IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Популяция  совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию.

Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями – межвидовой конкуренцией.

Человечество подходит к той грани, которая отделяет нынешнюю эпоху техно­генной цивилизации от совершенно нового периода, когда основной заботой сде­лается преодоление наступающего экологического кризиса, который угрожает существованию на Земле самого вида homo sapiens.

Однако проблема еще не получила достаточного внимания и ши­рокой огласки - это проблема возможной потери стабильности биосферы как целостной системы, частью которой является человечество. Параметры био­сферы имеют довольно узкий диапазон значений, в котором может существо­вать наш биологический вид. Где же вы­ход из этой ситуации? Человечество должно осознать, что биосфера и человек - это единая система, и человек обязан, используя свои знания, проводить ис­следования развития этой системы, определив при этом границы допустимой техногенной деятельности человека.

Рассмотрим динамическую экологическую систему, которая представляет собой некоторую биологическую популяцию, численность которой x(t) эволю­ционирует во времени [1,2]. Пусть это будет изолированная от других популяций сис­тема, в которой нет сколько-нибудь заметной борьбы за существование, и рост численности популяции в течение некото­рого промежутка времени ничем не ограничен. При таких условиях роста популяции естественным пу­тем приводит к парным взаимодействиям.

Рассмотрим две конкурирующие популяции x₁ и х₂. Тогда придем к системе двух уравнений:

(1)

где r_i– константа собственной скорости роста i-ойпопуляции в отсутствии конкуренции i = 1,2. Член ()^{,пропорциональныйколичествувстречмеждуособями,} учитывает «самоотравление» популяции, объяснимое многими причинами (конкуренцией за ресурсы питания, выделением в среду вредного метаболита и др.). Коэффициент b_iназывается коэффициентом внутривидовой конкуренции или смертности в i-ойпопуляции; а₁₂ - коэффициент подавления первой популяции со стороны второй. Аналогичный смысл имеют коэффициенты второго уравнения в системе (1).

Введем в систему (1) величину К_i= r_i/ b_i– предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю, что соответствует устойчивому стационарному состоянию с максимально возможной в данных условиях численностью популяции и называется емкостьюсреды.

В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть x₁ иx₂ – численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки-Вольтерры) выражается уравнениями

(2)

Параметры ₁₂и₂₁ отражают интенсивность межвидовой конкуренции. Чтобы получить зависимость от времени численностей популяций х₁ и х₂, нужно решить систему (2) с заданными коэффициентами и начальными условиями. График функций при разных начальных значениях численности популяции при К₁ = К₂ = 200 и r₁ = r₂ = 2 представлены на рис.1.

Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции – при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них. Можно записать уравнения (1) в более симметричной форме:

(3)

Рис. 1. Зави­симость численности популяции от времени при скорости роста r₁ = r₂ = 2; К₁ = К₂ = 200 и при различных начальных значениях численности x₀ и интенсивности межвидовой конкуренции.

Обозначения: x_t1 – x₀ = 100, α₁₂ = 0,4; x1_t1 – x₀ = 100; α₁₂ = 0,5;

x_t2 – x₀ = 200, α₂₁ = 0,6; x1_t2 – x₀ = 200; α₂₁ = 0,5;.

Судьба популяции будет зависеть от величин соответствующих коэффициентов рождаемости, смертности и подавления. Рассмотрим предельные стационарные состояния для х₁ и х₂, т.е. положим и . Соответственно получим два уравнения:

(4)

Уравнения (4) имеют следующие решения:

1) х₁= 0 (популяция х₁уничтожена); тогда вторая популяция достигает своего

предельного значения ;

2) х₂ = 0(популяция х₂ уничтожена); тогда первая популяция достигает своего предельного значения ; эти случаи соответствуют крайне антагонистическим ситуациям, когда один из видов вымирает, а другой достигает своей равновесной численности; однако существует и третье стационарное состояние -

3) (5)

В координатах х₂ –х₁точки стационарных состояний популяции 1 лежат на пря­мой I (получена из первого уравнения системы (5)), точки стационарных состояний по­пуляции 2 лежат на прямой II (второе из уравнений (5)), а точка пересечения прямых дает точку устойчивого равновесия обеих популяций.

Координаты точки устойчивого равновесия двух популяций получены из реше­ния системы (5):

Для большего количества популяций система уравнений будет содержать боль­шее количество уравнений и коэффициентов, оценить правдоподобные значения которых задача не из легких, как и само моделирование экологических ситуаций. Тем не менее такие модели существуют, совершенствуются и анализируются на предмет соответствия их действительности.

Литература

1. Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии. / Ризниченко Г. Ю // — Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 184 стр.

2. Трубецков, Д.И. Феномен математической модели Лотки – Вольтерры и сходных с ней «Методические заметки» / Д.И. Трубецков // Изв. вузов «ПНД». – 2011. – Т. 19, № 2. – С. 69 – 88.

Код для цитирования: Скопировать