IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Целью изучения данной работы является рассмотрение математики с точки зрения Лейтзена Эгберта Яна Брауэра. В соответствии с поставленной целью была выявлена следующая задача – подробное описание философских принципов интуиционистской математики.

Математика представляет собой свободное творчество, оно не зависимо от опыта; оно создается из единственной априорной интуиции, которой можно дать название «постоянство в изменении», или «единство в множественности».

Философские принципы интуиционистской математики Брауэра состоят в том, что математика представляет полностью автономную и самодостаточную деятельность. Ей не нужны никакие внешние гарантии. Все, что может быть необходимо, содержится внутри нее самой [1].

По его утверждению, ситуация в аргументации математики в начале 20 века представляет собой следствие изменений ведущих философских установок на отношение математики к опыту, языку и логике. Основная тенденция данных изменений – это переход интереса от объекта к субъекту и в дальнейшем, постепенное отделение математики от диктатуры опыта, языка и логики [2].

Убеждение в безоговорочной точности законов математики, предполагает Брауэр, являлось предметом рассуждений многие тысячелетия и в конце концов это привело к появлению двух школ, соперничающих между собой – это школы интуиционизма и формализма (к которой Брауэр причисляет и логицизм).

Интуиционизм – это общность философских и математических взглядов, признающих математические суждения с позиций интуитивной убедительности [4].

Интуиционисты выделяют в качестве источника точности математики человеческий интеллект, формалисты – бумагу. В философии Канта мы наблюдаем старую форму интуиционизма, в настоящий период почти забытую, в которой время и пространство являются априорными формами чувственности, присущими для человеческого разума. Он считает, что аксиомы арифметики и геометрии – априорные синтетические суждения, то есть суждения, показывающие независимость от опыта и аналитическую недоказуемость; именно этим можно объяснить их аподиктическую точность в мире опыта и в абстракции.

Поэтому для Канта вероятность экспериментального отрицания арифметических и геометрических законов не только была исключена, но и была просто невозможна.

Точка зрения формализма противоположна, она уверяет, что разум человека содержит в своем распоряжении образы прямых линий или чисел, предположим, не более десяти, и вследствие этого источник этих математических объектов присущ не нашему представлению о природе, а в самой природе. Следовательно, для формалистов математическая точность выражается в создании метода вывода одних отношений об объектах из других и она не зависима от значений, которое можно присвоить этим отношениям или объединенным ими объектам.

Формалисты предполагали, что математические формализмы, как и логические истины, не являются абстракциями опыта и старались в целом устранить всякие различия между логикой и математикой, то есть обозначить их полное единство. Их мотивом было намерение установить непротиворечивость всей математики, лишить ее раз и навсегда от парадоксов. Но теоремы, высказанные Гёделем о неполноте убили эту надежду окончательно. Всего лишь несколько математиков, а именно Пуанкаре, Борель и Лебег, которых Брауэр смело называет своими прямыми предшественниками и единомышленниками, приняли попытки доказать непричастность некоторых базисных разделов математики от логики, хотя и не отрицали ее значение в математических доказательствах [2].

В общем положение дел в сфере обоснования математики, предопределяющее возникновение интуиционизма, согласно Брауэру, представляло собой разделение доинтуиционистской математики на автономную и неавтономную части. К автономной математике можно отнести: элементарную теория чисел, принцип полной индукции, значительную часть алгебры и теории чисел. Безошибочность и несомненность положений данной части математики была не зависима от языка и доказательств. Неавтономная математика, чья достоверность, как считал Брауэр, зависима от логики и языка, содержала в себе теорию континуума действительных чисел. Доказательство его неоспоримости Брауэр считал самой необходимой целью. Что предполагает континуум, то вопрос о его наличии, непричастном к языку, был проигнорирован. Были приняты попытки доказать континуум логическими средствами как множество действительных чисел с определенной на нем позитивной мерой, но без каких – либо доказательств его непротиворечивости.

