от квадратов синусов или косинусов:

Пример 11. Решить уравнение

Решение.

Воспользуемся заменой переменной: тогда ,

Обратная замена:

	или
		корней нет.

Ответ:

1.  
   Преобразование сумм в произведение двух функций

Существуют уравнения, в которых используют формулы суммы, разности синусов или косинусов:

Пример 12. Найти корни уравнения

Решение. Преобразовываем сумму синусов в произведение:

Можно утверждать, что включает в себя , следовательно, в ответ пишем

Ответ:

Пример 13.

Решение.

Ответ:

1.  
   Преобразование произведений в суммы

Процесс решения ТУ основан на применении формул:

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся формулой произведения синусов:

После приведения уравнения к виду квадратного уравнения, используем прием замены переменной:

Обратная замена:

Ответ:

1.  
   Суммы и разности двух аргументов (формулы сложения)

Формулы сложения определены для всех тригонометрических функций:

Пример 15. Найти корни уравнения .

Решение. Воспользуемся следующей формулой :

Ответ:

Пример 16. Найти корни уравнения

.

Решение.

Разделим обе части на , получаем уравнение:

Отбираем корни, принадлежащие промежутку

Ответ: .

1.  
   Метод вспомогательного аргумента

Рассмотрим особенности данного метода на примерах.

Пример 17.Решить уравнение

Решение. Разделим обе части на :

Далее получаешь сумму косинусов в левой части уравнения:

Ответ можно оставить в таком виде или расписать как:

Ответ:

1.  
   Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. Пусть , при чем . Т.к. . Воспользуемся заменой:

Только второй корень удовлетворяет условию . Обратная замена при :

Ответ:

1.  
   Использование ограниченности функции

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, … )

Метод оценки используется при решении уравнений , в которых его левые и правые части на всей ОДЗ удовлетворяют неравенствам В данном случае уравнение равносильно совокупности систем:

Соответственно, решив по отдельности каждое из уравнений приведенных систем, в дальнейшем нужно отобрать их общие решения. Также метод оценки удобно применять и при отборе корней уравнения [20].

Пример 19.Найти корни уравнения .

Для начала рассмотрим данное уравнение как простейшее тригонометрическое уравнение:

Т.к. то .

Отбираем корни, принадлежащие промежутку . Следовательно

Возведем обе части в квадрат:

Ответ:

Рассмотрим ограниченность синуса и косинуса, как, опираясь на ограничения значений косинуса и синуса, можно оценить значения тригонометрического выражения и найти область значения функции.

Пример 20. Решить уравнение

Перенесем в правую часть: Т.к. при любом значении а то равенство выполняется, если:

Найдем целые значения , таких что:  . Затем выражаем : . Т.к.  целое число, последнее равенство возможно, если делится на 5: . Выражаем , пусть – целое число,тогда  нечетное. Если , где , то Следовательно,

.

Ответ: .

Таким образом, мы рассмотрели особенности методов и приемов решения ТУ на конкретных примерах.

Обобщая изученное, можно представить основные методы и приемы решения ТУ в виде понятийного кластера (рис. 12).

Процесс решения ТУ непрост и многообразен. Выбор метода решения ТУ определен сложностью тригонометрического выражения, входящего в уравнение, и уравнением математических знаний и умений самого решающего этого ТУ.

 

Формулы приведения

Методы и приемы решения ТУ

 

 

Замена переменной

 

 

Основные тригонометрические тождества

 

 

Формулы понижения степени

 

 

Разложение на множители

 

 

Преобразование сумм в произведение

 

 

 

Преобразование произведений в суммы

 

 

 

Ограниченность функции

 

 

Суммы и разности двух аргументов (формулы сложения)

Метод оценки

 

 

Ограниченность

синуса и косинуса

 

 

 

Метод вспомогательного аргумента

 

 

 

Универсальная тригонометрическая подстановка

 

 

Рис. 12

Формулы половинного, двойного, тройного аргумента

 

Заключение

ТУ одна из самых сложных тем в школьном курсе алгебры и начал анализа, несмотря на это, тригонометрия и ТУ интереснейшая тема раздела математики, развивающаяся на протяжении долгого времени. Данные уравнения имеют свои отличительные особенности, которые подразделяют уравнения на определенные виды. Следовательно, для каждого из видов можно применить те или иные методы и приемы решения ТУ.

В процессе исследования нами рассмотрены теоретический и практический материал по данной теме.

