IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Решение банковской задачи с помощью дерева решений.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для особо результативного решения задач, возникающих в сфере экономики, с применением как правило, актуальных компьютерных технологий. Математические методы также часто применяются ив банковской сфере, в основном встречаются различные методы в статистики и алгебры. Для начала, это именно финансовые вычисления, то есть нормы процента, банковские комиссии. Далее, действия с ценными бумагами. И наконец, исследование платежеспособности банковских клиентов, некоторые проблемы могут найти свое решение, лишь с применением вычислительной техники и численных методов.

В области действий с ценными бумагами, математические методы в последнее время чаще используются при аналитической работе, когда стремятся сделать модели, которые описывают поведение финансового рынка в целом, так и поведение отдельных ценных бумаг. Здесь применяются достаточно сложные статистические методы, включающие анализ временных рядов и регрессивный анализ. Кроме того, применяются разнообразные приемы из теорий случайных процессов, а также теории вероятности.

Особенно пользуются популярностью методы анализа данных и принятия решений, такие как деревья решений и методы исследования иерархий, мы рассмотрим их чуть позже. Если надо принять ряд решений в условиях неопределенности, то любое решение подчиняется исходам испытаний или результату предшествующего решения. В данном случае используют схему, которую называют деревом решений. Дерево решений это способ получения решений, представленных графически, там находят отражение многовариантные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие возможности и выигрыши для всяких сочетаний альтернатив и состояний среды. Существует и отличное определение: деревья решений - метод представления правил в иерархическом, ступенчатом строении, где любому объекту сопоставляется один узел с решением.

Решение математическим методом экономических задач с помощью дерева решений.

Пример 1. Бизнесмену для нового проекта потребовалось финансирование, для этого ему сроком на год нужно взять заем в 15000 ф.ст. Под 15% годовых банк готов выдать ему эти деньги или под 9% годовых вложиться в дело со 100%-ым возвратом суммы. Банкир знает из нажитого опыта, что около 4%-ех заемщиков ссуду не отдают. Что же делать? Выдать ссуду или нет? Рассмотрим пример задачи с решением, при этом используем два варианта: дерево решений и таблицу доходов.

.Решение 1 (по таблице доходов). Максимизируем предвидимый в конце года чистый доход не что иное, как разность суммы, полученной в конце года, и инвестированной в его начале. Следовательно, если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит:

Чистый доход = ((15000 + 15% от 15000) - 15000) = 2250 ф. ст.

Таблица 1. Чистый доход в конце года, ф. ст.

Возможные исходы	Возможные решения		Вероятность
	Выдавать заем	Не выдавать
Клиент заем возвращает	2250	1350	0,96
Клиент заем не возвращает	-15000	1350	0,04
Ожидаемый чистый доход	1560	1350

Если банк решает выдать заем, то максимальный ожидаемый чистый доход равен 1560 ф.ст.

Решение 2 (по "дереву" решений).

В данном случае также используем критерий максимизации ожидаемого чистого дохода на конец года.

Рис. 1. "Дерево" решений для примера 1.

Далее расчет ведется аналогично расчетам по таблице доходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом:

В кружке А: Е (давать заем) = {17250 х 0,96 + 0 х 0,04} - 15000 = 16500- 15000 = 1560 ф. ст.

В кружке Б: Е (не давать заем) = {16350 х 1,0- 15000} = 1350 ф. ст.

Так как ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимаем решение выдать заем.

Расчет двухуровневого "дерева" решений

Рекомендация после проверки кредитоспособности	Фактический результат		Всего
	Клиент ссуду вернул	Клиент ссуду не вернул
Давать ссуду	735	15	750
Не давать ссуду	225	25	250
Всего	960	40	1000

Пример 2. Рассмотрим более сложный случай: банк решил проверить конкурентоспособность клиента, прежде чем выдавать заем. Аудиторская компания за проверку берет 80 ф.ст.с банка. Перед банком возникает две проблемы: первая следует проводить или нет проверку, вторая — выдавать после этого заем или нет. Решая первую проблему, банк проверяет достоверность выдаваемых аудиторской компанией сведений. Для этого выбираются 1000 клиентов, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды:

Таблица 2. Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды

Какое решение должен принять банк?

Решение.

Этап 1. Построим "дерево", как показано ниже. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл. 2, вычислим вероятность каждого исхода:

Р (клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала)= 7,35/ 750 = 0,98,

Р (клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала)=15/ 750= 0,02;

Р (клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 =0,9;

Р (клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= 25/ 250= 0,1.

Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из "узлов", используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, опираясь на ранее полученные результаты, подсчитываем все "дерево". Когда пройдены квадраты "решений" берется "ветвь", которая ведет к наиболее высокому доходу при данных возможностях. Соседняя "ветвь" зачеркивается, а над квадратом решения пишется ожидаемый доход.

Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?)

Доход, ожидаемый от исхода В: Е (В) = 17250 ф. ст. х 0,98 + 0 х 0,02 = 16905 ф.ст.,

чистый ожидаемый доход: NE (В) = 16905 - 15000 = 1905 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода С: Е (С) = 16350 ф. ст. х 1,0 = 16350 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход: NE (С) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

Рис.2. "Дерево" решений для банка с учетом аудиторской проверки. Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем. Приняв решение, корректируем "дерево", проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. "Ветвь" - не давать заем - зачеркивается, показано на рис. 3.

То же самое с кружками исходов D и Е - результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D: E(D) = (17250 ф. ст. хО,9) + (0 х 0,1)= 15525 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход: NE (D) = 15525 - 15000 = 525 ф. ст.

Аналогично для исхода Е: Е (Е) = 16350 ф. ст. х 1,0 = 16350 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход: NE (Е) = 16350 - 15000 - 1350 ф. ст.

Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение выдать заем.

Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

Е (F) = 17250 ф. ст. х 0,96 + 0 х 0,04 = 16560 ф. ст.;

NE (F) = 16560 - 15000 = 1560 ф. ст.;

Е (G) = 16350 х 1,0= 16350 ф. ст.;

NE (G) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная "ветвь" перечеркивается. Теперь вернемся к "узлам" А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:

Е (А) = (1905 ф. ст. х 0,75) + (1350 ф. ст. х 0,25) = 1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход: NE (А) = 1766 - 80 = 1686 ф. ст.

Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом "узле" максимальное математическое ожидание - 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную "ветвь".

На рис. 3 стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача заема рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 - выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 - не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные9% годовых. "Дерево" окончательных решений для примера 2. приведено на рисунке.

Таким образом, мы рассмотрели математические методы для решения экономических задач на конкретном примере . Можно сделать вывод, что математические методы имеют большую степень универсальности, потому что подходят как для решения научных задач, так и экономических. Применение математических методов в экономике способно внести существенный вклад в экономическую теорию и хозяйственную практику.

Список литературы:

1.  

   1. Гуринович C.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: пособие /. — Минск : Новое знание, 2008.—264 с.

   2. Куликов JI. М. Основы экономических знаний: Учеб.пособие. - М.:Финансы и статистика, 1999

   3. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. - М.: Школа-Пресс, 1999.

   4. Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе: Учеб.пособие/А.М. Дубров, Б.А. Лагоша Е.Ю. Хрусталев; Под ред. Б.А. Лагоши.— М.: Финансы и статистика, 2000.— 176 с

Код для цитирования: Скопировать