IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В данной работе исследованы колебания математического маятника, при разных углах отклонения, с помощью приложения для математических и инженерных вычислений PTC Mathcad 15. Были исследованы временные зависимости углов отклонений при заданных начальных углах отклонения более пяти градусов. Построены графики данных временных зависимостей. Проанализирован характер колебаний и зависимости колебаний от времени при различных значениях начальных углов отклонения маятника. Сделан вывод об отличии исследуемых колебаний от гармонических. Среди множества различных незатухающих колебаний простейшим является гармоническое колебательное движение, описываемое функцией синуса или косинуса:

где: – угол отклонения маятника, А – амплитуда колебаний ,  = () – фаза колебаний, – начальная фаза, т.е. значение фазы в начальный момент времени t = 0, – циклическая частота колебаний, t – время. ^[1] Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:

При малом угле отклонения с хорошей точностью значение синуса можно заменить на значение угла, при условии, что угол выражен в радианах. Например, сравним sin 5⁰  0,087156 и  0,087266. Видно, что разница Δ = 0,00011. Таким образом, если угол < 5⁰ и выражен в радианах, то абсолютная погрешность такой замены составляет 0,1% . ^[2] В результате замены мы получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

его аналитическое решение является формула :

Анализ аналитического решения дифференциального уравнения колебаний математического маятника, при условии > 5⁰, сложен, поэтому наиболее целесообразным будет прибегнуть к нахождению решения численными методами. Для решения дифференциальных уравнений Mathcad предоставляет пользователю библиотеку встроенных функций Differential Equation Solving, предназначенных для численного решения дифференциальных уравнений. ^[3] Встроенная функция odesolve предназначена для решения дифференциальных уравнений, линейных относительно старшей производной. В отличие от других функций библиотеки Differential Equation Solving, odesolve решает дифференциальные уравнения, записанные в общепринятой математической литературе в виде задачи Коши. ^[4] С помощью данной функции было получено графическое решение уравнения для семи функций с произвольно взятыми углами, равными и превышающими значение 5⁰.

Рис. 1. График гармонического колебания и исследуемых колебаний, при начальных углах отклонения 10⁰, 15⁰, 20⁰, 25⁰, 30⁰

Даля анализа исследуемых колебаний построим на одном графике гармоническую функцию данной амплитуды и исследуемый график.

Рис. 2. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 10⁰.

Рис. 3. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 20⁰.

Рис. 4. Сравнение гармонической функциис графиком исследуемых колебаний , при начальном угле отклонения = 30⁰.

В результате математических вычислений, был рассчитан процент максимального отличия графика гармонических колебаний от графиков исследуемых колебаний. Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Начальный угол отклонения , град.	10	20	30
Время максимального различия, с. (T – это период колебаний маятника, с.)	T/8	T/10	T/13
Процент максимального отклонения, %	5.9	7.2	9.5

Таблица 1. Результаты вычислений процента максимального отличия графика гармонических колебаний от графиков исследуемых колебаний.

Экспериментально были получены данные о зависимости времени t совершения N = 30 полных колебаний математического маятника от начального угла отклонения при выбранной длине подвеса L = 1м, которые представлены в таблице 2.

Начальный угол отклонения , град.	5	10	15	20	25	30
Период 30 полных колебаний T, с	1,960	1,963	1,980	2,023	2,026	2,030

Таблица 2. Соотношение показателей периода 30 колебаний с начальным углом отклонения маятника

По этим данным построим график отношений периода исследуемых колебаний к периоду гармонических колебаний, с использованием параметров и, где под будем иметь в виду угол отклонения, а это относительное отклонение периода исследуемых колебаний от периода гармонических колебаний, рассчитывается по формуле:

Где - это период гармонического колебания, - период исследуемых колебаний. Периода рассчитываемый по формуле:

Где 𝑔 = 9,81 ускорение свободного падения для Земли, L – длина математического маятника (1 метр);

Расчётная формула периода имеет вид:

Где t – это время 30 полных колебаний – это количество совершённых полных колебаний маятника.

Рис.5. График зависимости относительного отклонение, от начального угла отклонения .

При анализе данного графика можно сделать вывод, что с увеличением угла отклонения, период колебаний так же увеличивается.

На основании проделанной работы, а также с учетом абсолютной погрешности, которая в данной работе составляет, можно сделать вывод, что колебание математического маятника при начальном угле отклонения равном 10⁰ , можно считать гармоническим, а при угле отклонения в 20⁰ и 30⁰ , колебания уже не будут считаться гармоническими.

Список использованной литературы и интернет ресурсов

[1] Геворкян Р.Г. Курс физики. Москва 1979 г. Глава 4. Стр.67

[2] Арсеньев А.Н., Ефимова А.А. Методическая разработка к выполнению лабораторных работ по теме колебания. Самара 2012 г. Приложение I. Стр.36

[3] www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp

[4] www.exponenta.ru/soft/mathcad/learn/ode/ode.asp#odesolve - ODESOLVE.

Код для цитирования: Скопировать