IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2017

Парадокс Бертрана Рассела был опубликован в 1903 году. Согласно самому Расселу, он пытался найти ошибку в доказательстве Кантора того парадоксального факта (известного как парадокс Кантора), что не существует максимального кардинального числа (а значит и множества всех множеств). У Рассела данный парадокс получился на много проще.

Рассел рассказал о своем открытии парадокса при переписке с Фреге еще в 1902 году. Он рассказал ему, что нашел явное противоречие в его книге, которая была напечатана в 1879 году. Он изучил книгу Фреге «Исчислении понятий [de]» и логично высказал открытый им парадокс при определении множеств, используя определение функции Фреге.

Позднее его изучал и опубликовал Э.Цермело, который назвал данный парадокс - теоретико-множественная антиномия. И именно он стал демонстрировать противоречие теории множеств Г. Кантора.

Даже сегодня парадокс Бертрана Рассела вызывает много вопросов. И до сих пор не сложилось общего мнения на его открытие.

Парадокс озвучивается с использование различных букв, мы выберем букву М. Тогда парадокс такой:

Пусть М - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Вопрос: содержит ли М само себя в качестве элемента? Если ответ «да», то, по определению М, оно не должно быть элементом М и мы получили противоречие. Если ответ «нет» - то, по определению М, оно должно быть элементом М - вновь противоречие… [1]

Читая это определение, попытаемся определить суть противоречия. По математической логике сам класс может содержать определенный элемент, который в него входит, и в тоже время содержащий элемент может не принадлежать этому классу.

Приведем пример: в домашнем шкафу находится одежда, будем считать ее классом, но сам шкаф не принадлежит к классу одежды.

Это говорит о том, что парадокс Рассела – это понятие класса всех собственных классов.

Понятие «собственный класс» - это класс, который не является элементом себя самого. «Несобственный класс» - это класс, который содержит в себе все собственные элементы. В математике считается, что это класс всех классов.

Интересен момент, что если рассматривают класс, как содержащий все собственные классы, та сразу возникает вопрос: к какому классу его отнести к собственному или несобственному?

Сам Рассел говорил, что данная ситуация очень похожа на ситуацию брадобрея, который не мог брить себя после указа.

В полушутливой форме Рассел представляет этот парадокс через однотипный, так называемый парадокс «Брадобрея» во «Введении в философию математики» (1919) [1].

Парадокс «Брадобрея» заключается в том, что мужчина, который работает брадобреем, получив указ: «Брить только тех, кто сами не бреются!», попал в неловкую ситуацию. С одной стороны он не имеет права себя брить, с другой – он не имеет права ходить небритым человеком. И в первом и во втором случае он нарушал указ.

Таким образом, можно продемонстрировать и парадоксальность «множества всех множеств, не являющихся собственными элементами».

Поэтому он считает, что принципиально не возможна никакая определенность, как однозначная, так и непротиворечивая при такой совокупности, которая содержит элементы, определенные только в терминах рассматриваемой совокупности, и такие элементы, которые включают в себя данную эту совокупность» [1].

Хотя сам Рассел считал, что «Брадобрей» - не «чистый парадокс». Из него только следует, что такого брадобрея должно существовать.

Устраняется парадокс заключением, что если некоторые предпосылки рождают противоречие, значит, они неверны. Поэтому получается, что в нашей ситуации класс должен быть собственный, но он является несобственным и наоборот. И получается, что можно используя парадокс Рассела опровергнуть понятие «множество всех множеств, не являющихся собственными элементами».

Отсюда можно сделать вывод, что история с брадобреем показывает: «принципиально не может быть найдена никакая однозначная и непротиворечивая определённость для этой совокупности, содержащая элементы, определимые только в терминах этой совокупности, а также элементы, включающие в себя или предполагающие эту совокупность».

И как показывает логика математики, если любое высказывание рождает противоречие, следовательно, оно не может быть верным. Парадокс Рассела можно связать с известным ещё с древних времён «парадоксом лжеца». Данный парадокс заключался в следующем:

Если рассмотреть любое высказывание и допустить, что оно ложно. То сразу возникают вопросы:

Истинно ли это высказывание или нет? Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

Рассел про этот парадокс писал:

«Это древняя загадка, к которой никто не относился более, чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего кардинального или ординального числа» [2].

Рассел предложил следующее рассмотрение парадокса лжеца:

«Чтобы говорить что-нибудь о высказываниях, надо сначала определить само понятие «высказывания», при этом, не используя неопределённых пока понятий».

