IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Прогнозирование колеблемости урожайности сельскохозяйственных культур является одной из проблем, решаемых с помощью эконометрического метода, одним из аспектов которого является учет асимметрии. Точный прогноз урожайности представляет собой один из наиболее экономных и эффективных способов снижения экономического риска потери урожая.

Понимание риска как возможности отклонения от целей предлагает использовать для его измерения известные в статистике показатели разброса случайной величины - дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Наглядное представление разброса случайной величины дает показатель среднеквадратического отклонения. Однако этот показатель не соразмеряет величину разброса с характерным (ожидаемым) значением случайной величины. Величину разброса с ожидаемым значением случайной величины соизмеряет коэффициент вариации.

Гипотеза о нормальном распределении некоторых экономических величин, например, урожайности, является всего лишь начальным приближением к тем формам распределений вероятностей, которые встречаются в практических исследованиях. В то же время значительное количество параметров имеют асимметричные распределения вероятностей.

Вычисление коэффициента вариации для асимметричных, т.е. обладающих скошенностью, распределений случайных величин, на наш взгляд, несколько нецелесообразно.

Традиционным измерителем асимметричности функции и плотности вероятности случайной величины является коэффициент асимметрии, рассчитываемый с помощью моментов распределения порядка выше, чем второй, и не обладающий свойством достаточной информативности. В то же время, желательна безразмерная количественная оценка риска, связанного с изменением случайной величины, которая бы учитывала разброс значений вокруг именно наиболее часто наблюдаемого значения (моды), то есть учитывающая асимметрию функции плотности вероятности.

Для количественной оценке риска (разброса), связанного с изменением случайной величины, функция плотности вероятностей которой имеет существенную скошенность, можно использовать подход Альгина В.

Максимум функции плотности вероятности, имеющей асимметрию, достигается при модальном значении случайной величины. Следовательно, в качестве нового "центра" распределения можно рассматривать именно моду, а не математическое ожидание.

Приведенный коэффициент вариации является, по сути, обычным коэффициентом вариации, смещенным на величину, равную разнице математического ожидания и модального значения m, отнесенной к математическому ожиданию:

,

где σ — среднеквадратическое отклонение исследуемой случайной величины;

а — математическое ожидание случайной величины.

Следующим рассмотрим полуширинный коэффициент вариации.

Пусть f(x) — функция плотности вероятностей случайной величины X, и m — модальное значение случайной величины X. Из точки (m, f(m)) опустим перпендикуляр на ось Ох и разделим его в отношении 1:1. Обозначим полученную точку М и построим горизонтальную прямую l, проходящую через эту точку. Точки пересечения прямой l с графиком функции y=f(x)обозначим М^– и М⁺. Левой полушириной назовем длину отрезка ММ^–, которую обозначим р^–, а правой полушириной—длину отрезка ММ⁺ соответственно, обозначив ее р⁺ (рис. 1).

Рис.1. Графическая интерпретация полуширинного коэффициента вариации.

Полуширинный коэффициент вариации определяется формулой:

.

Нормировка λ введена для совпадения рассматриваемого коэффициента вариации и обычного коэффициента вариации в случае симметричного распределения.

Еще одним способом учета асимметрии при оценке колеблемости случайной величины является аналитический расчет асимметричного коэффициента вариации по формуле:

Таким образом, рассмотренные способы количественной оценки колеблемости случайной величины, распределенной асимметрично, имеют преимущества перед обычным коэффициентом вариации за счет учета асимметрии распределения случайной величины.

Асимметричные коэффициенты вариации мы считаем возможным использовать для получения аналитических оценок риска. В качестве иллюстрации приведенного подхода к учету асимметрии функций плотности вероятности случайных величин рассмотрим использование приведенного и полуширинного коэффициентов вариации для оценки риска, связанного с межгодовой колеблемостью урожая. Анализировались данные урожайности ржи по Волгоградской области за 1964-2013 гг.

Для анализа риска, связанного с отклонением урожайности от ее планируемой величины, предварительно выполним ранжирование данных урожайности. Разбиение исходной выборки на группы с интервалом в 3,1 ц/га и расчет относительных частот приведены в таблице 1.

Таблица 1

Группировка урожайности ржи по Волгоградской области

Группы, ц/га	Частота	Относительная частота
до 2,9	1	0,02
2,9-6,0	5	0,10
6,0-9,0	10	0,20
9,0-12,1	14	0,28
12,1-15,2	7	0,14
15,2-18,3	6	0,12
18,3-21,3	5	0,10
21,3-24,4	2	0,04

Для рассматриваемой выборки по имеющимся данным были рассчитаны значения математического ожидания, моды, медианы, среднеквадратического отклонения, дисперсии, коэффициента асимметрии, обычного и приведенного коэффициентов вариации (табл. 2). Чтобы сравнить полученные для асимметричного распределения результаты с характеристиками нормально распределенной случайной величины аналогичные показатели были рассчитаны по урожайности пшеницы и зерновых культур.

Таблица 2

Показатели изменчивости урожайности

Показатели	Рожь	Пшеница озимая	Зерновые культуры
Среднее	11,93	16,682	11,582
Медиана	10,95	16,35	11,95
Мода	8,6	13,7	10,2
Среднеквадратическое отклонение	5,077	6,837	4,914
Дисперсия	25,777	46,742	24,152
Коэффициент асимметрии	0,388	0,255	0,008
Коэффициент вариации	42,56	40,98	42,43
Приведенный коэффициент вариации	-14,64	-23,11	-30,50
	70,47	58,86	54,36

Из анализа данных таблицы 2 видно, что чем асимметричнее распределение случайной величины, тем сильнее расхождения в значениях обычного и приведенного коэффициентов вариации.

Подобрать подходящий закон распределения можно путем преобразования случайных величин. При правосторонней асимметрии рекомендуется замена исходных вариант на их логарифмы. В нашем случае преобразованные варианты у=ln(x) не противоречат нормальному распределению, следовательно, исходную выборку можно полагать подчиняющейся логарифмически нормальному закону с параметрами a=12,08иσ= 0,85, функция плотности вероятности которого имеет вид:

По полученным данным были найдены значения полуширинного коэффициента вариации – 30,51% и 54,6%.

Сравнение результатов расчета обычного, приведенного и полуширинного коэффициентов вариации позволяет сделать вывод, что более точную картину колеблемости значений урожайности дает полуширинный коэффициент вариации, при этом левое (30,5%) и правое (54,6%) значения коэффициента отличаются почти в два раза.

Литература:

1.  
   1.  
      1.  

         1. Количественный анализ в экономике и менеджменте: учебник / В.А. Малугин, Л.Н. Фадеева. – Электрон. текстовые дан. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. – 615 с.

         2. Мхитарян, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин; под ред. В. С. Мхитаряна. – Электрон. текстовые дан. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013.

Код для цитирования: Скопировать