IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Современное развитие математической науки, требования которые к ней сейчас предъявляются, заставляет ученых не только фиксировать и строить свои предположения на основании ранее открытых математических моделей, но и самостоятельно открывать новые, которые смогли бы объяснить многие явления и характер математических действий.

Так, возникло понятие «адекватность» и стало необходимым при проверке математических моделей.

Любая математическая модель характеризуется в первую очередь, необходимостью математических вычислений, что повлекло за собой появление вычислительного эксперимента. Во время планирования вычислительного эксперимента задействуют различные методы математического моделирования. Причем от методов, которые употребляются в математической статистике до методов, присущих теории катастроф.

С середины двадцатого века центром математического моделирования становится понятие адекватности.

«Если математика является "чистым порождением ума" (своеобразной "игрой в бисер"), то непонятно, почему мир обязан с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в "аминокислотном" человеческом сознании присущих миру (или возможных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопрос об "адекватности", "изоморфности" математических структур структурам реальности» (Д. Гильберт) [1].

Адекватность математической модели - свойство правильно отражать реальные процессы, протекающие в синтезируемом объекте.

Адекватность математической модели особенно важна в задачах эксплуатации, где непосредственно можно сопоставлять расчетные и фактические значения параметров и проверять правильность модели. По многим причинам теоретические значения некоторых коэффициентов в этих соотношениях существенно отличаются от фактических. Точнее, теоретическая модель оказывается недостаточно хорошей для описания реального объекта.

Адекватность математической модели - это соответствие модели моделируемой задаче или процессу принятия решений, причем адекватность рассматривают по тем свойствам модели, которые для лица принимающего решения являются наиболее важными в данный момент времени.

Адекватность математической модели проверяется при помощи F - критерия Фишера.

F-тестом или критерием Фишера (F-критерием, φ*-критерием) — называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение доверительного интервала [2].

Критерий Фишера является очень удобным в проверке адекватности математических моделей. Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением. Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то, с соответствующей доверительной вероятностью, модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту приятную гипотезу приходится отвергать. Этот способ расчета дисперсии адекватности, подходит, если опыты в матрице планирования не дублируются, а информация о дисперсии воспроизводимости извлекается из параллельных опытов в нулевой точке или из предварительных экспериментов.

Важны два случая:

1) опыты во всех точках плана дублируются одинаковое число раз (равномерное дублирование),

2) число параллельных опытов не одинаково (неравномерное дублирование).

Проверка адекватности математической модели системы (или ее отдельных элементов) осуществляется путем проведения экспериментальных исследований и сопоставления их результатов с результатами аналитических расчетов, выполненных для конкретных условий проведения эксперимента[3].

Итак, целью анализа является получение некоторой оценки, с помощью которой можно было бы утверждать, что при некотором уровне α полученное уравнение регрессии - статистически надежно. Для этого используется коэффициент детерминации R².

Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель как уже было выше сказано считается значимой.

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Например, табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=48, F_табл = 4

Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Пример. По совокупности 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: X — цена на товар А, тыс. руб.; Y — прибыль торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

∑(y_i-y_x)² = 46000; ∑(y_i-y_ср)² = 138000.

Какой показатель корреляции можно определить по этим данным? Рассчитайте величину этого показателя, на основе этого результата и с помощью F-критерия Фишера сделайте вывод о качестве модели регрессии.

Решение. По этим данным можно определить эмпирическое корреляционное отношение:

,

где ∑(y_ср-y_x)² = ∑(y_i-y_ср)² - ∑(y_i-y_x)² = 138000 - 46000 = 92 000.

η² = 92 000/138000 = 0.67, η = 0.816 (0.7 < η < 0.9 - связь между X и Y высокая).

F-критерий Фишера: n = 25, m = 1.

R² = 1 - 46000/138000 = 0.67, F = 0.67/(1-0.67)x(25 - 1 - 1) = 46.

F_табл(1; 23) = 4.27

Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.

Таким образом, доказывается адекватность математической модели.

Такие проверки, несмотря на их трудоемкость, проводятся регулярно и, как правило, дают вполне удовлетворительные результаты, подтверждая пригодность всех моделей для практического использования[4]

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что понятие «адекватность» имеет полное право занять достойное место, среди четких математических определений. Именно с помощью этого понятия можно внести в хаотический мир некоторых математических понятий порядок [1].

Список используемых источников

1. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики: учебное пособие / Н. Бурбаки ; ред. К. А. Рыбников ; пер. с фр. И. Г. Башмакова. - Москва : Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 292 с

2. Вяхирев, Р. Российская газовая энциклопедия: учебное пособие/ Р. Вяхирев; ред. Р.И. Вяхирев; Изд-во Большая Российская Энциклопедия, 2004г.

3. Адекватность и точность математических моделей. Верификация результатов моделирования [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://studopedia.ru/ 4. F-статистика. Критерий Фишера [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://math.semestr.ru/corel/fisher.php

Код для цитирования: Скопировать