А также он считает, что здесь мы имеем возможность определить высказывание 1 типа, которые ничего не говорят о высказываниях. Затем можно определить высказывания 2 типа, из которых следует высказывания 1 типа, и т. д.

А выбранное нами высказывание:

«Данное высказывание — ложно» - не может быть ни одным из данных определений, и следовательно не имеет смысла» [3].

Интересен тот момент, что именно антимония Рассела была очень важной в продвижении и развитии математики. Именно она стала основанием для того, чтобы многие математики, которые занимались проблемами теории множеств в XIX-XX веке, полностью пересмотрели свои труды.

Данный парадокс Рассела не оставил равнодушным многих ученых. Так, Пуанкаре считал, что парадокс Рассела поставил на карту только канторизм и логистику.

Математик С. А. Богомолов, отражая другие мнения, писал в 1913 г.:

«Раз дело идет о понятии класса - основном и неизбежном понятии человеческого мышления, - то не только вся математика, но и всё наше знание заинтересовано в удовлетворительном решении возникающих трудностей; теперь - это один из «проклятых вопросов», связанных с обоснование логики» [4].

Свои сомнения по поводу относительности рассмотрения подобного рода объектов 30-летний Рассел изложил в письме Фреге от 16 июня 1902 г. В момент получения этого письма немецкий математик имел вёрстку второго тома «Основных законов арифметики», которые практически обесценивались открытием Рассела [4].

Так, по существу, и закончилась неудачная попытка обосновать арифметику с помощью теории множеств, задуманная ещё Кантором.

В 1903 г. Рассел обнаружил решение парадокса, но открыто в этом не признался. В своих книгах «Предисловии» к «Принципам математики» он делает возможность глубже исследовать классы и понять их природу. И это явилось основным оправданием его публикаций, в которых находились неразрешенные вопросы. Поэтому в работе «Приложение В» Рассел предполагает следующее решения данного вопроса – это теория типов. Со временем не только он и многие математики придут к выводу, что систематизировав теорию типов можно получить возможность ухода от парадоксов, а так же возможность не приходить к ним вообще» [2].

Удивительно то, что ошибки в парадоксе Рассела не существует – ему удалось найти и доказать всю наивность теории множеств.

Это показывает то, что, только усовершенствовав теорию множеств, можно полностью избавиться с уже существующими противоречиями, так как сама теория полностью исключает расселовское множество.

На сегодняшний день существует несколько таких путей. Самый естественный путь - запрещение тем или иным способом множеств, которые могут содержать себя в качестве элемента.

Значит, произойдет исключение «множеств всех множеств», то есть произойдет то, что любая совокупность множеств, уже не будет являться множеством и значит, множество не может рассматриваться как элемент.

Но следует отметить, что такое исключение не может гарантировать уход от парадоксов и противоречий. Самым ярким подтверждением этого, является изначальная попытка Фреге переделать собственную систему.

Существует еще один путь к усовершенствованию теории множеств – это дать возможность множествам включать себя в качестве элемента в основное множество. Это не создает противоречие. Например, уже существуют множество книг, которые являются каталогом определенного направления книг. В тоже время они сами являются книгами, т.е. элементами множества книг. И еще, например, основа программирования содержит в себе многие разновидности, необходимые для программирования. И в тоже время она является элементом программирования.

Математические антиномии, которые были открыты в начале двадцатого века, стали хорошим стимулом для пересмотра математических оснований. В результате появились теории Цермело — Френкеля ZF, Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и Морса — Келли, в основе которых лежит аксиоматические рассмотрение теорий множеств [3].

И в заключении следует отметить, что сегодня все известные парадоксы и противоречия (а также парадокс Рассела), открытые в двадцатом веке решены.

Но и сегодня доказать, что новые парадоксы не будут найдены невозможно! Одним из примеров могут служить теоремы о неполноте Гёделя.

Список используемых источников

1. Колесников, А. С. Философия Бертрана Рассела: монография / А. С. Колесников; ред. Я. А. Слинин. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1991. - 232 с.

2. Парадокс Бертрана Рассела. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://vikent.ru/enc/1673/

3. Мирошниченко П. Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2000. — С. 512—514.

4. Катречко С. Л. Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона — Аристотеля // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. — СПб., 2002. — С. 239—242.

Код для цитирования: Скопировать