IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству. Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.

Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы»

Существуют частные и общие методы доказательств теорем. К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Но в данной статье более подробно остановимся на общих методах, которые более часто встречающиеся в школьном курсе математике, а именно синтетический, аналитический методы (нисходящий и восходящий анализ), доказательство от противного и т.д.

Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.

Доказательство математического предложения M: A(x)=* => В(х) называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: (А(х)^Т)=>В₁(х)=>В₂(х)=* ...=*=>Вn(х)=>В(х), где Т — определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат В₁(х), В₂(х), ..., Вn(х), составляющих доказательство, а также суждения А(х) и В(х).

Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

Рассмотрим синтетическое доказательство теоремы «о сумме внутренних углов треугольника.»

Дано:АВС – треугольник (рис.1)

Доказать:

1+2+3=180

Доказательство:

Рис.1

 

1. Проведем через вершину В прямую, а, параллельную АС.

2. Рассмотрим 1 и 4; они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей АВ, а значит, 1=4.

3. Рассмотрим 3 и 5; они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей ВС, а значит, 3=5.

4. Сумма 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5= 180°.

5. Значит, 1+2+3=180

Теорема доказана. [2]

При аналитическом доказательстве теоремы M: A(x)=>В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что В₁(х)=>В(х), затем подбирают достаточное условие В₂(х) для В₁(х), такое, чтобы В₂(х):=>В₁(х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вn(х) для Вn_-1(х), что Вn(х) => Вn_-1(х) и Вn(х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.

Рассмотрим доказательство теоремы методом восходящего анализа. Теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Доказательство:

1. Для того чтобы доказать, что ACBD (рис. 2), достаточно доказать, что ВОАС.

2. Для того чтобы доказать, что ВОАС, достаточно доказать, что ВО — высота треугольника ABC.

   Рис.2

    

3. Для того чтобы доказать, что ВО является высотой треугольника ABC у достаточно доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВО в нем является медианой.

4. Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, достаточно доказать, что в нем АВ = ВС.

5. Но АВ = ВС по условию (ABCD — ромб) и ВО — медиана треугольника ABC (так как АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма).

6. Теперь, идя обратным путем, от пункта 5 к пункту 1, мы и докажем сформулированную теорему. [2]

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)=>В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) =>В₁(х)=>В₂(х)=>...=> Вn(х), где Вn(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе, так же, как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

Для примера рассмотрим доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм».

Доказательство:

1. Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 3). (В(х))

   Рис.3

    

2. Тогда ВС || AD и АВ || DC. (В₁(х))

3. Тогда ACB=CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (В₂(х))

4. Из равенства этих углов с учетом того, что АС — общая сторона треугольников ABC и ADC, следует: ∆ABC = ∆ADC. (B₃(x))

5. Тогда AD = BC, AB = DC, АС=АС. (А(х))

Итак, имеем В(х)^Вг(х)=>В2(х)=>В3(х)=>А(х)> где А(х) — истинно.

Проведя теперь рассуждения в обратном порядке А(х)=>В3(х)=>В2(х)=>В1(х)=>В(х), мы получим синтетическое доказательство. [2]

Рис.4

 

Рассмотрим еще несколько примеров, в которых используется несколько способов доказательства теоремы, а именно рассмотрим аналитико-синтетический метод.

На наш взгляд, ярким примером можно считать доказательство следующей теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм».

В методических руководствах приводят одно изолированное так называемое синтетическое доказательство, но я приведу соответствующее доказательство к выше отмеченной теореме, с помощью аналитико-синтетического метода:

1. Требуется доказать, что ВС параллельно АД.

2. Для этого достаточно доказать, чтобы внутренние накрест лежащие углы ВСО и ОАД, образованные прямыми ВС и АД и секущей АС были равны.

3. А для того, чтобы доказать, что эти углы равны надо доказать равенство треугольников ВОС и ДОА, и что интересующие нас углы лежат против соответственно равных сторон. В последнем убеждаешься из чертежа, так как ВО=ОД по условию.

4. Для того, чтобы треугольники ВОС и ДОА были равны достаточно доказать либо первый, либо второй, либо третий признак равенства треугольников. В данном случае нам удобнее доказать первый признак, т.к. ВО=ОД и СО=ОА по условию теоремы, а углы ВОС и ДОА равны, как вертикальные.

Далее составляем схему проведенного анализа:

Чтобы доказать ------->	Надо доказать
I. ВС || АД	II. ВСО=ОАД, как внутренние накрест лежащие, образованные прямыми ВС, АД и секущей АС
II. ВСО=ОАД	III. ВОС=ДОА, и углы ВСО и ОАД лежат против равных сторон
III. Треугольник ВОС= Треугольник ДОА	IV. Равенство трех его элементов и определить признак равенства треугольников ОА=ОС – по условию ВО=ОД – по условию АОД=СОВ – вертикальные Треугольник ВОС= Треугольник ДОА по I. признаку
ТО II>III>IV), перебираясь, каждый раз от заключения к его основанию, происходит рассуждение по схеме: «чтобы доказать (I), надо доказать (II) и т.д.» [1] Проще говоря, мы создаем некую цепь определенных действий и условий: каждое верхнее суждение есть необходимое условие для нижнего. После проведенного анализа нужно воссоединить все в одно целое, т.е. провести синтез. Предположим, что будет проводиться рассуждение справа налево (IV>III>II>I), нанизывая цепь достаточных условий от основания к заключению, и рассуждая так: «если IV, то III, если III, то II и т.д.» На основании всего этого происходит обучение анализу, немедленно перерастающему в синтез – в этом как раз заключатся одно из направлений совершенствование дидактики. Как отмечают методисты, анализ ведет к более глубокому и сознательному усвоению учебного материала и способствует активному и творческому развитию логического мышления учащихся, нежели синтез. Но как уже отмечалось ранее, анализ и синтез неотделимы друг от друга. Таким образом, можно сделать вывод, о том, что использование таким таких общих методов доказательств, как анализ и синтез является одни из самых хороших инструментов для воспитания у учащихся потребностей обосновывать каждый шаг. Хотя первоначальное знакомство с таким обучением и требует значительной затраты времени, но в дальнейшем это все окупается. Чтобы такой урок дал эффект учителю необходимо продумывать каждый шаг, вести школьников от ступеньки к ступеньке, следить, чтобы мысли учащихся шли в нужном направлении, чтобы не ускользало от их внимания главное, чтобы все даже самые слабые ученики принимали участие в открытии нового. Не всегда, конечно, можно его применить, но там, где это, возможно, наблюдается наиболее глубокий интерес школьников, развивается логическое мышление, повышается познавательная активность. Такая кропотливая работа, в конечном счете, приносит свои плоды, потому что ученики приобретают исследовательские навыки и, что не менее важно, с большим интересом работают на уроке. Список литературы: Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений. – М. Просвещение, 2006. – 250с. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. Учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384с. Журнал «Отечественные записки» - Выпуск журнала № 2 (3) 2002. Подаева Н.Г. Психолого-дидактические задачи обучения математике: уровни понимания, усвоения и применения материала // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2009 г., т. 2., № 3-4, с. 30-40. Подаева Н.Г., Подаев М.В. Социокультурное содержание школьного математического образования: мыследеятельностные технологии // Письма в эмиссия.Оффлайн: электронный научный журнал. – СПб, 2013. № 1. с. 1948. Кузовлев В.П., Подаев М.В. Развитие логического компонента мыслительной деятельности младших подростков // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2010. т. 4. № 4. с. 90-98. 4

Код для цитирования: Скопировать