IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Примером осесимметричной задачи является задача Ламе о толстостенной круглой трубе, находящейся под действием внутреннего р_а и внешнего рb равномерных давлений. Внутренний радиус трубы равен а, а внешний b.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для напряжений полученными из общего решения осесимметричной задачи в перемещениях. Так как наша задача относится к случаю плоской деформации, то уравнения для напряжений должны включать упругие постоянные E₁ и ν₁ согласно формулам, т.е. иметь такой вид:

Для определения постоянных А и В имеем следующие условия на поверхности:

При r=a должно быть = - р_а

При r = b должно быть = - рb

Подставляя эти условия в формулы, получаем:

- р =

- рb =

Решая совместно эти уравнения, находим:

А=

B=

После подстановки найденных постоянных в уравнения получаем напряжения:

Интересно отметить, что сумма нормальных напряжений и во всех точках трубы одинаковы. Действительно, складывая почленно выражения для нормальных напряжений в формулах находим:

=

В случае плоской деформации возникает также нормальное напряжение в сечениях трубы, перпендикулярных к её оси, имеем:

Подставляя сюда сумму нормальных напряжений и из соотношения (б), получаем:

Таким образом, осевое нормальное напряжение постоянно по длине трубы. Исключение составляют сечения, находящиеся вблизи концов трубы, где, очевидно, труба не будет испытывать плоской деформации.

В частном случае, когда на трубу действует только внутреннее давление, т.е. когда =0, формулы для напряжений примут следующий вид:

Эпюры этих напряжений изображены на рис. Наибольшие сжимающие радиальные и растягивающие тангенциальные нормальные напряжения возникают в точках у внутренней поверхности трубы при r=a:

max

max

в трубах у наружной поверхности трубы при r=b имеем:

Рассмотрим трубу с наружным диаметром, намного большим внутреннего. Из формул после деления числителя и знаменателя на b² получаем:

Переходя к пределу при b→∞, находим:

Это значит, что все точки трубы испытывают одинаковые по величине радиальные и тангенциальные напряжения. Отличающиеся лишь знаком и, следовательно, труба с бесконечно большим наружным радиусом находится в условиях чистого сдвига. В точках внутренней поверхности при r=a эти напряжения равны давлению , а в точках при r=4a они составляют 1/16.

Если в практических расчетах достаточна точность в 6%, то наружный радиус b>4а можно считать бесконечно большим. В этом случае решение не связано с формой внешнего контура и формулы дают распределение напряжения для трубы с любой формой внешнего контура при условии, что все точки его находятся на расстоянии от центра отверстия большем 4а.

В частном случае, когда на трубу действует только наружное давление, из формул получаем, положив =0, следующие напряжения:

Эпюры этих напряжений изображены на рис. В точках внутренней поверхности при r=a они достигают следующих значений:

А в точках натужной поверхности при r=b

Нержавеющие толстостенные бесшовные трубы применяют в различных отраслях промышленности.

Эта разновидность трубопроката является очень прочной, такие изделия предназначены для тяжелых условий работы при высоких давлениях и температурах.

Области применения описываемых конструкций обусловлены главной их особенностью – отсутствием шва. Одним из крупнейших потребителей толстостенных изделий без шва считается химическая промышленность. Толстые стенки труб оптимальны для использования их в гидросистемах, например, для выпуска корпусов гидравлических цилиндров, работающих под серьезнейшими нагрузками, в установках для полимеризации газов, промышленных автоклавах для обработки химического сырья.

Не менее востребованы описываемые нами изделия и нефтегазовыми предприятиями. С их помощью производится обустройство ответственных и сложных участков газонефтепроводов, перерабатывающих узлов, буровых и компрессорных станций. Такие трубы, кроме того, незаменимы для выполнения обсадных работ.

В энергетической сфере герои нашего рассказа используются для монтажа комплексов, подающих пар к турбинам от котлов и топок, ширм и специальных защитных экранов котельного оборудования. Трубы с толстыми стенками применяются и на атомных электростанциях.

6

Код для цитирования: Скопировать