IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Схема исходной фермы:

Схема изменённой фермы:

Решение:

sinα=0,16 sinβ=0,45 sinγ=0,64

cosα=0,99 cosβ=0,9 cosγ=0,77

1)Методом вырезания узлов:

∑X_k=0: X_A=0; (1)

∑Y_k=0: 4P₁+2P₁+P₁-RB-Y_A=0; (2)

∑m_A=0: -3P₁-6P₁-9P₁-12P₁-30P₁-18P₁+18RB=0; (3)

(2) => 7P₁-RB-Y_A=0.

(3) => 18RB=78P₁;

=4,33;

(2) => Y_A=7P₁-P₁;

Y_A=P₁.

Узел A

Y

 

∑X_k=0: N₃+X_A-N₁cosα=0; (1)

A

Y_A

α

N₁

X_A

N₃

X

 

∑Y_k=0: Y_A-N₁sinα=0; (2)

(2) => ;

.

2. => N₃=N₁cosα-X_A;

N₃=16,7·0,99 P₁=16,53P₁.

Узел C

Y

 

∑X_k=0: N₁cosα –N₂cosα- N₄cosα =0; (1)

N₂

N₁

α

N₄

X

 

∑Y_k=0: N₁sinα –N₂sinα-P₁- N₄sinα =0; (2)

α

α

 

(1) => N₂=N₁-N₄;

C

 

(2) => N₁sinα + N₁sinα –N₄sinα-P₁- N₄sinα=0;

P₁

 

2N₁sinα –2N₄sinα-P₁=0;

.

N₂=16,7-13,6P₁=3,1P₁.

Узел E

Y

 

∑X_k=0: N₄cosα –N₆cosα=0; (1)

N₅

N₄

α

N₆

X

 

∑Y_k=0: N₅ –P₁+ N₄sinα- N₆sinα =0; (2)

α

 

(1) => N₆=N₄=13,6P₁.

E

 

(2) => N₅=P₁.

P₁

 

Узел D

Y

 

∑X_k=0: N₈+N₇cosβ+N₂cosα-N₃ =0; (1)

N₇

X

 

∑Y_k=0: N₇sinβ –N₅-N₂sinα =0; (2)

β

D

N₈

N₃

 

 

α

 

 

N₂

N₅

 

(2) => .

(1) => N₈ = N₃ –N₂cosα- N₇cosβ;

N₈=16,53-3,1·0,99P₁-3,33·0,9P₁=16,53P₁-3,07P₁-3P₁=10,46P₁.

Узел K

Y

 

∑X_k=0: N₆cosα+N₉cosβ- N₁₀cosα-N₇cosβ =0;(1)

N₆

X

 

∑Y_k=0: N₆sinα –P₁-N₁₀sinα-N₉ sinβ- N₇ sinβ =0;(2)

α

K

 

 

β

α

β

 

 

N₉

P₁

N₇

N₁₀

 

(1) => .

(2) => -P₁+13,6·0,16P₁ –0,45N₉- 0,45·3,33P₁-0,16(0,9N₉+10,6P₁)=0;

-P₁+2,18P₁ –0,45N₉- 1,5P₁-0,14N₉-1,7P₁=0;

0,59N₉=-2,02P₁;

N₉=-3,42P₁.

N₁₀=10,6P₁-3,1 P₁= 7,5P₁.

Узел T

Y

 

∑X_k=0: N₁₀cosα –N₁₃cosα=0; (1)

N₁₀

N₁₁

α

X

 

∑Y_k=0: N₁₁ –P₁+ N₁₀sinα- N₁₃sinα =0; (2)

α

 

(1) => N₁₃=N₁₀=7,5P₁.

N₁₃

P₁

T

 

(2) => N₁₁=P₁-N₁₀sinα+N₁₃sinα;

N₁₁=P₁.

Узел G

Y

 

∑X_k=0: N₁₄+N₁₂cosγ+N₉cosβ-N₈ =0; (1)

N₁₂

X

 

∑Y_k=0: N₁₂sinγ –N₁₁-N₉sinβ =0; (2)

G

γ

N₁₄

N₈

 

(2) => .

