IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Математические модели проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания: астрономии, механике, физике, а также в теории дифференциальных уравнений.

Понятие дифференциального уравнения является одним из основных математических понятий. К дифференциальным уравнениям приходят в том случае, когда различные состояния изучаемого явления или процесса удается описать аналитически зависимостью между некоторыми параметрами и их производными.

Математическими моделями процессов, в которых скорость изменения величины можно считать пропорциональной значению этой величины, служат уравнения вида .

Вместе с тем встречаются процессы, в которых скорость изменения величины пропорциональна разности между значением искомой величины и некоторым постоянным значением . Такие процессы называются процессами выравнивания и описываются дифференциальным уравнением первого порядка вида

.

Закон процесса выравнивания с учетом начальных условий имеет вид

.

С неограниченным ростом времени наблюдения, т.е. при , значения функции стремятся к нулю. Тогда значения функции приближаются к . Говорят, что происходит стабилизация этих значений, отсюда и название процесса – процесс выравнивания.

Задача об остывании тела

Пример. Металлическая деталь, нагретая до , охлаждается в воздухе при температуре . Через 10 мин после начала охлаждения температура на поверхности детали понизилась до . Найти температуру на поверхности детали через 20 мин. Определить момент времени, когда температура на поверхности детали будет составлять .

Решение. Обозначим через температуру на поверхности детали в момент времени после начала охлаждения. Начальные условия задачи: . Дополнительные условия задачи: . Скорость охлаждения детали в момент времени равна . Считая температуру воздуха постоянной, получим дифференциальное уравнение процесса

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Найдем постоянную , используя начальные условия :

.

Получили закон охлаждения поверхности детали

Используя дополнительное условие задачи , найдем коэффициент пропорциональности :

Окончательно закон охлаждения поверхности детали принимает вид

.

Найдем температуру на поверхности детали через 20 мин после начала охлаждения.

.

Определим момент времени, когда температура на поверхности детали будет составлять . Для этого подставим в закон охлаждения поверхности детали :

Таким образом, менее, чем через 22 мин температура поверхности детали достигнет .

Код для цитирования: Скопировать