X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Раздел исследования операций, занимающийся математическими моделями принятия оптимальных решений в условиях конфликта, называется теорией игр.В рамках теории игр развивается специфический математический аппарат, направленный на моделирование процессов принятия решений в сложных социально-экономических, политических и прочих конфликтах.Теория игр используется в различных областях человеческой деятельности, таких как экономика и маркетинг, промышленность и сельское хозяйство, военное дело и строительство, торговля и автотранспорт, связь и т.д.

Принятие решения в условиях неопределенности – первая задача теории оптимальных решений. Для решения схожих вопросов разработаны особые математические методы, которые рассматриваются в теории игр.

В данной статье затронем и рассмотрим платежную матрицу,нижнюю и верхнюю цены игры, игру с седловой точкой и примеры матричных игр.

Игра есть математическая модель реальной конфликтной ситуации, анализ которой ведется по определенным правилам. Заинтересованные стороны игры называются игроками.

Конечная игра, в которой игрок A имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий, называется игрой m на n и обозначается _{.Обозначим стратегии игрока A символами A1, A2, …, Am, а стратегии игрока B – B1, B2, …, Bn. Пусть игрок A выбрал стратегию Ai, а игрок B–стратегию Bj. Пара стратегий Ai и Bj(i=1, 2, …, m;j=1, 2, …, n) однозначно определит исход игры, а именно–выигрыш aij игрока A и проигрыш (-aij) игрока B. Причем число aijможет быть как положительным, так и отрицательным. Матрица P=(aij), называется платежной матрицей или матрицей игры. Строки платежной матрицы соответствуют стратегиям игрока A, а столбцы – стратегиям игрока B. Такие стратегии называют чистыми стратегиями. Матрица игры} представлена в таблице 1.

Таблица 1

_{Матрица игры}

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Приведем пример простейшей задачи. Игрок А выбирает одну из сторон монеты, второй игрок В, не зная выбора первого игрока, так же выбирает сторону монеты. После того как выбор сделан, игрок А платит игроку В двеусловные единицы, если стороны совпали, и получает двеусловныеединицы в противоположном случае. Таким образом, можем представить данную задачу в виде матрицы игры (таблица 2).

Таблица 2

Пример матрицы игры

Стратегии игроков	В1 – «орёл»	В2- «решка»
А1 – «орёл»	-2	2
А2- «решка»	2	-2

И в виде матрицы:

Р=	-2	2
	2	-2

Пусть задана игра с матрицей P_=(aij), из которой мы выбираем наилучшую из стратегий _{A1, A2, …, Am.}.Если игрок A выбрал стратегию A_i, то он должен рассчитывать, что игрок B ответит на нее той из стратегий B_j, при которой выигрыш игрока A будет минимален.

Обозначим через наименьший из возможных выигрышей игрока A, если он выбрал стратегию A_i, то есть .Пусть . Число называют нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином). Следовательно, является гарантированным выигрышем игрока A для любой стратегии игрока B. Обобщая формулы можно окончательно записать, что . Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Аналогично, пусть , а .Число называют верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Гарантированным проигрышем игрока B является минимакс. Стратегию, соответствующую минимаксу называют минимаксной стратегией. Принципом минимакса называют принцип, заставляющий игроков выбирать минимаксную и максиминную стратегию. Этот принцип вытекает из предположения, что каждый участник игры стремится к цели, противоположной цели противника.

Если ,то число называют чистой ценой игры или просто ценой игры. Элемент матрицы, соответствующий _{, называют седловой точкой матрицы.}Игру, в которой ,называют игрой с седловой точкой. Седловой точку соответствует пара минимаксных стратегий. Минимаксные стратегии,которые соответствуют цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением или решением игры.

Свойство оптимального решения:если одна сторона придерживается своей оптимальной стратегии, а вторая отклоняется от своей стратегии, то для стороны, допустившей отклонение, это никогда не может быть выгодно.

Рассмотрим пример игры с седловой точкой.

Найти верхнюю и нижнюю цену игры с платёжной матрицей:

3	2	1	4
10	4	3	10
-2	4	1	2

Решение. В каждой строке платежной матрицы мы найдем наименьший элемент и запишем его справа от матрицы. В каждом столбце найдем наибольший элемент и запишем его внизу от матрицы:

3	2	1	4	1
10	4	3	10	3
-2	4	1	2	-2
10	4	3	10

Таким образом,

- нижняя цена игры: α=max{1,3,-2}=3;

- верхняя цена игры: β=min{10,4,3,10}=3;

- α=β= = 3.

