IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Одно из первых упоминаний о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел ученые относят к XVI веку. Итальянский инженер и математик Джироламо Кapдaнo (1501–1576) внёс значительный вклад в развитие алгебры. В 1545 году опубликовал работу, в которой, при попытке решить уравнение , он получил выражение . Через получившиеся выражение представлялись действительные корни уравнения: . Так, в работе, Кapдaнo мнимые числа упоминались как промежуточные звенья в вычислительных действиях. Заслуга Кapдaнo заключалась в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , вводя правило умножения: . Так он первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений.

Несмотря на это еще в течении нескольких сотен лет математики пытались привыкнуть к этим новым «мнимым» числам, порой предпринимая попытки избавиться от них. И только с XIX века, после публикации Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) своих работ, написанных в доказательство основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

Комплексные числа – один из разделов курса математического анализа более всего подходящий для профессиональной направленности инженеров-бакалавров по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника», а также «Электроэнергетика и электротехника». При изучении комплексных чисел нужно учитывать применение знаний математики в специальных и общетехнических дисциплинах, в частности электротехнике. Использование комплексных чисел дает инженерам возможность пользоваться законами, формулами и методами расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для проведения расчетов цепей переменного тока, упрощать различные расчеты, заменив векторно-графическое решение алгебраическими методами, рассчитывать сложные цепи, которые невозможно решить иным путем, упрощать расчеты цепей переменного и постоянного токов.

Вовремя расчетах цепей приходится проводить математические действия с комплексными числами, поэтому студенты инженерных направлений должны уметь выполнять следующие операции:

1) переводить комплексное число из начальной формы в необходимую;

2) находить аргумент и модуль комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу;

3) производить основные арифметические действия с комплексными числами.

Кроме того, очень важно уметь строить вектор и кривую исходя из уравнения синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.

Подавляющее количество электроустановок работает на переменном токе, который изменяется по синусоидальному закону. Этим можно объяснить, почему в электротехнике тематике «Переменный ток» уделено наиважнейшее внимание.

Термином комплексного числа (далее в тексте - КЧ) пользуются для обозначения выражений вида: , в которых индекс «ċ» используется для обозначения КЧ, а «а» и «b» отображают действительную и мнимую части. Значение «j» обозначает мнимую единицу и равно

В английском языке словом Real принято характеризовать действительность, а термином Imaginary - мнимые свойства. От этих слов были созданы обозначения Re и Im, которые используются для выражения величин «а» и «b» следующим способом:

Для геометрического отображения КЧ в векторной форме применяется комплексная плоскость. У нее горизонтальная ось помечается знаком +1, а вертикальная – символом +j. Термин действительной (реже вещественной) части используется для наименования горизонтальной оси, а для вертикальной - мнимой.

Обе составляющие (действительная и мнимая) КЧ являются прямоугольными проекциями вектора на соответствующие оси.

В представленном графике значение именуется модулем КЧ и равно длине вектора. Другим параметром, определяющим положение радиус-вектора, является его угол поворота α от оси +1 до текущего положения ċ, считающийся аргументом.

Катеты треугольника представляются через соотношения:

Используя тригонометрическую форму для выражения КЧ можно представить его в виде:

Используя формулу Эйлера , можно получить значение модуля в показательной форме .

В полярной форме выражение имеет вид:

.

Положение единичного вектора можно изобразить на комплексной плоскости:

Мнимая единица имеет свойства:

К КЧ применимо понятие сопряжения. Им называют те числа, которые равны по величине модулей и аргументов, но имеют разные знаки у аргументов.

Из графика видно, что изображенные векторами КЧ симметричны по отношению к горизонтальной оси.

КЧ и математические действия. Для их сложения или вычитания делается запись в алгебраическом выражении:

В этом соотношении отдельно суммируются мнимые и вещественные составляющие: .

Данные алгебраические сложения чисел выражают выполнение сложения соответствующих им векторов.

Выполняя сложение сопряженных чисел можно заметить, что их сумма выражается удвоенным значением вещественной составляющей:

.

Выражения КЧ в показательной форме удобны для выполнения умножения или деления. При этом у них модули перемножают или делят, значения аргументов складывают либо вычитают.

.

В выражении .

Нетрудно заметить, что при действии умножения длина вектора увеличивается в величину с₂, а аргумент - на значение а₂. При представлении КЧ векторами соблюдается закономерность: для умножения вектора на КЧ вида aе^jα достаточно растянуть вектор ва раз и довернуть на угол α.

Для вычисления произведения сопряженных чисел достаточно взять квадрат их модуля:

.

Для перемножения и деления КЧ при определенных условиях удобно пользоваться их алгебраическим выражением. В таком виде действия проводятся по законам умножения многочленов и учете значения j₂=-1.

.

Для деления чисел достаточно избавиться от значения j в выражении знаменателя методом перемножения знаменателя и числителя на одно и то же выражение сопряженного знаменателя:

Графики построенных векторных диаграмм могут иметь изображение:

Для выражения значения тока с синусоидальной формой пользуются соотношением , которым изображают на комплексной плоскости вектор с длиной и углом наклона ψ к горизонту. Его выражение считают комплексной амплитудой для тока. представляют графиком:

Чтобы получить действующую величину для тока требуется комплексную амплитуду разделить на .

.

В электротехнике заглавные буквы с расположенными над ними точками (E, U, I) используются для обозначения КЧ, выражающих синусоидальные зависимости от времени ЭДС, напряжения и тока.

Обозначение комплексной проводимости и сопротивления делается прописными буквами Y и Z, для показа их модулей используется строчное написание у и z. Обозначение комплексной мощности выполняется символом S со значком тильда «҇» над ним.

Список литературы

1. Литвин Д. Б., Гулай Т. А., Долгополова А. Ф. Коррекция динамического диапазона статистических данных // Статистика вчера, сегодня, завтра : Междунар. науч.-практ. конф., посвященная 155-летию образования Ставропольского губернского комитета статистики, 150-летию образования в России Центрального статистического комитета и Международному году статистики. 2013. С. 148–152.

2. Долгополова А. Ф., Гулай Т. А., Литвин Д.Б .Финансовая математика в инвестиционном проектировании (учебное пособие) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8–2. С. 178–179.

3. Гулай Т. А., Невидомская И. А., Мелешко С. В. Анализ и оценка приоритетности разделов дисциплины «Математический анализ» изучаемой студентами инженерных направлений // European Social Science Journal. 2013. № 8–2 (35). С. 109–115.

4. Герасимов А. Н., Громов Е. И., Гулай Т. А. Прогноз индикаторов социально-экономического развития Северо-Кавказского Федерального округа // Актуальні проблеми економіки. 2015. Т. 163. № 1. С. 243–253.

5. Попова С. В., Колодяжная Т. А. Применение алгоритмов при обучении математике в вузе // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем // Даугавпилсский университет, Латвия, Европейский Союз Белорусский государственный университет, Беларусь Днепропетровский университет экономики и права, Украина Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Россия Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Северо-Кавказский государственный технический университет Ставропольский государственный университет Ставропольский государственный аграрный университет. 2011. С. 278–281.

6. Мамаев И. И., Бондаренко В. А., Попова С. В. Методы дифференциального исчисления в математическом моделировании экономических процессов // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем : 2-я Междунар. науч.-практ. конф.. Даугавпиллский университет, Латвия, Европейский союз Белорусский государственный экономический университет, Беларусь Казахский национальный технический университет, Казахстан Северо-Кавказский государственный технический университет, Россия Ставропольский государственный университет, Россия Ставропольский государственный аграрный университет, Россия. 2011. С. 162-164.

Код для цитирования: Скопировать