X Международная студенческая научная конференция
«Студенческий научный форум» - 2018
 
     

ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ
Балашова К.В., Сергушкин И.А.
Текст научной работы размещён без изображений и формул.
Полная версия научной работы доступна в формате PDF


В учебниках определения параметра нет, в толковых словарях оно дается неоднозначно. Нас же будет интересовать значение термина «параметр» с точки зрения математики. «Параметр (гр. Parametron-отмеривающий) – математическая величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. Переменные а, b, c, …, k, которые при решении заданий считаются постоянными, называются параметрами, а сами задания называются заданиями, содержащими параметры» То есть, если в уравнении (неравенстве), некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Например,

, ,

и т.д.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Как начинать решать такие задачи? И что означает «решить параметрическую задачу»? Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства: привести заданное уравнение (неравенство) к более простому виду, например, разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д. Решая такие задания нужно множество раз обращаться к его текстовой части с целью выполнения сформулированного там условия.

Проще говоря, решить задачу с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Каковы основные типы задач с параметрами?

1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Например: При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

2. Уравнения (неравенства), для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Например: При каких уравнение имеет ровно три корня?

3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, при которых указанные уравнения (неравенства) имеют заданное число решений ( или не имеют решений, или имеют бесконечно много решений).

Например: Найдите все значения параметра а при каждом из которых уравнение -13а+5 имеетровно два корня.

4. Уравнения (неравенства), для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например: При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ применения стандартных операций при решении уравнений (неравенств) без параметра, он же, на мой взгляд, и самый трудный. При решении заданий аналитическим способом требуется знать большой объем математической информации и уметь грамотно это применять.

Привем решение задания с параметром, которое решается аналитическим способом:

  1. Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим функции и

Функция

1.Пусть , тогда (раскрываем модуль со знаком минус) , . Получаем, что угловой коэффициент функции равен 4 либо 12, (так как может быть одинаковый знак в зависимости от числа х.) При таких значениях график функции возрастает (так как коэффициент больше 0)

2.Пусть , тогда , Получаем, что угловой коэффициент функции равен -4 либо -12. При таких значениях график функции убывает (так как коэффициент меньше 0)

3.При х=0, тогда Получаем, что = Функция возрастает при и убывает при , поэтому =

Исходное уравнение имеет один корень, когда

откуда , либо , где а=-5.

Ответ: -5,

Способ II (графический). Наиболее понятный и очень наглядный способ решения. Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Естественно, что для этого просто необходимо знать типы элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические), их свойства и графики (кстати, в ВУЗах эта тема в курсе высшей математики изучается одной из первых) Использование графического способа даже схематически помогает найти решение задачи. Решая задания графическим способом, я сделала следующее наблюдение: если в правой и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то можно смело утверждать, что решение аналитическим способом такой задачи бессмысленно, не нужно тратить на него время, а лучше сразу же создать графическую иллюстрацию задания. Наглядно и быстро!

Приведу пример задания 18 ЕГЭ, которое очень легко решается этим способом:

  1. Найдите все значенияа, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Запишем уравнение в виде и рассмотрим две функции и .

Рассмотрим функцию , преобразовывая подкоренное выражение, получим:

. Таким образом, получаем.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.

Графиком функции является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).

Рассмотрим рисунок: 1. Прямая МС является касательной к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение а=0, при котором уравнение имеет один единственный корень.

2. Проведем прямую через точки М(4;2) и А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА пересекает график полуокружности в двух точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

-4а+16а+2=2 3а+4а+2=0

12а=0 7а=-2

а=0. а=

Получаем, -а=0 и а=.

При условии прямые имеют с графиком две общие точки, а это не удовлетворяет условию задачи.

3. Проведем прямую МВ через точки М(4;2) и В(1;0). Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию.

3а+4а+2=0 -а+4а+2=0

7а=-2 3а=-2

а= а =

Получаем –а= и –а=. При условии прямые имеют с графиком одну общие точки и это удовлетворяет условию задачи.Ответ: а=0,

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После проведенных упрощений возвращаются к исходному смыслу переменных x и a и заканчивают решение.

Ниже представлено решение параметрического задания данным способом:

3.При всех значениях параметра а решить уравнение: |х + 3| - a|x – 1| = 4.

Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в ноль. Получили х= -3 и х=1. Разобьем числовую прямую на 3 части полученными точками и решим 3 системы: 1) , если . Найденный будет решением, если .

2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же , то решением является любой .

В данной работе рассмотрены способы и приёмы решения задач с параметром. По нашему мнению наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметром.

Литература

  1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами.

(www.alexlarin.narod.ru)

  1. Сайт www.alexlarin.narod.ru