β

N₉

N₁₁

 

(1) => N₁₄ = N₈ –N₉cosβ- N₁₂cosγ=10,46 P₁-3,42·0,9P₁-3,97·0,77 P₁=10,46 P₁-3,1P₁-3,04 P₁=4,32 P₁.

Узел M

Y

 

 

N₁₃

N₁₆

X

 

 

α

M

 

 

γ

γ

 

 

N₁₅

2P₁

N₁₂

 

∑X_k=0: N₁₃cosα+N₁₅cosγ+N₁₆cosα-N₁₂cosγ =0; (1)

∑Y_k=0: N₁₃sinα –2P₁+N₁₆sinα-N₁₅ sinγ- N₁₂ sinγ =0; (2)

(1) => .

(2) => -2P₁+7,5·0,16P₁ +0,16N₁₆- 0,64·3,97P₁+1,29 N₁₆+0,64·5,7P₁=0;

-2P₁+1,2P₁ +0,16N₁₆- 2,54P₁+1,29N₁₆+3,65P₁=0;

1,45N₁₆=-0,31P₁;

N₁₆=-0,21P₁.

N₁₀=0,27P₁-5,7 P₁= -5,43P₁.

Узел Q

Y

 

 

N₁₆

N₁₃

X

 

∑Y_k=0: N₁₇ –P₁+ N₁₆sinα =0;

α

Q

 

N₁₇=P₁-N₁₆sinα;

N₁₇=P₁-0,21·0,16P₁= P₁-0,03P₁=0,97P₁.

P₁

 

∑X_k=0: X`_A=0; (1)

∑Y_k=0: 4P₁+3P₁-R`B-Y`_A=0; (2)

∑m_A=0: -3P₁-6P₁-9P₁-12P₁-45P₁+18R`B=0; (3)

(2) => 7P₁-R`B-Y`_A=0.

(3) => 18R`B=75P₁;

(2) => Y`_A=7P₁-P₁;

Y_A=P₁.

Узел A

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>3</sub>+X`_A-N`₁cosα=0; (1)

A

α

X

 

∑Y_k=0: Y`<sub>A</sub>-N`₁sinα=0; (2)

N`₃

Y`_A

 

(2) => ;

N`₁

X`_A

 

.

(1)=> N`<sub>3</sub>=N`₁cosα-X`_A;

N`₃=17,7·0,99 P₁=17,52P₁.

Узел C

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>1</sub>cosα +N`₂cosα- N`₄cosα =0; (1)

N`₁

α

X

 

∑Y_k=0: N`<sub>1</sub>sinα –N`₂sinα-P₁- N`₄sinα =0; (2)

α

C

 

(1) => N`<sub>2</sub>=N`₄-N`₁;

α

 

(2) => N`<sub>1</sub>sinα + N`₁sinα –N`<sub>4</sub>sinα-P<sub>1</sub>- N`₄sinα=0;

N`₂

N`₄

P₁

 

2N`<sub>1</sub>sinα –2N`₄sinα-P₁=0;

.

N`₂=14,58-17,7P₁=-3,12P₁.

Узел E

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>4</sub>cosα –N`₆cosα=0; (1)

N`₄

N`₅

α

X

 

∑Y_k=0: N`<sub>5</sub> –P<sub>1</sub>+ N`₄sinα- N`₆sinα =0; (2)

α

 

(1) => N`<sub>6</sub>=N`₄=14,58P₁.

E

 

(2) => N`₅=P₁.

N`₆

P₁

 

Узел D

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>8</sub>+N`₇cosβ+ N`<sub>2</sub>cosα-N`₃ =0; (1)

N`₇

X

 

∑Y_k=0: N`<sub>7</sub>sinβ –N`₅-N`₂sinα =0; (2)

D

β

N`₃

N`₈

 

 

α

 

 

N`₅

N`₂

 

(2) => .

(1) => N`<sub>8</sub> = N`₃ –N`<sub>2</sub>cosα- N`₇cosβ;

N`₈=17,52-3,12·0,99P₁-3,33·0,9P₁=17,52P₁-3,1P₁-3P₁=11,42P₁.

