IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Определение вектора обширно применяют в экономических, математических, физических и других науках, в рамках которых различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Большое количество геометрических и физических величин в полном объёме определяются, если задана их числовая характеристика. Этими величинами будут длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Такую величину в такой науке как математика называют скалярными величинами или просто скалярами.

С другой стороны можно не редко встретить величину немного сложнее по своей форме, которую часто не могут полностью охарактеризовать по их собственному числовому значению. К таким силам измерения можно отнести такие силы как: скорость, ускорение, сила и другие. Для того чтобы показать полную характеристику указанных прежде величин, нужно в первую очередь указать их направление. В такой науке как математика эти величины называют векторными величинами или просто векторами. Векторы являются одним из наиболее простых, понятных, и удобных способов описания процессов, включая и процессы, касающиеся экономики.

К примеру, за товар принимают некую услугу, поступившую на продажу в определенный момент времени и в определенно взятом месте. Возьмем то, что имеется nразных товаров, количество i-го товара имеет обозначение x_i, тогда некоторый набор товаров обозначается X = (x₁, x₂,…, xn), т.е. является n- мерным вектором. Будем рассматривать, как правило, только неотрицательные количества товаров, так, что x_i ≥ 0 или X ≥ 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число.

В дальнейшем предполагаем, что каждый товар имеет цену. Все цены предполагаются строго положительными.

Пусть цена единицы i-го товара есть c_i, тогда вектор C = (c₁, c₂,…, cn) есть вектор цен.

Вектор цен имеет ту же размерность, что и вектор набора товаров. Для набора товаров X = (x_i) и вектора цен C = (c_i) их скалярное произведение:

C X = c₁ x₁+ c₂ x₂+ …+ cnxn

есть число, называемое ценой набора товаров или его стоимостью.

Пример 1. В городе имеется завод по производству мужских, женских и детских велосипедов. Объём всего производства V в течении одного года запишем как вектор V = (M, L, K), где М – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских велосипедов, K – детских велосипедов. Пусть общий объем всего производства за 1996 г. был V₉₆= (1000, 800, 4000). Тогда предположив, что весь общий объем всего производства за 1997 г. был на 10 % выше всего объема производства за 1996 г., тогда объем производства в 1997 г. есть вектор V₉₇= 1,1V₉₆= (1100, 880, 4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» половину всей продукции завода, тогда W = V₉₆/2= (500, 400, 2000). Предположим, что в нашей стране всего имеется три велосипедных завода, общие объемы производства которых за 1996 г. были Q₁=(1000, 800, 4000), Q₂= (1000, 600, 2000), Q₃= (2000, 1600, 8000). Тогда все три завода произвели вместе в 1996г. Q = Q₁+ Q₂+ Q₃= (4000, 3000, 14000), т.е. 4000 мужских, 3000 женских и 14000 детских велосипедов.

В данном примере мы увидели такие операции над векторами, как умножение вектора на число и сложение векторов.

Пример 2. Имеется некий коммерческий банк, принявший участие в постройке многоэтажных автомобильных стоянок в центре города, предпринял усилие в получении кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из этих банков предложил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд. руб. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30%.

В этом примере мы говорим о двух векторах:

трехмерном векторе кредитов K = (20; 40; 40) и векторе процентных ставок P = (40; 25; 30).

Для расчетов вместо вектора процентных ставок P удобнее использовать вектор коэффициентов P₁ =(1,4; 1,25; 1,3).

Пользуясь простым расчетом, человек занимающийся управлением коммерческого банка может легко определить, какую сумму необходимо будет платить по истечении года за кредиты, взятые у банков: K P11,3 = 130 млрд. руб.

Данный пример показал нам применение операций скалярного произведения векторов.

Пример 3.Каждый день предприятие выпускает четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели, которых приведены в таблице.

Нам необходимо рассчитать следующие показатели: общий расход сырья S, затраты рабочего времени Т и полную стоимость Р изготовляемой и выпускаемой продукции всего предприятия .

Вид изделия	Количество изделий, ед	Расход сырья, кг	Норма времени изготовления, ч/изд.	Цена изделия ден. ед./изд.
1	10	2	9	35
2	40	3	4	20
3	30	7	14	44
4	20	6	7	25

Решение. Нам нужно составить четыре вектора, показывающие весь производственный цикл по данным взятых из таблицы:

− вектор ассортимента,

− вектор расхода сырья,

− вектор затраты рабочего времени,

− ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора, т. е.

,

,

.

Список используемой литературы:

1. Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В.Б. Линейное программирование: учебное пособие // Успехи современного естествознания. – 2010. – № 9. – С. 61-62.

2. Елисеева Л.А., Варламов Д.Б., Светличная В.Б., Зотова С.А. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ ТОВАРА МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2015/1254/15700

3. Казачков А.Д., Агишева Д.К., Светличная В.Б., Зотова С.А. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА НА MATHCAD 15 // Материалы VIII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2016/1762/23702

Код для цитирования: Скопировать