IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

 

Вот уже более десяти лет существуют горки у нас в Ульяновске, с которых любим кататься. Мы задумались, а можно ли составить математическую модель полета лыжника? Мы поставили задачу найти оптимальную траекторию полета лыжника-прыгуна при помощи принципа максимума Понтрягина. Пусть склон горы приземления задан некоторой функцией, так же как и коэффициенты аэродинамического сопротивления, и задача решается в такой обобщенной постановке почти до конца. Естественно, что аналитическое решение поставленной задачи найти очень трудно, и для каждого вида функций задача решается численно. Здесь мы используем коэффициенты аэродинамического сопротивления. Мы проанализируем посадочную скорость лыжника и постараемся учесть влияние ветра в окрестностях трамплинной горы.

Трамплины создаются под определенную дальность полета прыгунов, которую вычисляют как расстояние от точки старта до точки приземления по склону. Трамплины делятся по дальности на 5 категорий: маленькие (20-45 м); средние (50-70 м); нормальные (75-90 м); большие (105-120 м); трамплины для полетов (145-185 м).

Наша задача: как должен лыжник управлять своим телом, чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно, и при этом иметь приемлемую посадочную скорость.

С математической и физической точки зрения выглядит так. Поверхность земли считаем плоской, а плотность воздуха и ускорение свободного падения - постоянными.

Ось абсцисс направим в сторону полета лыжников параллельно горизонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки - конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.

Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:

- кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

- изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;

- различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0.3 с, вторая - 0.8-0.9 с, третья - 0.3-0.6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется.

Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.

На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Аэродинамическая сила раскладывается на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления и, исходя из второго закона Ньютона, сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости: , а подъемная сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна: ,где коэффициент. Коэффициент определяется предельной скоростью системы лыжник-лыжи: . Для силы лобового сопротивления и подъемной силы существуют выражения: , , где - плотность воздуха, - коэффициент силы лобового сопротивления, - коэффициент подъемной силы, - площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха. Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атаки определяется следующим образом:, где - площадь миделя при угле атаки 900. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и лыжами.

Попробуем спрогнозировать поле скоростей ветра вблизи трамплина, чтобы можно было использовать эти данные в модели полета лыжника и более точно оценить влияние ветра на полет.

Сам трамплин достаточно узок и не играет значительной роли в формировании воздушных потоков, поэтому рассматривается только гора.

Рассмотрим теорию пограничного слоя. Воздух в пограничном слое вблизи земли считается вязкой несжимаемой жидкостью. Используя экспериментальные данные по среднесезонным и среднегодовым скоростям ветра на разных высотах заданых в виде нечетких чисел, у которых функция принадлежности имеет вероятностный смысл, а носитель измеряется в м/с. Рассматриваем достаточно малые скорости, так как при сильном ветре прыжки запрещены. Малость скоростей позволяет пренебречь конвективными членами и считать течение ламинарным. Силой тяжести на данном этапе мы также пренебрегаем. Надо сказать, что мы сознаем некоторую натянутость такой постановки, в следующей работе эта задача будет решена уже с учетом и конвективного члена, и силы тяжести. Тогда математическая постановка данной задачи состоит в следующем. Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями

Для двумерной постановки эти уравнения приводятся к следующему виду:

Для описания сжимаемых жидкостей первое уравнение из данной системы может быть заменено на следующее: , однако так как в данной работе рассматривается стационарное течение, то производная по времени равна нулю, и это соотношение приобретает вид, идентичный условию несжимаемости.

Задача решается в терминах скорость-давление. Из рисунка 1 видно, что во входном и в выходном участках области скорость ветра строго горизонтальна, а в районе горы имеет вертикальную составляющую, так как воздушный поток огибает гору. Мы заметили, что давление над горой ниже, чем под горой, что и является причиной восходящего (огибающего гору) тока воздуха.

Рис.1. Поле скоростей ветра в окрестностях горы.

Математическая модель прыжка с трамплина, учитывает все основные факторы, влияющие на полет лыжника, включая ветер вблизи трамплинной горы и зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки.

Библиографический список:

1. Ермолаева В.И. Организация самостоятельной работы студентов (на примере преподавания математики) диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова.- Ульяновск, 2004.

2. Ермолаева В.И., Банников С.И. Модель адаптивного тестирования нечеткой математики/ В.И. Ермолаева, С.И.Банников// Молодежь и наука XXI века. материалы II-й открытой Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых. -Ульяновск: УГСХА , 2007. С. 144-147.

3. Ермолаева В.И., Банников С.И. Временные ряды и прогнозирование/ В.И. Ермолаева, С.И.Банников//: Актуальные вопросы аграрной науки и образования. материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Ульяновской ГСХА. -Ульяновск: УГСХА, 2008. С. 264-266.

4. Ермолаева В.И., Евстигнеева О.Г. Математика/В.И.Ермолаева, О.Г.Евстигнеева//Допущено Министерством сельского хозяйства Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов аграрных вузов обучающихся заочно по инженерным специальностям / -Ульяновск: УГСХА, 2013. - 160 с.

5. Ермолаева В.И. Организация самостоятельной работы студентовавтореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова. Ульяновск, 2004.

6. Ермолаева В.И. Организация самостоятельной работы студентов (на примере преподавания математики). Монография –Ульяновск: УГСХА, 2007.

7. Ермолаева В.И. О некоторых путях совершенствования самостоятельной работы студентов/В.И. Ермолаева // Проблемы модернизации высшего профессионального образования. Материалы Международной научно-методической конференции. Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования " Костромская государственная сельскохозяйственная академия"; Харьковский государственный технический университет сельского хозяйства (Украина); Институт сельскохозяйственного развития в Центральной и Восточной Европе (Германия). 2004. С. 16-18.

8. Грозин, Е. А. Прыжки с трамлина. Физкультура и спорт, Москва ,1971

9. Н.А.Багин, Ю.И.Волошин, В.П.Евтеев. К теории полета лыжника при прыжках с трамплина. /Теория и практика физической культуры, №2, 1997, сс.9-11.

Код для цитирования: Скопировать