Узел K

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>6</sub>cosα+N`₉cosβ- N`<sub>10</sub>cosα-N`₇cosβ =0; (1)

N`₆

X

 

∑Y_k=0: N`<sub>6</sub>sinα –P<sub>1</sub>-N`₁₀sinα-N`<sub>9</sub> sinβ- N`₇ sinβ =0;(2)

α

K

 

 

β

α

β

 

 

P₁

N`₇

N`₁₀

N`₉

 

(1) => .

(2) => -P₁+14,58·0,16P₁ –0,45·1,1N`<sub>10</sub>+ 0,45·12,7P<sub>1</sub>-0,16 N`₁₀-3,33·0,45P₁=0;

-P₁+2,33P₁ -0,5N`<sub>10</sub>+5,7P<sub>1</sub>-0,16N`₁₀-1,5P₁=0;

0,66N`₁₀=5,53P₁;

N`₁₀=8,38P₁.

N`₉=9,2P₁-12,7 P₁= -3,5P₁.

Узел T

Y

 

∑X_k=0: N`<sub>10</sub>cosα –N`₁₃cosα=0; (1)

N`₁₀

N`₁₁

α

X

 

∑Y_k=0: N`<sub>11</sub> –P<sub>1</sub>+ N`₁₀sinα- N`₁₃sinα =0; (2)

α

 

(1) => N`<sub>13</sub>=N`₁₀=8,38P₁.

T

 

(2) => N`<sub>11</sub>=P<sub>1</sub>-N`₁₀sinα+N`₁₃sinα;

N`₁₃

P₁

 

N`₁₁=P₁.

УзелB

Y

 

∑X_k=0: -N`<sub>14</sub>+N`₁₅cosγ=0; (1)

X

 

∑Y_k=0: -N`<sub>15</sub>sinγ+R`B=0; (2)

R`B

N`₁₄

 

(2) => .

γ

N`₁₅

 

(1) => N`<sub>14</sub> = N`₁₅cosγ =5 P₁.

Узел M

Y

 

 

N`₁₅

N`₁₃

X

 

 

α

γ

 

∑X_k=0: N`<sub>13</sub>cosα-N`₁₅ cosγ- N`₁₂ cosγ =0

γ

M

3P₁

 

.

N`₁₂

 

2)Проверим правильность полученных усилий, вычислив их другим методом- сквозных сечений

∑m_A^лев=0:N_9b9+3P₁+6P₁+9P₁=0;

b₉=12 sinβ=5,4;

N₉=.

∑m_A^лев=0:-N_12b12+3P₁+6P₁+9P₁+12P₁=0;

B₁₂=12 sinγ=7,68;

N₁₂=.

∑m_A^лев=0:-N_15b15+3P₁+6P₁+9P₁+12P₁+30P₁=0;

B₁₅=18 sinγ=11,52;

N₁₅=.

∑m_A^лев=0:-N_9b9+3P₁+6P₁+9P₁=0;

b`₉=12 sinβ=5,4;

N`₉=.

∑m_A^лев=0:-N_12b12+3P₁+6P₁+9P₁+12P₁=0;

b`₁₂=12 sinγ=7,68;

N`₁₂=.

∑m_A^лев=0:-N_15b15+3P₁+6P₁+9P₁+12P₁+45P₁=0;

b`₁₅=18 sinγ=11,52;

N`₁₅=.

Таким образом, получаем аналогичные результаты двумя используемыми методами.

Сопоставление усилий в исходной и изменённой ферме

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	16,7	3,1	16,53	13,6	1	13,6	3,33	10,46	3,42	7,5	1	3,97	7,5	4,32	5,43	0,21	0,97
N`n	17,7	3,1	17,52	14,58	1	14,58	3,33	11,42	3,5	8,38	1	4,29	8,38	5	6,52	-	-
	1,06	1	1,06	1,07	1	1,07	1	1,09	1,02	1,12	1	1,08	1,12	1,16	1,2	-	-

Nn- усилия в исходной ферме

N`n- усилия в изменённой ферме

Результаты расчета показывают, что изменение конструкции фермы привело к увеличению продольного усилия в стержнях правой части фермы: №15 на 20%, №14 на 16%, №13 на 12%, №12 на 8%.

Код для цитирования: Скопировать