IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Проблема исследования

За кафедрой естественнонаучных дисциплин Уральского госуниверситета путей сообщения закреплено 214 учебных курсов, которые должны быть обеспечены рабочими программами. Этот массив документов требует корректировки в связи с появлением новых требований и коррекцией учебных планов. Возникает необходимость вероятностного прогнозирования работы сотрудников кафедры, занятых этим вопросом.

Задача исследования

Подразделение обеспечивает соответствие документов текущим требованиям. Количество документов примем равным двумстам. Каждый документ в течение года (в случайном порядке) требует коррекции. Эту работу выполняют несколько (m) исполнителей с ограниченной производительностью. Задачей нашего исследования было изучение закономерности такого случайного процесса.

Техника исследования, первичный план и его коррекция

Первоначально предполагалось рассмотреть разное количество исполнителей (m равное от 1 до 4) с их разной номинальной производительностью (от 20 до 40) с помощью аппарата теории замкнутых систем массового обслуживания (СМО).

Граф состояний марковского процесса гибели-размножения, соответствующего такой СМО, представлен на рисунке.

В приведенном графе:

– Номер состояния соответствует количеству документов (из 200), требующих коррекции.

– Интенсивности перехода с увеличением номера состояния определяются количеством документов, не требующих коррекции в рассматриваемом состоянии.

– Интенсивности переходов с уменьшением номера состояния пропорциональны количеству каналов, вступивших в работу, и их номинальной производительности.

При известных интенсивностях переходов вероятности состояний находятся следующим образом. Сначала последовательно определяются вспомогательные коэффициенты k_i.

Затем появляется возможность последовательно определить значения p₀ и p_i.

Причем

Результаты вычисления вероятностей состояний, после группирования, интерпретировались как «успеваемость» кафедры, то есть вероятности того, что некоторая доля от обслуживаемых рабочих программ – в «исправном» состоянии.

В результате применения данной техники к ситуациям с разным количествам исполнителей были, в первую очередь, получены распределения вероятностей разных состояний «успеваемости». Попарно сравнивая результаты моделирования для СМО с разным количеством каналов обслуживания, но одинаковой общей номинальной производительностью всех каналов, мы заметили, что практическое значение имеет общая номинальная производительность СМО, а не её составные части. Действительно, различия в моделях этих СМО наблюдаются только в нескольких первых состояниях (причем, далеко не самых вероятных) из двухсот. Поэтому из дальнейшего исследования были исключены некоторые дубликаты ситуаций и доплнительно введены случаи с общей номинальной производительностью СМО mμ, равной 100 и 140, не реализованные в первичном плане.

Полиномы полученных распределений (для разных значений номинальной производительности СМО) и их интегральные функции представлены на двух следующих рисунках и в таблице:

Общие выводы по распределениям и статистикам

– В исследованном диапазоне мода распределения практически линейно зависит от общей номинальной производительности СМО.

– Математическое ожидание номера состояния в рассмотренном диапазоне совпадает с его модой.

– Вероятность десяти состояний, близких к моде, убывает при увеличении производительности СМО.

– Дисперсия номера состояния совпадает с номинальной производительностью СМО.

Только для СМО с производительностью 160 появляется заметное отклонение от последней из указанных выше закономерностей, что привлекает внимание к таким режимам работы СМО, в которых её производительность близка к максимально возможной интенсивности поступающих заявок.

В данном случая были взяты 5человек с производительностью 40 и общей производительностью СМО, равной 200. Обнаружились существенные отклонения от общих закономерностей. Наиболее вероятное состояние СМО – четвертое, дисперсия номера состояния становится относительно малой.

Основные выводы

– Исследование показало, что в большом диапазоне значений производительности СМО (10-80% от максимальной интенсивности заявок) из-за действия «законов больших чисел» для предсказания фактической производительности СМО случайностями в потоке заявок можно пренебрегать, то есть производительность СМО определяется пропускной способностью каналов, а не этими случайностями.

– При приближении производительности СМО к максимальной интенсивности заявок явно влияют особенности потока заявок, а дисперсия состояний возрастает (однако, при дальнейшем увеличении производительности, дисперсия демонстрирует резкий спад).

– Заметно, что взятая модель не вполне отражает действительность: из исследования следует, что каналы в СМО практически не простаивают, а в действительности простои имеют место.

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М. : Сов. Радио, 1972.

2. Марковские процессы и системы массового обслуживания : практикум / П. С. Гончарь, Н. В. Медведева, В. Л. Розинберг. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2012.

3. Кац И. Я., Скачков П. П., Толмачева М. А. Математические модели массового обслуживания: Программно-методический комплекс. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2001.

Код для цитирования: Скопировать