IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Популяция – совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями межвидовой конкуренцией.

Известной математической моделью, в основу которой положена задача о динамике численности попу­ляции, является классическая модель неограниченного роста – геометрическая прогрессия в дискретном представлении, или экспонента, в непрерывном .

Модель предложена Мальтусом, который обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экс­поненте (в геометрической прогрессии), в то время как произ­водство продуктов питания растет со временем линейно (в ариф­метической прогрессии), из чего сделал вывод, что рано или поздно экспонента обязательно «обгонит» линейную функцию и наступит голод. Обсуждению важности вывода Мальтуса для популяционной динамики Дарвин посвятил несколько страниц своего дневника, указывая, что, поскольку ни одна популяция не размножается до бесконечности, должны существовать факторы, препятству­ющие такому неограниченному размножению. Среди этих фак­торов может быть нехватка ресурса (продовольствия), вызыва­ющая конкуренцию внутри популяции за ресурс, хищничество, конкуренция с другими видами. Результатом являются замедле­ние скорости роста популяции

Модель логистического роста была предложена Ферхюльстом для описания развития популяции в условиях ограниченных ресурсов питания [1,2]. В основу модели положено уравнение

(1)

где r— константа собственной скорости роста популяции в отсутствии конкуренции. Член (bx^{2),пропорциональныйколичествувстречмеждуособями,} учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренцией за ресурсы питания, выделением в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент bназывается коэффициентом внутривидовой конкуренции.

Уравнение (1) приводится к виду:

(2)

Величина К= r/b– предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю, соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется емкостьюсреды.

Уравнение (2) можно решить аналитически. Проведем разделение переменных:

(3)

Представим левую часть в виде суммы и проинтегрируем:

Переходя от логарифмов к переменным, получим:

(4)

Произвольная постоянная С определяется начальным значением численности популяции x₀:

при , .

Подставим это значение С в формулу (4):

Отсюда получаем решение – зависимость численности от времени:

(5)

Характер логистической кривой зависит от величины параметров rи Kи от начальной численности x₀. Это уравнение обладает двумя важными свойствами. При ма­лых х численность возрастает экспоненциально при больших – приближается к определенному преде­лу К. Эта величина, называемая емкостью популяции, определя­ется ограниченностью ресурсов и представляет собой системный фактор, который определяет ограниченность роста популяции в данном ареале обитания. График функции (5) при разных начальных значениях численности популяции при К = 100 и r = 0,2 представлены на рис.1.

Рис. 1. Зави­симость численности популяции от времени при скорости роста r= 0,2 и при различных начальных значениях численности x₀.

Обозначения: x0(t) – x₀ = 10; x1(t) – x₀ = 30; x2(t) – x₀ = 150.

Если начальное значение, кривая роста имеет точку перегиба при и . При начальном значении численности популяции x₀ = 10, при К = 100 и r = 0,2 = 11, = 50.

Если в правой части уравнений (1) более сложная нелинейная функция, то алгебраическое уравнение для стационарных значений может иметь несколько корней и реализуемое решение в этом случае зависит от начальных условий.

Литература

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование./ Вольтерра В – М.: Наука, 1976. – 288 с.

2. Трубецков, Д.И. Феномен математической модели Лотки – Вольтерры и сходных с ней «Методические заметки» / Д.И. Трубецков // Изв. вузов «ПНД». – 2011. – Т. 19, № 2. – С. 69 – 88.