Для создания новой математики, по мнению Брауэра, способной объединить автономную и неавтономную части, доказательства ее независимости от опыта, языка и логики, определения внутреннего критерия достоверности всех ее истин, просто необходимо восстановить в правах идеи Канта об интуиции времени как априорной форме чувственности, определяющей истинность арифметических истин. То, что казалось недопустимым в отношении обоснования геометрии, должно было стать истинным в положении элементарной теории чисел и этим самым – в отношении всей математики в целом [3]. Программу, способную обосновать новую математику, Брауэр именовал новым интуиционизмом.

В сущности, часть программы, содержащая философию, состоит из двух тезисов, которым Брауэр присвоил название «двух актов принятия интуиционизма». С их помощью он дает толкование вопроса, почему математика должна быть автономной от языка и логики, и должна раскрывать значение конструирования в математике с интуиционистской точки зрения.

Первый акт интуиционизма предполагает полное отделение математики от математического языка и, как следствие, от феномена языка как такового, что применяемо для теоретической логики. Осознание того, что в основе интуиционистской математики – независимая от языка деятельность ума, которая берет свой исход в восприятии движения времени. Это восприятие времени можно охарактеризовать как разделение момента жизни на две качественно различные части, первая из них открывает путь другой, но сохраняется только в памяти. Если приобретенную таким образом двоичность лишить качества, она станет пустой формой общего субстрата для всех двоичностей. И именно этот общий субстрат, эта общая форма являет собой базисную интуицию математики [1].

Итак, необходимо твердо отличать математическую деятельность от ее логико – лингвистического выражений. Только активность, подчиненная внутреннему опыту, способна на создание новых математических объектов. Неоспоримо, что математический язык позволяет демонстрировать их и вступать в коммуникацию. Но сам по себе он никогда не сможет создавать уникально новые математические конструкции. Помимо этого факта, он достаточно часто рождает иллюзию математической достоверности, когда без участия внутреннего контроля начинает переносить выводы с конечных областей на бесконечные.

Во втором акте интуиционизма следует принимать законными только два способа создания новых математических объектов. Во первых, в форме более или менее свободного порождения бесконечных последовательностей математических объектов из созданных ранее (отсюда можно сделать вывод, что для десятичных дробей, не имеющих ни одного точного значения, нет никакой гарантии, что эти значения когда – либо будут установлены). Во вторых, в форме математических обобщений, что включает в себя свойства, которыми, по гипотезе, располагают построенные до этого времени математические объекты и также удовлетворяющие условие о том, что если они способны выполняться для некоторого объекта, то они соответственно выполняются для всех равных ему объектов.

Только после того, считает Брауэр, как математику будут принимать как конструктивную деятельность, основанную на интуиции времени, которая, не смотря на возможное применение к внешнему миру, ни по своему происхождению, ни по своим методам не зависима от него, а критерий истинности математического утверждения будет ограничен самой математической деятельностью, при таких условиях математика добьется безоговорочной автономии и самооправдания.

Из поставленной цели можно сделать вывод, что математическая интуиция Брауэра – это интуиция порождения натурального ряда чисел, непрерывного потока становления, который никогда не будет завершен [4].

Современная наука многим обязана Брауэру, особенно возрастанием интереса к интуитивным аспектам математического творчества. В случае если рассматривать интуицию не с математической позиции, определение которой появилось благодаря интуиционистам, то кажется, что сама интуиция противостоит строгим методам логики.

Интуиционистское направление показало возможность реализации другого построения математических объектов, тем самым выявив ранее неизученные области в понимании математики и ее реальном значении.

Список используемых источников

1. Большая советская энциклопедия / гл. ред. А. М. Прохоров. – 3-е изд. – М., 1978. – Т. 30. Экслибрис – Яя. – С. 302–305.

2. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики: учебное пособие / Н. Бурбаки ; ред. К. А. Рыбников ; пер. с фр. И. Г. Башмакова. - Москва : Изд-во иностр. лит-ры, 1963. - 292 с.

3. Курант, Р. Что такое математика: Элементарный очерк идей и методов / Р. Курант; Пер. с англ. под. ред. А.Н. Колмогорова. - 3-е изд., испр. и доп. - М. : МЦНМО, 2001. – 568 с.

4. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей / Под ред. Н.Я. Виленкина. Ч. I. - М.: Просвещение, 1982. Ч. II. - М.: Просвещение, 1983.

Код для цитирования: Скопировать