IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение y′=f(x,y) и начальное условие y(x₀) = у₀. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x₀,y₀) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x₀,y₀) задаёт начальные условия.

Методы Рунге-Кутты – важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (MATHCAD, MAPLE, MATLAB) стандартная схема четвёртого порядка.

Рассмотрим задачу Коши: y′=f(x,y), y(x₀)=y₀. Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

(1)

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

1. k₁=f(xn, yn),

2. k₂=f(xn+h/2, yn+(h/2)·k₁),

3. k₃=f(xn+h/2, yn+(h/2)·k₂),

4. k₄=f(xn+h, yn+h·k₃), где h – величина шага сетки по x.

Пример. Вычислить методом Рунге-Кутты интеграл дифференциального уравнения y=x²-3y² при начальном условии y(0)=1 на отрезке x=[0, 0.5] с шагом интегрирования h=0.1.

Решение. Вычислим y₁. Для этого сначала последовательно вычисляем k_j:

(2)

(3)

(4)

(5)

Теперь получим

(6)

и, следовательно,

(7)

Аналогично вычисляются последующие приближения (табл.1).

Таблица 1. Приближения Рунге-Кутты четвёртого порядка

j	x(j)	y(j)
0	0	1
1	0.1	0.76955
2	0.2	0.62723
3	0.3	0.5334
4	0.4	0.47067
5	0.5	0.4305

Так же этот алгоритм был реализован в MATLAB. Код программы (Рис. 1), полученные результаты (Рис. 2) и построенный график (Рис. 3) приведены ниже.

Рис. 1. Код программы в MATLAB

Рис. 2. Результаты методом Рунге-Кутты четвёртого порядка

Рис. 3. График Рунге-Кутты четвёртого порядка

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O(h⁵)).

В современных программах, реализующих методы Рунге-Кутты, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования.

На участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. На участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать более мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величиной, получаемой в ходе вычислений оценки погрешности.

Изменение шага для методов Рунге-Кутты сложности не представляет. Оценить погрешность достаточно сложно, так как простые способы оценки погрешности отсутствуют.

Методы Рунге-Кутты легко программируются, обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости, для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов, позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

Список литературы:

1. Абакумов, М.В. Лекции по численным методам математической физики: Учебное пособие / М.В. Абакумов, А.В. Гулин. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. 158 c.

2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:Дрофа, 2005.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 632 с.

4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие. -2-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2006.

5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – Изд. 2-е,испр., доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

Код для цитирования: Скопировать