IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Дифференциальные уравнения являются одним из наиболее эффективных средств математического решения прикладных задач естествознания и техники. Это связано с тем, что многие реальные процессы описываются с помощью дифференциальных уравнений достаточно точно и полно. Поэтому умение составлять дифференциальные уравнения имеет большое значение для практической и научно-исследовательской деятельности.

Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений происходит в большинстве случаев в следующей последовательности:

1) подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть;

2) составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

3) интегрирование этого уравнения и определение его общего решения;

4) определение частного решения задачи на основании данных начальных условий;

5) определение (если это необходимо) вспомогательных параметров с использованием дополнительных условий задачи;

6) вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

7) анализ ответа и проверка исходного положения задачи.

В зависимости от характера решаемой задачи некоторые из указанных выше пунктов могут не использоваться. Также при составлении математической модели задачи надо учитывать только основные параметры.

Проиллюстрируем составление дифференциального уравнения на конкретной задаче.

Пример. Имеется муравейник с радиусом у основания (рис.1), и однородное пространство вне муравейника по распределению питательных веществ и по проходимости. Известно, что общинный быт муравьев связан с доставкой найденной пищи и материалов в муравейник. В связи с этим вблизи муравейника больше муравьев, чем вдали от него. Найти плотность (отношение количества насекомых в некоторой окрестности к площади этой окрестности) муравьев вне муравейника.

Рис.1

В качестве упрощения, примем плотность в каждой точке неизменной. Поисковые перемещения муравьев считаем случайными. Рассмотрим две точки A и B, лежащие на одном луче (рис.1), и исследуем обмен муравьями между их окрестностями. Обозначим: – количество муравьев в окрестности точки A, – их количество в окрестности точки B. Направления поиска для всех муравьев равноценны, поэтому доля выходящих муравьев не зависит от направления выхода. Если из A в B вышло муравьев, то из B в A выйдет , – коэффициент пропорциональности, определяющих долю муравьев, выходящих в конкретном направлении.

Часть муравьев по пути от A к B не дойдет, так как они найдут по дороге добычу. Количество таких насекомых будет тем больше, чем длиннее путь, т.е. чем больше .

Тогда, количество дошедших муравьев до B будет

,

где - коэффициент пропорциональности, определяющих долю муравьев, вернувшихся в муравейник муравьев, зависящий от ценности пространства – чем оно богаче, тем он больше.

К количеству муравьев прибавятся муравьи, вышедшие из B не к A, но по дороге нашли пищу или строительный материал. Такие муравьи, если они не успели выйти из сектора , также попадут в окрестности A, и их количество будет тем больше, чем больше .

Итак, количество муравьев, которые вышли из окрестности B и попали в окрестность A, будет

Так как, количество муравьев в окрестности любой точки должно быть постоянным, то

или

.

Сокращая на и учитывая, что количество муравьев равно их плотности, умноженной на площадь, получим

,

(1)

где , – соответствующие плотности в окрестностях точек A и B; , – площади окрестностей соответственно точек A и B. Вычислив площади в полярных координатах:

;,

(2)

получим подстановкой выражения в равенство :

(3)

Делим последнее уравнение на и переходим к пределу при , в результате чего получим

(4)

Пусть . Тогда уравнение можно представить в виде

,

откуда

.

Интегрируем полученное уравнение плотности:

(5)

Начальные условия: при имеем f(R) = f(r), откуда

Найденное значение постоянной интегрирования подставляем в уравнение и тогда

(6)

откуда искомый закон плотности

(7)

Получив уравнение искомой кривой, можно построить ее, при известных значениях , и . Кривая будет убывать при увеличении R. Коэффициент можно вычислить из равенства , которое верно для всех и, в частности, для . Подставляем в уравнение и имеем

,

(8)

откуда

(9)

т.е. надо знать еще значения плотности в точке. Подставляя значение по формуле в уравнение , получим кривую плотности (рис.2).

Рис.2

При этом можно отметить следующие замечания.

Замечание 1.

При больших значениях величина , определяемая формулой (7), становится бесконечно малой.

Замечание 2.

Коэффициент является показателем взаимоотношения данного вида насекомых с данной средой. В нашей модели среда неизменна. Это значит, что среда либо мало изменяется, либо искусственно восстанавливается. Однако величина зависит от времени суток, поэтому при ее подсчете стоит учесть различия между ночными и дневными значениями и . Находя эти значения по формуле , можно определить . В итоге при подстановке полученного значения в , определяют для каждого времени суток свою кривую плотности.

Таким образом, с помощью дифференциальных уравнений изучаются различные явления, процессы окружающего нас мира. Составление дифференциальных уравнений является важным и трудным вопросом. Универсальной методики составления дифференциальных уравнений, пригодной для всех случаев, нет. Здесь необходимо знание данной прикладной дисциплины, а также наличие навыков в решении различных задач.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для высших технических учебных заведений. Т. 2. – М.: Наука, 1978. – 576 с.

2. Пономарев К.К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач. М.: Учпедгиз, 1962. – 182 с.

3. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 2. – СПб.: Политехника, 2003. – с. 54-58.

Код для цитирования: Скопировать