IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Математика как наука является самостоятельной дисциплиной. Однако для специалистов в области экономики и менеджмента аппарат математического анализа выполняет скорее вспомогательную функцию и служит инструментом анализа, организации и управления. Так, дифференциальные уравнения применяют в сфере экономического моделирования.

Остановимся более подробно на рассмотрении односекторной модели экономического роста. Данная модель рассматривает экономику как единое целое, не имеющее структурных подразделений. Производится пригодный для потребления как в производственной, так и в непроизводственной сфере универсальный продукт. Причем его потребление в производственной сфере может рассматриваться в качестве инвестирования. С определенной долей условности таким универсальным продуктом может считаться денежная оценка всего и вся. Положительной стороной модели является адекватность отражения важнейших макроэкономических аспектов, в том числе процесса воспроизводства.

Односекторная модель экономического роста подразумевает наличие пяти переменных состояния экономики: – размер непроизводственного потребления, – конечный продукт, – производственные фонды, – наличные трудовые ресурсы, – инвестиции. Данные переменные находятся во взаимосвязи и изменяются во времени, являясь функциями времени . При дальнейших рассуждениях аргумент , как правило, будет опускаться и подразумеваться по умолчанию.

Время предполагается непрерывным. Для мгновенных показателей примем, что – соответственно производственные фонды и трудовые ресурсы в момент времени . Также, чтобы избежать влияния сезонных колебаний уровня занятости и всплеска фондов при вводе новых производственных мощностей, и можно принять как средние значения данных величин за год, серединой которого является . Значения величин в момент можно представить как их накопленные за год объемы, при этом серединой года служит момент . Стоит принять во внимание, что в этом случае они остаются функциями времени и лучше воспринимать их как мощность производства и мгновенные скорости потребления и инвестирования.

Считается, что имеющиеся трудовые и производственные ресурсы используются полностью. Годовой конечный продукт в каждый момент времени является функцией среднегодовых производственных фондов и труда: . Таким образом, – производственная функция всего народного хозяйства. На непроизводственное потребление и инвестиции расходуется конечный продукт: .

Назовем долю конечного продукта, используемого на инвестиции, нормой накопления . Соответственно, , . Далее форма накопления будет считаться неизменяющейся: .

Инвестиции расходуются на такие цели, как восстановление выбывших производственных фондов, а также их прирост. Принимаем, что выбытие происходит с постоянным коэффициентом выбытия (в расчете на год). Таким образом, , поэтому .

Если считать, что прирост трудовых ресурсов пропорционален наличным трудовым ресурсам, то есть , то получаем дифференциальное уравнение . Решив полученное уравнение, получаем , где – трудовые ресурсы в начале наблюдения, при .

Аналитически данная модель задается с помощью системы уравнений:

; ; ; . (1)

Функция удовлетворяет требованиям к производственным функциям и считается линейно-однородной, то есть . Используя ее однородность и обозначив среднюю производительность труда и среднюю фондовооруженность , получаем , а если последнюю функцию обозначим , то получим .

Теперь находим производную от по :

.

Окончательно: . (2)

Поведение макропоказателей модели (1) полностью определяется уравнением (2), а также динамикой трудовых ресурсов .

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными и начальным условием, значит, имеет единственное решение.

Исследуем стационарную траекторию – это такая траектория, на которой фондовооруженность константна и, соответственно, равна своему начальному значению: . Но вследствие того, что таким постоянным значением может быть не всякое начальное, примем обозначение .

Указанное значение фондовооруженности называют стационарным. Безусловно, на стационарной траектории .

Исследуем поведение макропоказателей на стационарной траектории.

Исходя из уравнения (2), если , то , то есть является решением уравнения .

Приведем доказательство того, что это уравнение имеет решение.

Так как , то , но при , что следует из требований к производственной функции, то – возрастающая функция с замедляющимся темпом роста. В то же время с постоянным темпом возрастает функция . Значит, если , то уравнение имеет единственное решение при .

Итак, определим макропоказатели на стационарной траектории.

Поскольку , а , то ; аналогичным образом . Далее, , . Сведем все вместе:

; ; ;

.

Вывод: основные макропоказатели на стационарной траектории растут экспоненциально, пропорционально трудовым ресурсам.

Список литературы:

1. Чикризова Е.В., Черская М.Э., Зотова С.А., Агишева Д.К., Светличная В.Б. АППАРАТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ // Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2015/1254/15645

2. БРОЗЕ В.Е., ВАРАКСИН В.А., Светличная В.Б., Зотова С.А. ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ // Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» URL: http://www.scienceforum.ru/2015/1254/15701

Код для цитирования: Скопировать