IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Стилтьес Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.

Понятие определенного интеграла связано такими задачами, как вычисление пройденные пути по заданной скорости, нахождение площади криволинейной трапеции и т.д. Очевидна аналогия между изложенными (пока лишь наводящими) рассуждениями и построением определенного интеграла на отрезке. Отличие их состоит лишь в том, что здесь рассматриваются функции не одной, а двух переменных. а вместо длин отрезков х берутся площади тех ячеек F,. на которые разбивается фигура F, служащая основанием цилиндра.

Помимо задачи о вычислении объема криволинейного цилиндра существует много других задач, также связанных с понятием двойного интеграла.

Ряд физических и геометрических задач приводит к понятию интеграла от функции трех и большего числа переменных.

Основные свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла для функции одной переменной. Перечислим эти свойства, не останавливаясь на доказательствах.

1 Если функции и интегрируемы в области G, то их сумма (разность) тоже интегрируется в G и

2 Если k—постоянное число и функция f (x, y) интегрируема в G, то функция kf (x, y) тоже интегрируема в G и

3 Если область G представляет собой объединение двух областей G1 и G2, в каждой из которых функция f (x, y) интегрируема. Если, кроме того G1 и G2 не имеют общих внутренних точек, то

4 Если f1 (x, y) и f2 (x, y) интегрируемы в G и f1(x, y) ≤ f2 (x, y), то

Это свойство называется монотонностью интеграла; из него вытекают свойства 5 и 6.

5 (оценка интеграла по модулю). Если f (x, y) интегрируема в G, то функция │f (x, y)│ также интегрируема в G и

6 (теорема о среднем). Если функция f(x, y) интегрируема в G и удовлетворяет неравенствам

то

где S—площадь фигуры G.

Это утверждение непосредственно вытекает из свойств 4 и того очевидного факта, что

Если функция f (x, y) непрерывна, то теорема о среднем может быть сформулирована в таком виде:

7. В области G найдется такая точка (ἕ, ɳ)S.

Действительно, примем за m и M соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани значений функции f (x, y) в G. Тогда, согласно

m≤

Но функции, непрерывная в замкнутой области, принимает значения m, M. Предположим для простоты, что функция f (х‚ у) принимает значения M и m в точках (х1‚ у2) и (x2, y2), лежащих внутри области G, (Рассуждение несколько усложняется, если какая-либо из этих точек, или обе они, попадают на границу области G.) Любые две точки области мы можем соединить ломаной, лежащей в области. Соединим ломаной точки (х1‚ y1), и (х2, у2). в которых функция равна соответственно М и т. Вдоль такой ломаной Функция f(х‚ у) непрерывна и, следовательно, вместе со значениями М и m принимает и все промежуточные. В частности, найдется точка, обозначим ее , в которой тем самым формула доказана.

Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла, заданного в области P=[0,+∞; 0, 10

Повторные интегралы равны

dx=10

=

однако предельный переход под знаком интеграла недопустим

т. к. не выполнено условие

Данный вид интегралов применяется в различных областях знаний, применение которого хорошо демонстрирует пример вычисления количества электричества (электрический заряд) ".

Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [t1; t2] при известной силе тока I = I(t) вычисляется по формуле:

q=

Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [3; 4], если сила тока задается формулой I (t) = 3t² -2t.

Тогда, количество электричества

q= - 2t)

При изучении различных вопросов математики, физики, квантовой механики использовалась и продолжает использоваться идея стилтьесовского интегрировани.

Великие умы посвящают свои работы изучению различных свойств интеграла Стилтьеса. Это работы Хелли, Брэй, Гильдебрандт, Р. Юнг, Г.М. Шварц, Яджи и др.

Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла Стилтьеса. Многие разделы математики невозможно представить без использования интеграла Стилтьеса.

Список используемых источников

1. Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды: учеб. для ун-тов / Б. М. Будак , С. В. Фомин. - Изд. 3-е. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 512 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ( В 3-х томах ): учеб. пособие для ун-тов / Фихтенгольц Г.М. — М.: Физматлит, 2003. т.1 — 680с.

3. Применение интегралов в физике и математике [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.solverbook.com/spravochnik/integralov-v-fizike-matematike/

Код для цитирования: Скопировать