IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Несмотря на то, что эта тема простых чисел стара и затрагивала многих известных математиков на протяжении всей истории, она по-прежнему остается актуальной. Никто точно не знает, где и в каком обществе стали впервые рассматривать простые числа. Простые числа начали изучать так давно, что у ученых нет записей тех времен. Ученые предполагают, что некоторые ранние цивилизации имели какое-то понимание простых чисел, но первым реальным доказательством этого являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще до сих пор не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа [2].

Простое число - натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя - единицу и самого себя. Таким образом, 9 (делится на 1, 3, 9 - три делителя) - это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 3×3, а 3 — это простое число, так как единственный способ представить его как произведение двух чисел — это 1×3 или 3×1 [1].

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, как интернет проникает в жизнь, а технологии и компьютеры играют большую роль, чем когда-либо раньше.

Интерес к представлению простых чисел в виде значений квадратных многочленов недавно возродился в связи с неожиданным наблюдением С. М. Улама. В 1963 году Станиславу Уламу довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе, вследствие чего была изобретена спираль простых чисел, её также называют скатертью Улама. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого он стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д. (рисунок 1). При этом он машинально отмечал простые числа. Преобладающим фактом этого открытия является то, что диагональ простых чисел возникает независимо от числа, с которого начали в центре спирали. Эти спирали применимы для большого количества простых чисел. Скатерть Улама можно построить путем создания прямоугольной сетки, можно начать с числа 1 в центре и постепенно продолжать двигаться по спирали снаружи [4].

Рисунок 1 – Спираль Улама

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел - светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Этот узор получил название «скатерть Улама» (рисунок 2). Простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых. Это заинтересовало Улама, и позже он вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом продолжил это исследование на ЭВМ MANIAC II Лос-Аламосской лаборатории, использовав магнитную ленту, на которой были записаны 90 млн простых чисел.

Рисунок 2 – Скатерть Улама

Стоит обратить внимание на то, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Прежде всего, бросаются в глаза скопления простых чисел на диагоналях, но вполне ощутима и другая тенденция простых чисел — выстраиваться вдоль вертикальных и горизонтальных линий, на которых все клетки, свободные от простых чисел, заняты нечётными числами. Простые числа, попадающие на прямые, продолженные за отрезок, который содержит последовательные числа, лежащие на каком-то витке спирали, можно считать значениями некоторых квадратичных выражений, начинающихся с члена 4x². Например, последовательность простых чисел 5, 19, 41, 71, стоящих на одной из диагоналей на рисунке 2, — это значения, принимаемые квадратичным трёхчленом 4x² + 10x + 5 при x, равном 0, 1, 2 и 3. Квадратичные выражения, принимающие простые значения, бывают «бедными» (дающими мало простых чисел) и «богатыми» и что на «богатых» прямых наблюдаются целые «россыпи» простых чисел.

Диагонали на скатерти Улама описываются уравнением вида:

ах²+bx+c

где - a, b, c – целые числа.

Поэтому графически построенная скатерть Улама позволяет быстро визуально определить многочлены второй степени, которые наиболее часто принимают значения, являющиеся простыми числами.

Каждое натуральное число обладает очень многими известными и, по-видимому, еще в большем числе неизвестными свойствами. Четные - нечетные, простые - составные, конечные - бесконечные и др. свойства способствуют введению классификации чисел, некоторого порядка в их множестве. Традиционный подход предполагает, что, не располагая самим числом невозможно определить и его свойства. Но это не совсем так. Ряд полезных свойств для некоторых чисел можно определять, не зная их значений, но имея данные об их положении в натуральном ряде чисел. Рассмотрев Скатерть Улама, визуально можно определить многочлены второй степени, которые наиболее часто принимают значения, являющиеся простыми числами. Эти многочлены могут использоваться для генерации простых чисел, в том числе и полином Эйлера 4x²-2x+41. Построение скатерти Улама больших размеров и другие представления последовательности чисел на плоскости использовались для поиска функции, решения которой принимают простые числа как можно чаще.

Список используемой литературы и источников

1. Скатерть Улама [Электронный ресурс] – https://ru.wikipedia

2. Простые числа [Электронный ресурс] – https://postnauka.ru/faq/66114

3. Поршнев С.В Об одной особенности распределения простых чисел на скатерти Улама / С.В. Поршнев / Фундаментальные исследования. – 2013. – № 8 (часть 5) – С. 1075-1080 [Электронный ресурс] – https://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=32087

Код для цитирования: Скопировать