IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017
КРИТЕРИЙ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель данной работы выбрать такой критерий, который позволит избежать фатальных ошибок при решении прикладных задач теории вероятностей.
Постановка задачи.
Пусть проводится однотипных независимых испытаний с равной вероятностью появления события в каждом опыте. Тогда вероятность появления ровно событий определяется по точной формуле Бернулли
При достаточно больших значениях применяют приближенную формулу Пуассона
.
Обычное условие применимости этой формулы [1].
Относительная погрешность при этом
.
Рассмотрим простой пример: пусть , тогда относительная погрешность (сама вероятность при этом очень мала).
Цель исследования: вычисляя относительную погрешность формулы Пуассона оценить, при каких соотношениях параметров она применима.
При решении реальных задач события с вероятностью считаются практически невозможными и, поэтому в работе ими пренебрегаем.
Так как за исходные параметры выбраны , то для расчета точных значений по формуле Бернулли нужно задавать либо либо , а вторую величину вычислять в соответствии с формулой .
Все расчеты выполнены в пакете прикладных программ MathCAD 15 и для наглядности сведены в таблицы при различных значениях .
Серым цветом залиты позиции, для которых и/или .
|
λ k |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
|
0 |
0,535 |
1,066 |
2,645 |
5,219 |
10,166 |
23,511 |
41,495 |
||
|
1 |
10,517 |
9,926 |
8,173 |
5,312 |
0,185 |
15,012 |
34,994 |
||
|
2 |
38,93 |
3,847 |
5,312 |
5,36 |
7,458 |
28,493 |
|||
|
3 |
35,898 |
6,39 |
5,36 |
1,289 |
22,137 |
||||
|
4 |
71,51 |
27,192 |
0,493 |
3,099 |
16,081 |
||||
|
5 |
93,669 |
51,461 |
11,549 |
5,39 |
10,487 |
44,881 |
|||
|
6 |
73,034 |
26,291 |
5,39 |
5,514 |
40,288 |
||||
|
7 |
42,671 |
3,048 |
1,314 |
35,644 |
|||||
|
8 |
58,596 |
1,532 |
1,975 |
30,996 |
|||||
|
9 |
72,397 |
8,097 |
4,241 |
26,395 |
|||||
|
10 |
16,266 |
5,399 |
21,897 |
Рис.1 Относительная погрешность при
|
λ k |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
|
0 |
0,05 |
0,101 |
0,281 |
0,502 |
1,002 |
2,485 |
4,909 |
||
|
1 |
0,959 |
0,908 |
0,756 |
0,503 |
0,002 |
1,5 |
3,948 |
||
|
2 |
8,219 |
3,169 |
0,262 |
0,503 |
0,503 |
0,704 |
3,075 |
||
|
3 |
25,833 |
11,971 |
3,284 |
0,004 |
0,503 |
0,103 |
2,292 |
||
|
4 |
24,42 |
8,169 |
1,014 |
0,004 |
0,301 |
1,601 |
6,15 |
||
|
5 |
14,662 |
2,514 |
1,014 |
0,504 |
1,005 |
5,392 |
|||
|
6 |
22,42 |
4,483 |
2,514 |
0,504 |
0,505 |
4,675 |
|||
|
7 |
5,896 |
4,483 |
0,301 |
0,103 |
4,001 |
||||
|
8 |
9,295 |
5,896 |
0,105 |
0,2 |
3,371 |
||||
|
9 |
13,87 |
9,717 |
0,71 |
0,402 |
2,785 |
||||
|
10 |
12,909 |
1,512 |
0,504 |
2,245 |
|||||
|
11 |
2,507 |
0,504 |
1,751 |
||||||
|
12 |
3,689 |
0,402 |
1,305 |
||||||
|
13 |
5,051 |
0,199 |
0,905 |
||||||
|
14 |
6,586 |
0,104 |
0,555 |
||||||
|
15 |
8,284 |
0,508 |
0,254 |
||||||
|
16 |
10,137 |
1,01 |
0,002 |
||||||
|
17 |
12,134 |
1,61 |
0,2 |
Рис.2 Относительная погрешность при
Для дальнейших расчетов необходимо учесть, что по формуле Бернулли требуется вычислять факториалы , а уже при наступает машинное переполнение (число превышающее ). Однако, так как при больших вероятности малы, то с помощью небольшой программы
удается проводить расчеты и для . Например,
|
λ k |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
100 |
|
0 |
0,005 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,1 |
0,25 |
0,499 |
|||
|
1 |
0,095 |
0,09 |
0,075 |
0,05 |
0 |
0,15 |
0,399 |
|||
|
2 |
0,807 |
0,311 |
0,025 |
0,05 |
0,05 |
0,07 |
0,31 |
|||
|
3 |
2,693 |
1,209 |
0,325 |
0,05 |
0,05 |
0,01 |
0,23 |
|||
|
4 |
2,593 |
0,824 |
0,25 |
0 |
0,03 |
0,16 |
0,628 |
|||
|
5 |
1,519 |
0,55 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
0,549 |
||||
|
6 |
2,498 |
0,948 |
0,25 |
0,05 |
0,05 |
0,474 |
||||
|
7 |
1,444 |
0,45 |
0,03 |
0,01 |
0,405 |
|||||
|
8 |
0,599 |
0,01 |
0,02 |
0,34 |
||||||
|
9 |
0,997 |
0,07 |
0,04 |
0,28 |
||||||
|
10 |
1,344 |
0,15 |
0,05 |
0,225 |
||||||
|
11 |
0,25 |
0,05 |
0,175 |
|||||||
|
12 |
0,37 |
0,04 |
0,13 |
|||||||
|
13 |
0,51 |
0,02 |
0,09 |
|||||||
|
14 |
0,669 |
0,01 |
0,055 |
|||||||
|
15 |
0,848 |
0,05 |
0,025 |
|||||||
|
16 |
1,046 |
0,1 |
||||||||
|
17 |
1,264 |
0,16 |
0,02 |
|||||||
|
18 |
0,13 |
0,035 |
||||||||
|
19 |
0,31 |
0,045 |
||||||||
|
20 |
0,4 |
0,05 |
||||||||
|
21 |
0,494 |
0,05 |
||||||||
|
22 |
0,609 |
0,045 |
||||||||
|
23 |
0,728 |
0,035 |
||||||||
|
24 |
0,858 |
0,02 |
0,65 |
Рис.3 Относительная погрешность при
Анализ полученных данных в таблицах позволил сделать следующие выводы.
Выводы: 1) Удовлетворительная точность формулы Пуассона достигается в достаточно ограниченном диапазоне изменения , который, однако, увеличивается с уменьшением или, что, то же самое, с увеличением .
2) При фиксированном параметре , с ростом происходит сначала увеличение, а затем падение точности.
3) Наиболее точные результаты формула Пуассона дает при и одновременно .
Литература.
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М .: «Академия», 2005. – 576 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения – М.: «Наука», 1998. – 475 с.
3