В теоретической части исследования раскрыты базовые понятия и термины, связанные с ТУ. Это такие понятия как «тригонометрическое уравнение», «», «», «» и «». Выделены этапы решения ТУ и перечислены методы и приемы их решения. Составлен кластер, обобщающий изученный теоретический материал.

В практической части с помощью конкретных примеров описаны методы и приемы решения ТУ, а также составлен кластер для обобщения и систематизации методов и приемов решений ТУ.

В процессе изучения темы курсового исследования проанализировали большой объем источников. В результате исследования проведено обобщение методов и приемов решения ТУ, которое представлено кластером, и поставленная цель достигнута.

Список использованных источников

Азаров, А.И. Тригонометрические уравнения. [Текст] / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосенко. – Минск: Тривиум, 1994. – 160 с.

Антонов, В.И., Копелевич, Ф.И. Элементарная математика для первокурсника [Текст]: Учеб. Пособие. – М.: СПб Лань, 2013. – 112 с.

Балаян, Э.Н. Практикум по решению задач: тригонометрические уравнения, неравенства и системы. [Текст] / Э.Н. Балаян. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 160 с.

Бардушкин, В. Тригонометрические уравнения. Отбор корней // В. Бардушкин, А. Прокофьев // Математика. – 2005. – №12. – С. 23-27.

Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. [Текст] / М.И. Башмаков – 2 изд. – М: Просвещение, 1992. – 351 с.

Блинов, Т.Л. Предупреждение ошибок при решении тригонометрических уравнений на ЕГЭ. / Т.В. Блинов // Математика в школе. – 2015. – №9. – С. 21-24.

Бородуля, И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства.: Кн. Для учителя. [Текст] / И.Т. Бородуля. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.

Гельфанд, И.М. как решить тригонометрическое уравнение. / И.М. Гельфанд // Математика. Первое сентября. – 2010. – №11 – С.21-28.

Гельфанд, И.М. Тригонометрия. [Текст] / И.М Гельфанд. С.М. Львовский, А.Л. Тоом. – М.: МЦНМО, 2002. – 199 с.

Герш, И.Г. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

Кисель, Г.В. Нестандартные тригонометрические уравнения. / Г.В. Кисель // Математика. Все для учителя! – 2014. – №5. – С. 35-37.

Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Макарычев, Ю.Н. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 1997. – 224 с.

Моденов, П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики / П.С. Моденов. – 2-е изд., доп., испр. – М.: Высш. школа, 1960. – 765 с.

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа [Текст] / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2015. – 184 с.

Мордкович, А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 – 11 классы. [Текст] // Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2015. – 271 с.

Мугаллимова, С.Р. Обучение отбору крней тригонометрического уравнения: 10-11 класс / С.Р. Мугаллимова // Математика – Первое сентября. – 2014. – №10. – С. 30–32.

Новоселов, С.И. Специальный курс тригонометрии. [Текст] / С.И. Новоселов. – М.: Советская наука, 1953. – 466 с.

Потапов, М.К.. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. [Электронный доступ] / М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – Режим доступа: http://mathus.ru/math/trigonur2.pdf – Загл. с экрана.

Прокофьев, А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1). [Электронный доступ] / А.А.Прокофьев, А.Г. Корянов. – Режим доступа: https://www.miet.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/%D0%A11_2012miet.pdf – Загл. с экрана.

Сканави, М.И. Элементарная математика. [Текст] / М.И. Сканави. – 2-е изд., перераб. и доп., – М.: Наука, 1974. – 592 с.

Суханова, Н.В. Выстраивание параллельных связей на числовых осях и концентрических окружностях с помощью кластера. [Текст] / Н.В. Суханова, П.И. Совертков // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. – 2015. – №8 – С. 36-86.

Суханова, Н.В. Систематизирующий фактор кластера по математике. [Текст] / Н.В. Суханова, П.И. Совертков // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. – 2016. – №9 – С. 111-118.

Цыпкин, А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. [Текст] / А.Г. Цыпкин. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 432 с.

Шабунин, М.И. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений: профил. уровень / М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, О.Н. Доброва. – М.: Просвещение, – 2009. – 143 с.

Яковлев, И.В. Простейшие тригонометрические уравнения [Электронный доступ] / И.В. Яковлев. – Режим доступа: http://mathus.ru/math/trigeqprost.pdf – Загл. с экрана.

Код для цитирования: Скопировать