Класс игр, имеющих седловую точку, дает интерес как с теоретической, так и с фактической точки зрения.

В теории игр доказывается, что, в частности, любая игра с полной информацией имеет седловую точку, и, следовательно, любая такая игра имеет заключение, т.е. есть пара хороших стратегий той и другой стороны, дающая средний выигрыш, равный цене игры. Если игра с полной информацией состоит лишь из личных ходов, то при использовании каждой стороной своей оптимальной стратегии она обязана постоянно заканчиваться вполне конкретным исходом, а именно, выигрышем в точности равным цене игры.

Могут встречаться и случаи, когда платежная матрица имеет несколько седловых точек, однако это никак не изменит характера рекомендуемых решений, поскольку все ситуации равновесия имеют одну и ту же цену и, следовательно, эквиваленты.

Теория матричных игр позволяет нам рассматривать и с легкостью решать задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого зависит также и от решений, принимаемых остальными участниками. Поэтому важная роль в матричных играх отводится применению задач матричных игр на практике. В экономике игроки - это предприятия-производители, торговые компании, банки и другие организации. Рассмотрим матричную игру на примере швейного предприятия.

Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует 500юбок и 1000пиджаков, а при прохладной погоде - 800юбок и 100пиджаков. Затраты на изготовление однойюбки равны 600, а платья –900 рублям, цена реализации соответственно равна 1200 рублей и 1800 рублей. Определить оптимальную стратегию швейного предприятия.

Составим математическую модель задачи. В связи с возможными состояниями спроса предприятие располагает двумя стратегиями.

1) А₁ = (500, 1000) – реализует 500 юбок и 1000 пиджаков;

2)А₂ = (800, 100) –реализует800 юбок и 100 пиджаков.

Природа располагает также двумя стратегиями:

1)В₁–теплая погода;

2)В₂–прохладная погода.

Если предприятие примет стратегию А₁ и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (В₁), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит:

Р₁₁ =500*(1 200-600) + 1000*(1 800-900) =1 200 000.

Если предприятие примет стратегию А₁, а спрос будет находиться в состоянии В₂ (прохладнаяпогода), то пиджаки будут реализованы лишь частично, и предприятие будет нести убытки:

Р₁₂ = 500*(1 200-600) + 100*(1 800-900) – (1 000-100)*900= - 420 000.

Аналогично, если предприятие выберет стратегию А₂, а природа – стратегию В₁ (т.е. теплаяпогода), то доход составит:

Р₂₁ =500*(1 200-600) + 100*(1 800-900) – (800-500)*600= 210 000.

Если же природа выберет стратегию В₂, то:

Р₂₂ = 800*(1 200-600) + 100*(1 800-900) = 570 000.

Рассматривая предприятие и природу в качестве двух игроков, получим платежную матрицу игры:

Р=	1 200 000	-420 000
	210 000	570 000

Эта матрица будет служить игровой моделью задачи.

Поскольку максиминная стратегия игры составляет α = max (-420 000, 210 000) = 210 000, а минимаксная β = min (1 200 000, 570 000) = 570 000, то цена игры Vлежит в диапазоне от 210 000 до570 000 рублей.

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегиюx = (x₁,x₂), а второй игрок – чистую стратегию, соответствующую первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры V:

1 200 000x₁+ 210 000x₂ = V.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответствующую второму столбцу платежной матрицы, тогда

-420 000x₁ + 570 000x₂ = V.

Учитывая, что х₁ + х₂ = 1 , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

1 200 000x₁+ 210 000 x₂ = V;

-420 000 x₁ + 570 000x₂ = V;

х₁ + х₂ = 1.

Решая эту систему уравнений, находим:

х₁ 0,181818

х₂ 0,818182

V = 390 000

Оптимальная стратегия предприятия:

Таким образом, швейному предприятию оптимально произвести 745юбок и 263пиджака.

В экономике часто возникают моменты, когда необходимо принять оптимальное решение, а вариантов принятия решений несколько. Теория игр в экономике - это отличный инструмент прогнозирования. С помощью матричных игр можно определить оптимальный выпуск продукции для предприятия, оптимальную выплату страховых взносов и т. п.

Список литературы:

Основы теории игр: учебное пособие / Л.В. Колобашкина. — 3-е изд., испр. и доп. .— М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.

Математическая теория игр и приложения / В.В. Мазалов. - М.: Лань, 2016. - 448 c.

Теория игр и исследование операций / Лемешко Б.Ю. - Новосиб.:НГТУ, 2013. - 167 с.

http://ru/wikipedia.org/

Код для цитирования: Скопировать