IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

В настоящее время развитие вычислительной техники позволяет просто и быстро находить различные значения функций. Достаточно набрать на дисплее калькулятора необходимое выражение или выбрать встроенную функцию и мгновенно программа предоставляет числовой результат. Расчетные формулы скрыты от пользователя, поэтому полученный результат воспринимается как точное значение величины. Применение вычислительных алгоритмов всегда приводит к получению приближенных значений искомых величин. В вузовском курсе математики рассматривается формула Тейлора для нахождения значений функции [3]. Ее частным случаем выступает формула Маклорена. Применение этой формулы рассматривается для нахождения числа е [3]. В каждом учебнике по курсу высшей математики приводится разложение по формуле Маклорена экспоненциальной, логарифмической и тригонометрических функций синуса и косинуса.

Решение задачи о замене функции бесконечным степенным рядом привело Б. Тейлора в 1715 г. к нахождению формулы, которая в дальнейшем получила его имя. Простой вывод формулы был предложен в 1745 г. К. Маклореном. Формулу для оценки погрешности расчетов, если рассматривается конечное число членов ряда, предложил Ж.Л. Лагранж в 1799 г. [1]. В настоящее время формула Тейлора записывается в виде выражения [3]

где Pn(x) – многочлен n-й степени, Rn(x) – остаточный член.

Коэффициенты многочлена Pn(x) находятся через производные функции f(x). Смысл формулы Тейлора хорошо раскрывается содержанием теоремы: если функция f(x) обладает в замкнутом промежутке (a; b) производными до (n+ 1) порядка включительно, то , где с – некоторое число, лежащее между a и b[1].

Если величина а рассматривается как постоянная, а b как переменная, то b заменяется х и получается формула, известная как «формула Тейлора», которая имеет вид

где

Если величину а приравнять к нулю, то получается формула, известная как «формула Маклорена», которая имеет вид

Приближенные вычисление, например, будут производится по формулам

Степень многочлена Pn(x), которым заменяется функция f(x), определяется требуемой для решения задачи погрешностью приближенных вычислений. Результат приближенных вычислений характеризуется абсолютной Δ и относительной δ погрешностью. Модуль отклонение приближенного значения величины от ее истинного значения рассматривается как абсолютная погрешность. Отношение абсолютной погрешности к приближенному значению, выраженное в процентах, выступает как относительная погрешность [4]. Абсолютная погрешность Δ приближенных вычислений по формуле (1) определяется остаточным членомRn(x). Нахождение абсолютной погрешности Δ для приближенных вычислений будет осуществляться по формулам

Пусть для данных вычислений абсолютная погрешность будет равна 0,001. Рассчитаем значение остаточного члена для значений n от 1 до 5 (таблица 1).

Таблица 1. Значение Rn(x) для .

	Rn(0,2), c = 0,1	Rn(x) (1,4), c = 1,2	Rn(–0,3), c = –0,7
1	2,2 . 10-2	2,7 . 10-1	1,2 . 10-1
2	1,5. 10-3	3,5 . 10-2	2,8 . 10-2
3	7,4 . 10-5	3,5 . 10-3	5,0 . 10-3
4	2,9 . 10-6	2,8 . 10-4	7,0 . 10-4
5	9,8 . 10-8	1,9 . 10-5	8,1 . 10-5

Погрешность приближенных вычислений 0,001 позволяет использовать полином третьей степени P₃(x) для расчета так как, остаточный член P₃(0,2) = 7,4 ^. 10^-5 меньше 0,001 (таблица 1). Погрешность приближенных вычислений 0,001 позволяет использовать полиномы четвертой степени P₄(x) для расчета так как, остаточные члены P₄(1,4) = 2,8 ^. 10^-4 и P₄(–0,3) = 7,0 ^. 10^-4 меньше 0,001 (таблица 1).

Нахождение приближенных значений проводится по формулам

Истинные значения искомых величин принадлежат следующим интервалам:;;. Выбор других значений с не влияет на полученный результат. Относительная погрешность значений составляет соответственно 0,082 %, 0,025 %, 0,135 %. Расчет искомых величин, абсолютной и относительной погрешности по представленным формулам осуществлялся с использованием системы Mathcad [2]. Понимание алгоритма вычислений позволяет корректно использовать численные методы решения математических задач.

Литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель, 2006. 991 с. ISBN 978-5-1701-2238-2.

2. Кирьянов Д.В. Mathcad 15/ Mathcad Prime 1.0. СПбю: БХП-Петербург, 2012. 432 с. ISBN 978-5-9775-0746-2.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 9-е изд. М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с. ISBN 978-5-8112-3775-3.

4. Шарый С.П. Курс вычислительных методов. Новосибирск: НГУ, 2016. 545 с.

 

Код для цитирования: Скопировать