IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Для универсального оперирования полученной информацией необходимо обобщать экспериментально полученные данные до уровня математического абстрагирования. Пусть требуется найти адекватную модель зависимости величины Y от Х. Другими словами, требуется смоделировать влияние фактора Х на величину Y. С этой целью проводится эксперимент по схеме, изображённой на рис. 1.

фактор х Экспериментальная отклик у

установка

Рис. 1. Экспериментальная установка

_{Придавая на входе различные значения фактору Х, получаем различные значения Y, которые называются откликами. Обычно сначала проводится предварительный эксперимент, целью которого является выдвижение гипотезы (предположения) о виде модели. В ходе проведения предварительного эксперимента фактору придают несколько различных значений и записывают значения отклика в таблицу наблюдений. Затем полученные данные изображают на корреляционном поле и подбирают вид модели, сравнивая с формой эталонных кривых. Вид модели может быть также определён из априорных соображений, исходя, например, из физического смысла наблюдаемых величин.}

_{Пусть в результате предварительного эксперимента выбрана модель. Далее проводится основной эксперимент, целью которого является получение оценок параметров модели и проверка её адекватности. Составляется план эксперимента, который заключается в оптимальном выборе множества значений фактора, которые предстоит ввести в установку при проведении основного эксперимента.}

_{Рассматриваем наиболее простой вид линейной модели с двумя параметрами Y = a∙f(X) + b. Требуется оценить параметры a и b и проверить адекватность модели. Составляем план эксперимента в виде: берём n различных значений (уровней) фактора x1, x2, …, xn и для каждого из них повторяем эксперимент m раз. При этом будет получено m значений yi 1, yi 2, …, yim отклика Y для каждого i-го значения фактора. Данные эксперимента оформляются в виде таблицы (см. табл. 1). Далее, для каждого значения фактора хi находятся средние значения M[Y]i и уточнённые дисперсии (строчные дисперсии) D[Y]i по формулам}

_{, .}

_{Далее, проверяется гипотеза об однородности дисперсий D[Y]i,}

_{i = 1, 2, …, n, по критерию Кочрена. Если гипотеза не подтвердилась, то следует либо увеличить число параллельных опытов, или увеличить точность измерения отклика в экспериментальной установке. Если дисперсии однородны, то их усредняют и находят т.н. ошибку}

_{Таблица 1}

_{Данные эксперимента}

Значения фактора Х	Значения отклика в параллельных опытах Y
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

_{опыта D[Y]o по формуле .}

_{Далее, по средним значениям M[Y]i в точках хi методом наименьших квадратов находятся параметры модели a и b.}

_{В случае, если какой-то из этих параметров оказался близким к нулю, проверяется гипотеза о его значимости. Для этого вычисляется дисперсия коэффициентов регрессии Dпар и наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формулам:}

_{, .}

_{Далее, по выбранной доверительной вероятности Р и числу степеней свободы n∙(m - 1) находится табличное значение критерия Стьюдента . Если окажется, что , то соответствующий параметр a или bcчитается незначимым и приравнивается к нулю. Если же он признан значимым, то с вероятностью Р его значение находится в доверительном интервале (a – Δ, a + Δ) для параметра a и в интервале (b – Δ, b + Δ) для параметра b, где точность оценки Δ находится по формуле .}

_{Наконец, проверяется адекватность модели по критерию Фишера. Для этого вычисляется дисперсия адекватности по формуле}

_,

_{где L – число параметров, оставшихся значимыми. Находится наблюдаемое значение критерия Фишера по формуле и сравнивается с табличным значением , которое находится по доверительной вероятности и числам степеней свободы k1 = n – L и k2 = n∙(m - 1). Если , то модель признаётся адекватной, т.е. рассеяние экспериментальных значений Y относительно уравнения Y = aX + b имеет тот же порядок, что и ошибка опыта. Если модель оказалась неадекватной, то можно повторить эксперимент с увеличенным числом точек или подобрать другой тип модели.}

Список использованных источников:

Математические методы исследования [Электронный ресурс]: сборник задач/ — Электрон. текстовые данные.— Кемерово: Кемеровский государственный университет культуры и искусств, 2012.— 43 c

Код для цитирования: Скопировать